2020高考二轮复习三角函数与解三角形.doc

第1讲　三角函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
三角函数的图象、奇偶性、单调性、最值、零点·T11
三角函数的周期性和单调性·T9
三角函数的图象、极值点、单调性·T12
2018
三角函数的最值及导数·T16
三角函数单调性的应用·T10
三角函数的零点问题·T15
2017
三角函数的图象变换·T9
三角函数的最值·T14
余弦函数的图象与性质·T6
(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．
(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
1.(2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin＝(　　)
A．　　 B．－　　　
C．　　　 D．－

2.若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．

3.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝(　　)
A. B． C．0 D．－

1.设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．25　　　　　　　　 B．50
C．75 D．100

2.某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为(　　)

A. B．－
C. D．0
3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)
A．6 m2 B．9 m2
C．12 m2 D．15 m2
考点二 三角函数的图象与解析式
题型一　由“图”定“式”
[例1]　(1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝－cos
C．f(x)＝cos D．f(x)＝sin
(2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P 是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f(x)的图象的对称中心可以是(　　)
A．(0,0) B．(1,0)
C．(2,0) D．(3,0)

题型二　三角函数的图象变换
[例2]　(1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
(2)(2019·开封模拟)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度以后得到的图象与函数y＝ksin xcos x(k>0)的图象重合，则k＋m的最小值是(　　)
A．2＋　　　　　　　 B．2＋
C．2＋ D．2＋

考点三 三角函数的性质
[例3]　(1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)

(2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是(　　)
A.∪ B．∪
C. D．

1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|

2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(　　)
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．为奇函数，在上单调递增
C．为偶函数，在上单调递增
D．周期为π，图象关于点对称

3．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________．

考点四 三角函数图象与性质的综合应用
[例4]　(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．

1．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．

2．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．

3.　(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④

【课后专项练习】
A组
一、选择题
1．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z

2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2　　　　B． C．1 D．
3．(2019·江西七校第一次联考)函数y＝sin的图象与函数y＝cos的图象(　　)
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 4x D．g(x)＝cos x
5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法不正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的最小正周期为
C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心
D．f(x)在区间上单调递减
6．(2019·昆明市质量检测)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为(　　)
A. B.
C. D.

二、填空题
7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.

8．(2019·天津高考改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f ＝________.

9．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是________．

三、解答题
10．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f ＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

11．已知m＝，n＝(cos x,1)．
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

12．已知函数f(x)＝cos x(2sin x＋cos x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．

B组
1．已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．

2．已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．

(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
3．函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．

4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x＝时取得最大值1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范围．

第2讲　三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析]

年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
正、余弦定理的应用·T17
倍角公式、同角三角函数基本关系式·T10
正、余弦定理的应用、三角形的面积公式·T18
2018
正、余弦定理的应用·T17
二倍角公式及余弦定理·T6
二倍角公式·T4
同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15
三角形的面积公式及余弦定理·T9
2017
正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17
余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17
余弦定理、三角形的面积公式·T17
(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．
(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．
(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．
考点一 三角恒等变换
1.＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－1
C． D．1
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B．
C. D．
3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)
A. B． C. D．
4.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

1.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
2.已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
3.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.

考点二 利用正、余弦定理解三角形
题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算
[例1]　(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.

题型二　利用正、余弦定理进行面积计算
[例2]　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

题型三　正、余弦定理的实际应用
[例3]　如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.

1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3

2．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csin B＝4asin C.
(1)求cos B的值；
(2)求sin的值．

3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＋c2－a2＝accos C＋c2cos A.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝，且a＝5，求sin B＋sin C.

考点三 解三角形的综合问题
题型一　与平面几何的综合问题
[例4]　(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.
(1)求CD；
(2)求∠ABC.

题型二　与三角函数的交汇问题
[例5]　如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.
(1)求△ABC的面积；
(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．

1．(2019·福州模拟)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.
(1)求B；
(2)若AM＝，求△AMC的面积．

2．已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．

3.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.
(1)求A，C两地间的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s)

【课后通关练习】
A组
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－2＋
C．2－ D．2＋

2．(2019·重庆市学业质量调研)已知sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．

3．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．

4．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能

5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于(　　)
A．60° B．120°
C．45° D．135°

6．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)
A．60 B．80
C．100 D．125

二、填空题
7．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.

8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为________．

9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝2，sin∠CAD＝，ACsin∠BAC＋BCcos B＝2BC，且B＋D＝π，则△ABC的面积的最大值为________．

三、解答题
10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．

11．(2019·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B.
(1)求B；
(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积．

12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sin Asin C.
(1)求B；
(2)求sin A＋cos C的取值范围．

B组
1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝.
(1)求sin∠AED的值；
(2)若AB∥CD，求CD的长．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B＝cos2，(c－b)sin C＝(a＋b)(sin A－sin B)．
(1)求A和B；
(2)若△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长．

3．(2019·昆明质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝b.
(1)求A；
(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．

4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．