刚体定轴转动定律.pptx

15.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律2教学基本要求教学基本要求 1 1 理解理解刚体对定轴的刚体对定轴的力矩力矩、角动角动量和转量和转动惯动惯量概量概念念.2 2 掌掌握握刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律.3 3 能能运用运用转动定律分析和解决刚体定轴转动转动定律分析和解决刚体定轴转动的力学问题。的力学问题。本节内容提纲本节内容提纲1.1.刚体对定轴刚体对定轴的的力矩、角力矩、角动量和转动惯量概动量和转动惯量概念。念。2.2.刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律.P*O :力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转，轴旋转，力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P，且，且在转动在转动平面内平面内，为为由点由点O 到力的作到力的作用点用点 P 的径矢。的径矢。对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 补补充内容：力充内容：力对对转轴的力矩转轴的力矩或写成：或写成：O 1 1）若力若力 不不在转动平面内在转动平面内，把力分解为，把力分解为平行平行和和垂直垂直于转轴方向的两个分量：于转轴方向的两个分量：其其中中 对对转转轴轴Z的的力矩力矩为零，故为零，故 对对转转轴轴Z的的力矩为：力矩为：讨论：讨论：只计算只计算垂直垂直于转轴方向的力对转轴的力矩即可。于转轴方向的力对转轴的力矩即可。2 2）合力矩）合力矩等于各分力矩的等于各分力矩的矢量和。矢量和。注意：注意：合力矩合力矩与与合力的矩合力的矩是不同的概念，不要混淆。是不同的概念，不要混淆。O3)3)刚体对转轴的力矩：刚体对转轴的力矩：说明：说明：1.1.沿同一作用线的大小相等，方向相反的两沿同一作用线的大小相等，方向相反的两个力对转轴的合力矩为零个力对转轴的合力矩为零2.2.由于刚体内质点间的作用力总是成对出现的，故由于刚体内质点间的作用力总是成对出现的，故刚体内各质点间的作用力对转轴的刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩应为零合内力矩应为零4 4）计计算力对轴算力对轴的的力力矩矩时，可用时，可用正负号来表示力矩的方向。正负号来表示力矩的方向。设刚体由设刚体由n n个质点个质点质点质点系组成系组成(一对内力的力矩一对内力的力矩)例：例：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，水平桌面上转动，求：求：摩擦力的力摩擦力的力矩矩 M阻阻。解：解：细杆的质量密度：细杆的质量密度：质元质量：质元质量：质元受阻力矩：质元受阻力矩：细杆受的阻力矩：细杆受的阻力矩：杆上各质元均受摩擦力作用，但杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不各质元受的摩擦阻力矩不 同，同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，微元法：微元法：R例：例：如图一圆盘面密度为如图一圆盘面密度为，半径为，半径为R R，与桌面的，与桌面的摩擦系数为摩擦系数为，求：求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。O解：解：取一小环为面元，其质量为取一小环为面元，其质量为rdrdf若圆盘以若圆盘以0 0 的初角速度转动，的初角速度转动，圆盘转多少圈静止？圆盘转多少圈静止？问题：问题：10一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量O刚体上任一质元在垂直于刚体上任一质元在垂直于 z 轴的平面内作圆周运动。轴的平面内作圆周运动。刚体对固定轴的角动量为：刚体对固定轴的角动量为：对对 z 轴的轴的角动量角动量角动量角动量沿沿 z 轴正轴正向，大小为：向，大小为：刚体对刚体对 z 轴的轴的转动惯量。转动惯量。转动惯量。转动惯量。（所有质元的角动量之和（所有质元的角动量之和）11刚体对刚体对 z 轴的角动量为：轴的角动量为：即：刚体绕定轴转动时，即：刚体绕定轴转动时，对转轴的角动量对转轴的角动量，等于，等于刚刚体对转轴的转动惯量体对转轴的转动惯量与与角角速度速度的乘积。的乘积。强调：强调：强调：强调：对于刚体的定轴转动，我们用对于刚体的定轴转动，我们用角动量角动量角动量角动量来描述，来描述，而不用而不用动量动量动量动量来描述。来描述。刚体对刚体对 z 轴的轴的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量O对确定的刚体、给定的转轴，对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量是一常数是一常数。刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和。与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和。