高考一轮复习专题：导数及其应用(含答案).doc

导数及其应用
考点一：导数概念与运算
（一）知识清单
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=。
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
3．几种常见函数的导数:
① ② ③; ④;
⑤⑥; ⑦; ⑧.
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|
（二）典型例题分析
题型一：导数的概念及其运算
例1. 如果质点A按规律运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s

变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，
都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

例2. 已知的值是（ ）
A. B. 2 C. D. －2

变式1：（ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1

变式2：（ ）
A． B． C． D．

例3. 求所给函数的导数：

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）
A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

题型二：导数的几何意义

① 已知切点，求曲线的切线方程；
注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．
例4. 曲线在点处的切线方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

② 已知斜率，求曲线的切线方程；
注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例5. 与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

③ 已知过曲线外一点，求切线方程；
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例6. 求过点且与曲线相切的直线方程．

变式1、已知函数的图象在点处的切线方程是，则 。

变式2、

考点二：导数应用
（一）知识清单
1． 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，
如果，则为增函数；
如果，则为减函数；
如果在某区间内恒有，则为常数；
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4．定积分
（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式：
＝C；
＝＋C（m∈Q， m≠－1）；
dx＝ln＋C；
＝＋C；
＝＋C；
＝sinx＋C；
＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（2）定积分的性质
①（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。
如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。
（二）典型例题分析
题型一：单调性
例7. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
变式2：已知函数
(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是 .
(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .
变式3： 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
解：（Ⅰ）∵函数，的图象都过点（t，0），
∴，即， ∵t≠0，  ∴，
∵ ∴，
又∵，在点（t，0）处有相同的切线，
∴而 ∴，
将代入上式，得b=t，
∴c=ab=-t3，
故，b=t，c=-t3。
（Ⅱ）， 
∵函数在在（-1，3）上单调递减，
∴在（-1，3）上恒成立，
∴即，
解得：t≤-9或t≥3， 
∴t的取值范围是

例8. 设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f（x）的单调区间.
解：(Ⅰ)因，
所以， 
即当时，f′（x）取得最小值， 
因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，
所以，解得a=±3，
由题设a＜0，所以a=-3。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，，
， 令f′（x）=0，解得，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；
当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，-1）上为减函数；
当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数，
由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），
单调递减区间为（-1，3）。

例9. 已知函数，函数的图像在点的切线方程是．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．

题型二：极值与最值
例10. 求函数的极值.
求函数在上的最大值与最小值..

变式1： 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.

变式3：若函数，当时，函数极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

例11. 设函数．
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的极值点以及极值．

例12. 已知三次函数在和时取极值，且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；

例13. 已知函数的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

题型三：导数综合运用
① 导数单调区间、极值、最值在选择题中的应用
x
y

x4
O oO

例14. （1）.已知函数的导函数的图像如下，则 （ A ）
A．函数有1个极大值点，1个极小值点
B．函数有2个极大值点，2个极小值点
C．函数有3个极大值点，1个极小值点
D．函数有1个极大值点，3个极小值点

（2）、已知函数的图象如图１所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是( C )

（3）.、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( A )

y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

（4）、.右图为函数的图象，为函数的
导函数，则不等式的解集是

（5）、.设为实数，函数的导函数是是偶函数，
则= .

② 导数与不等式、函数等的综合问题

利用单调性、极值求参数的取值范围
例15. 已知在R上是减函数，求的取值范围。

变式：设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aÎR。
(1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；
(2) 若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。

变式：已知函数，函数的图像在点的切线方程是．（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．

例16. 设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

③导数中的一些恒成立问题
例17. 设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.

例18. 已知函数在与时都取得极值
（1）求的值与函数的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围

变式：设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

课后作业
1、曲线在点处的切线方程是 。
2、.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。

3、设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。

4、设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。
（2）求的单调区间与极值。

5、已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

6、已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．

7、已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.

8、若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．

附加：1．（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
2．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．（海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．

5．若，则下列命题中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（江西）若，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（C ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
8．（全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）

11． (北京)是的导函数，则的值是
12．（广东）函数的单调递增区间是
13．（江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则

14．（福建）设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

15．(广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

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