高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解.doc

高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1(2010广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()AaB.aC2aD.a答案D解析依题意得ACB120.由余弦定理cos120AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a23a2ABa.故选D.2(文)(2010广东佛山顺德区质检)在ABC中，“sinA”是“A”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析在ABC中，若sinA，则A，反之A时，不一定有sinA，如A时，sinAsinsin.(理)在ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“ab”是“acosAbcosB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当ab时，AB，acosAbcosB；当acosAbcosB时，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或AB.则ab或a2b2c2.所以“ab”“acosAbcosB”，“acosAbcosB”/ “ab”，故选A.3已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得ABC120，则AC两地的距离为()A10km B.kmC10km D10km答案D解析如图，ABC中，AB10，BC20，B120，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos12010220221020700，AC10km.选D.4(文)在ABC中，sin2(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cosA，a2b2c2，故选B.(理)(2010河北邯郸)在ABC中，sin2Acos2B1，则cosAcosBcosC的最大值为()A. B. C1 D.答案D解析sin2Acos2B1，sin2Asin2B，0A，B，sinAsinB，AB.故cosAcosBcosC2cosAcos2A2cos2A2cosA12(cosA)2，0A，0cosA1，cosA时，取得最大值.5(文)(2010广东汕头一中)已知ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2Asin2C)(ab)sinB，那么角C的大小为()A. B. C. D.答案C解析由正弦定理得，a2c2abb2，cosC，0C，C.(理)已知a、b、c是ABC三内角A、B、C的对边，且A为锐角，若sin2Acos2A，则()AbcsinB，AB，sinB，cosB，cosCcos(AB)cos(AB)sinAsinBcosAcosB.点评在ABC中，有sinAsinBAB.7在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237 B227 C247 D257答案A解析如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A.8(文)(2010青岛市质检)在ABC中，B，三边长a、b、c成等差数列，且ac6，则b的值是()A. B. C. D.答案D解析由条件2bac，4b2a2c22aca2c212，又cosB，a2c26b2，4b218b2，b.(理)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB()A. B. C. D.答案B解析a、b、c成等比数列，b2ac，又c2a，b22a2，cosB.点评在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化9如图所示的曲线是以锐角ABC的顶点B、C为焦点，且经过点A的双曲线，若ABC的内角的对边分别为a、b、c，且a4，b6，则此双曲线的离心率为()A. B.C3 D3答案D解析sinC，因为C为锐角，所以C，由余弦定理知c2a2b22abcosC426224628，c2e3.10(文)(2010山东济南)设F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，P在双曲线上，若0，|2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由条件知，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，根据双曲线定义得：4a2(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|24ac4c24ac，a2acc20，1ee20，e1，e.(理)(2010安徽安庆联考)如图，在ABC中，tan，0，()0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.答案A解析0，AHBC，tan，tanC，又()0，CACB，tanBtancot2，设BHx，则AH2x，CHx，ABx，由条件知双曲线中2CAH2x,2aABBH(1)x，e，故选A.二、填空题11如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得CAB30，CBA45，AB120米，则河的宽度为_米答案60(1)解析过C点作CDAB于D，设BDx，则CDx，AD120x，又CAB30，解之得，x60(1)12(2010福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5海里的C处则两艘轮船之间的距离为_海里答案解析如图可知，ABC60，ABBC，AC5，BAC60，从而DAC45，又AD3，由余弦定理得，CD.13(文)(2010山东日照模拟)在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C，ABC的面积等于，则ab_.答案4解析由条件知，absin，ab4，cos，a2b28，(ab)2a2b22ab8816，ab4.(理)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积S(b2c2a2)，若a10，则bc的最大值是_答案10050解析由题意得，bcsinA(b2c2a2)，a2b2c22bcsinA，结合余弦定理得，sinAcosA，A，又根据余弦定理得100b2c2bc2bcbc，bc10050.14(文)(2010山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60方向上，另一灯塔在南偏西75方向上，则该船的速度是_海里/小时答案10解析设该船的速度为v海里/小时，如图由题意知，AD，ACv，tan752，又tan75，2，解得v10.(理)(2010合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行当与满足条件_时，该船没有触礁危险答案mcoscosnsin()解析MAB90，MBC90MABAMB90AMB，AMB，由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使船没有触礁危险需要BMsin(90)n，所以与满足mcoscosnsin()时船没有触礁危险三、解答题15(2010河北唐山)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且acosBbcosA1.(1)求c；(2)若tan(AB)，求的最大值解析(1)由acosBbcosA1及正弦定理得，cosBcosA1，csin(AB)sinC，又sin(AB)sin(C)sinC0，c1.(2)tan(AB)，0AB，AB，C(AB).由余弦定理得，12a2b22abcosCa2b2ab2ababab2，当且仅当ab1时取“”号所以，的最大值是.16(文)(2010广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得ADCD，AD10km，AB14km，BAD60，BCD135，求两景点B与C的距离(精确到0.1km)参考数据：1.414，1.732，2.236.解析在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得：x210x960，解之得，x116，x26(舍去)，由正弦定理得，BCsin30811.3(km)答：两景点B与C的距离约为11.3km.(理)(2010湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面该圆的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界ABAD4万米，BC6万米，CD2万米(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB、BC可以调整为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求出其最大值解析(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以ABCADC180，连接AC，由余弦定理：AC24262246cosABC4222224cosADC.cosABC.ABC(0，)，ABC60.则S四边形ABCD46sin6024sin1208(万平方米)在ABC中，由余弦定理：AC2AB2BC22ABBCcosABC163624628，故AC2.由正弦定理得，2R，R(万米)(2)S四边形APCDSADCSAPC，SADCADCDsin1202.设APx，CPy，则SAPCxysin60xy.又由余弦定理：AC2x2y22xycos60x2y2xy28.x2y2xy2xyxyxy.xy28，当且仅当xy时取等号S四边形APCD2xy2289，即当xy时面积最大，其最大面积为9万平方米17(2010上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米)解析(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20cosPAB同理，在PAC中，AC50cosPAC，cosPABcosPAC，解之得，x31.(2)作PDAC于D，在ADP中，由cosPAD得，sinPAD，PDPAsinAPD31418.33千米，答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米含详解答案