与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和。与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和。刚体的转动惯量的大小：刚体的转动惯量的大小：1 1）与刚体的与刚体的总质量、形状、大小总质量、形状、大小有关。有关。2 2）与与质量对轴的分布质量对轴的分布有关。有关。3 3）与与轴的位置轴的位置有关。有关。二、刚体定轴转动的转动惯量二、刚体定轴转动的转动惯量二、刚体定轴转动的转动惯量二、刚体定轴转动的转动惯量（Moment of InertiaMoment of Inertia）质质质质量不连续分量不连续分量不连续分量不连续分布布布布质质质质量连续分量连续分量连续分量连续分布布布布定定义：义：质量元质量元第第 i个质点的质量个质点的质量 到转轴的距离到转轴的距离 到到转轴的距离转轴的距离 质量离散分布质量离散分布刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布质量连续分布刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：质量元质量元线分布线分布体分布体分布面分布面分布:质量线密度质量线密度:质量面密度质量面密度:质量体密度质量体密度 一般地一般地,只有对于只有对于几何形状规几何形状规则则、质量连续质量连续且且均匀分布均匀分布的刚体的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯才能用积分计算出刚体的转动惯量。对于形状复杂的刚体通常通量。对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。过实验测得其转动惯量。参见教材参见教材p85p85几种常用刚体的转动惯量几种常用刚体的转动惯量15 若连接两小球（视为质点）的若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则：轻细硬杆的质量可以忽略，则：转轴转轴转轴转轴例例1 1：可可视为视为分离质分离质点结构的刚体点结构的刚体例例2 2 如如图所示，套图所示，套两个质点两个质点的轻质细杆，长为的轻质细杆，长为l，求求:通过通过o 点并垂点并垂直直杆杆的的轴的转轴的转动惯量。将两质点动惯量。将两质点换位再作计算。换位再作计算。解：解：由由o mo m 2m结论：结论：o 2m m o 2m m 例例3：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，面的质心轴转动，求：求：转动惯量转动惯量 J。解：解：质质量元量元 dm，各质量元到，各质量元到轴的距离相等轴的距离相等，绕圆环质心轴的转动惯量绕圆环质心轴的转动惯量:微元法：微元法：18解：解：设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，圆环质量：圆环质量：圆环对轴的转动惯量：圆环对轴的转动惯量：例例4：一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，求：求：通过盘中心通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。圆盘的转动惯量为：圆盘的转动惯量为：在在盘上取半径为盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环。OO解：解：设棒的线密度设棒的线密度为为例例5：一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，均匀细长棒，求：求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒：转动惯量与轴的位置有关。转动惯量与轴的位置有关。取取一距离转轴一距离转轴 OO 为为 处的处的质量元：质量元：平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置 .质量为质量为 的刚体，如果对的刚体，如果对其其质心轴的转动惯量质心轴的转动惯量为为 ，则则对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO注意注意如：如：圆圆盘对盘对P 轴的转动轴的转动惯量惯量O解：解：绕细杆质心的转动惯量为：绕细杆质心的转动惯量为：绕杆的一端转动惯量为绕杆的一端转动惯量为:CO例例6：再再以长为以长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定轴转动为例，利用平行轴定理理,求求：转动惯量转动惯量 J。22例例7：如图所示，如图所示，求：求：刚体对经过棒端且与棒垂直刚体对经过棒端且与棒垂直的的 轴轴的转动惯量？的转动惯量？(棒长为棒长为L、圆半径为圆半径为R）OOO牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。事实表明：事实表明：要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有光有力的作用是不够的，必须有力矩力矩的作用。的作用。比如：比如：门绕轴的转动。门绕轴的转动。对刚体动力学规律的研究可以比照质点动力对刚体动力学规律的研究可以比照质点动力对刚体动力学规律的研究可以比照质点动力对刚体动力学规律的研究可以比照质点动力学学学学规律规律规律规律的的的的方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。刚体定轴转动中的刚体定轴转动中的角加速度角加速度角加速度角加速度是怎样产生的呢？是怎样产生的呢？力矩：力矩：反映力的反映力的大小、方向、作用点大小、方向、作用点对物体转对物体转动的动的影响。影响。三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律（Theorem of RotationTheorem of RotationTheorem of RotationTheorem of Rotation）O刚体定轴刚体定轴转转动定律的推导动定律的推导：取刚体内任一质元取刚体内任一质元mi，它，它所受合外力为所受合外力为 ，内力为，内力为 。（只考虑合外力与内力均（只考虑合外力与内力均（只考虑合外力与内力均（只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。）在转动平面内的情形。）在转动平面内的情形。）在转动平面内的情形。）对对mi 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：（法向力作用线通（法向力作用线通过轴，过轴，力力矩为零。）矩为零。）两边乘以两边乘以ri：求和：求和：切线方向：切线方向：用用 M 表示表示合外力矩合外力矩，有：，有：转动定律转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比。成反比。说明说明:3）M、J、是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。4 4）具具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。有瞬时性，是力矩的瞬时效应。2 2）是是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。）。5 5）刚刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。合外力矩合外力矩内力矩的和（为零）内力矩的和（为零）1 1）刚刚体的转动惯量体的转动惯量是是刚体转动惯性的量度。刚体转动惯性的量度。转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用转动定律的应用解题步骤解题步骤：1）确定确定研究研究对象对象，采用隔离法；，采用隔离法；2）受力分受力分析析，画出受力图，找出力矩；画出受力图，找出力矩；画出受力图，找出力矩；画出受力图，找出力矩；3）建坐标建坐标；4）列方列方程程；5）解方程解方程，进行必要的讨论。，进行必要的讨论。注意注意:1 1）力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2 2）可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或 角角加速度、角速度的正负加速度、角速度的正负；3 3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则：系统中既有转动物体又有平动物体时，则：对对转动转动物体按物体按转动定律转动定律列方程；列方程；对对平动平动物体按物体按牛顿定律牛顿定律列方程。列方程。例例例例8 8：定定滑滑轮半径轮半径为为r，质量为质量为M,轮轮轴无摩擦，绳子质量轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打忽略，不伸长、不打滑滑.求求求求：1 1）当当m2与桌面间的摩擦系与桌面间的摩擦系数为数为时时，求物，求物体体的加的加速度速度a 及张力及张力 T1 与与 T2各为多少？各为多少？2 2）若桌面光滑，再求以上各量。若桌面光滑，再求以上各量。解：解：力和力矩分析，力和力矩分析，按隔离法，按隔离法，建坐标。建坐标。对质点用牛顿定律对质点用牛顿定律对刚体用转动定律对刚体用转动定律限制性条件限制性条件28解得：解得：例例9：一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链一固定铰链 O 相接，并可绕其转动。由于此竖直放置相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于的细杆处于非稳定平衡状态非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动。转动。试计算：试计算：细杆转动到与竖直线成细杆转动到与竖直线成 角时的角时的角加速度角加速度和和角速度角速度。解：解：细杆受细杆受重力重力和和铰链对细杆的铰链对细杆的约束力约束力作用，作用，由转动定律得由转动定律得：式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义:由转动定律得由转动定律得：例例10：物体物体 m1 m2，定滑轮（，定滑轮（R，m）轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。不打滑。求：求：重物的加速度及绳中张力。重物的加速度及绳中张力。解：解：轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑（转动）（转动）（平动）（平动）（线（线-角）角）Rm1m2mT2m1gm2gT1T2T1a ab bT2m1gm2gT1T2T1a ab b解解得：得：如果考虑轴上如果考虑轴上如果考虑轴上如果考虑轴上摩擦力矩摩擦力矩摩擦力矩摩擦力矩（MMf f 不为不为不为不为 0 0）时为时为时为时为：T2m1gm2gT1T2T1a ab b解：解：T2m1gm2gT1T2T1a ab b若若若若不计轴上摩擦、不计滑轮质不计轴上摩擦、不计滑轮质不计轴上摩擦、不计滑轮质不计轴上摩擦、不计滑轮质量量量量（MMf f=0,m=0=0,m=0），），），），有：有：有：有：解得：解得：若不计轴上摩擦、不计滑轮质量若不计轴上摩擦、不计滑轮质量若不计轴上摩擦、不计滑轮质量若不计轴上摩擦、不计滑轮质量 （MMf f=0,m=0=0,m=0），），），），有：有：有：有：Rm1m2mAMg作用的系统有两个对象作用的系统有两个对象F 直接作用在滑轮上直接作用在滑轮上隔离法隔离法得得练练习习：一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r 的的飞轮边缘飞轮边缘，A:以重量以重量P=98 N的物体挂在绳的物体挂在绳端端,B:在在绳端施以绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的拉力，飞轮的转动惯量的转动惯量 J，飞轮与转轴间的摩擦不计飞轮与转轴间的摩擦不计。求：求：A和和B角加速度哪个大？角加速度哪个大？BA:B:平动平动转动转动38 通过 o 点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为 JO=1）正三角形的各顶点处有一质点 m，用质量不计的细杆连接，系统对通过质心 C 且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为：3+m l 2=2ml 2=m l 2+(3m)r 2=2ml 2例：质量离散分布刚体:J=mi ri2 m l 2olllcrmmm39例：例：半经为半经为 R R，质量为，质量为 m m 的均匀圆环，的均匀圆环，求：求：对于沿直径转轴的转动惯量对于沿直径转轴的转动惯量解：解：圆环的质量密度为：圆环的质量密度为：在环上取质量元在环上取质量元 dmdm，dm dm 距转轴距转轴为为 r r40根据对称性有：根据对称性有：由由垂直轴定理垂直轴定理：*另解另解对过环心并与环垂直的转轴的对过环心并与环垂直的转轴的转动惯量转动惯量:41例：例：一长为一长为 a a、宽为、宽为 b b 的匀质矩形薄平板，质量为的匀质矩形薄平板，质量为 mm，求：求：1 1）对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量；对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量；2 2）对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。解：解：垂直向上为垂直向上为 y y 轴，板的质量面密度为：轴，板的质量面密度为：在板上取长为在板上取长为a a、宽为、宽为dydy的小面元的小面元42或由平行轴定理：或由平行轴定理：转轴与长边重合转轴与长边重合如图，求悬挂物加速度。如图，求悬挂物加速度。解：普通物理学教案例题：用隔离法用隔离法联立联立求解求解44例：在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求：滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2。rROOm2m145例：在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J；求：滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2。解：设m1向下运动，46联立解得：47讨论：A）当 时，物体运动方向与所设相同，反之则相反；B）当 时，即滑轮静止或匀速转动；C）当 时，则为定滑轮的情况。48例：圆盘以 0 在桌面上转动，受摩擦力矩作用而静止，求：初始时刻到圆盘静止所需时间。解：取一质元由转动定律：摩擦力矩：R R49例：一个质量为M、半径为 R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求：物体 m由静止下落高度 h 时的速度和此时滑轮的角速度。TGRNmgTa定轴ORthmv0=0绳.50解：TGRNmgTa定轴ORthmv0=0绳51qq 从等倾角 处静止释放两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比213q1q1321根据短杆的角加速度大。且与匀质直杆的质量无关。