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第 44 卷第 1 期 温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 2 月 Vol.44 No.1 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Feb.2023 一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 张伟诗，张子振，李 婷(安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030)摘 要：研究一类考虑因吸烟患病群体的时滞戒烟模型，该模型包括六个子群体：潜在吸烟者、偶尔吸烟者、吸烟者、临时戒烟者、永久戒烟者和因吸烟患病者以吸烟者因吸烟患病经历的时间周期时滞为分岔参数，推导出模型局部渐近稳定和产生 Hopf 分岔的充分条件研究了 Hopf 分岔的方向和分岔周期解的稳定性，利用仿真示例验证了所得结果的正确性 关键词：时滞；戒烟模型；Hopf 分岔；分岔周期解 中图分类号：O175.12 文献标志码：A 文章编号：1674-3563(2023)01-0001-11 DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2023.01.001 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 香烟中含有超过 7 000 种化学物质1，其中有些有毒这些有毒物质几乎影响身体的每一个器官，降低人体健康水平，如增加肺部感染和消化系统溃疡、使本身疾病持续加重、运动期间血液携带的氧气减少等近年来，在中国和世界其他地方，人们逐渐认识到吸烟成瘾已经是一个公共卫生问题，它是癌症和心脏病等非传染性疾病的主要危险因素以中国为例，根据世界卫生组织于 2019 年 7 月 26 日发布的全球烟草流行报告可知，中国每年有约 100 万人死于与吸烟有关的疾病，约 10 万非吸烟者死于二手烟从全球角度来看，吸烟每年导致全世界约 600 万人死亡2受社交活动的影响，吸烟就像传染病一样在人与人之间持续传播为此，国内外一些学者基于传染病原理，通过构建微分方程模型，研究吸烟行为的动力学性质Garsow 等提出了基本的 PSQ（Potential Smokers-Smokers-Quit Smokers）戒烟模型3，在该戒烟模型中，Garsow 等把群体分为潜在吸烟者、吸烟者和戒烟者等三个子群体随后，考虑到成功戒烟者由于生活工作压力等原因再次复吸，Sharomi 等在 PSQ 戒烟模型中，引入临时戒烟者子群体，提出了 PSQtQp（Potential Smokers-Smokers-Temporary Quit Smokers-Permanent Quit Smokers）戒烟模型4 后来，在 PSQ 和 PSQtQp戒烟模型的基础上，一些学者又提出并研究了不同类型的戒烟模型，如随机戒烟模型5、分数阶戒烟模型6-7、具有阶段结构的戒烟模型8-9等但以上戒烟模型均未考虑吸烟对身体健康的影响 最近，Hussain 等10提出了如下考虑因吸烟患病的戒烟模型：收稿日期：2022-01-11 基金项目：国家自然科学基金项目(12001001)；安徽省自然科学基金项目(2008085QA09)；安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2021A0486)作者简介：张伟诗(1999)，男，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：动力系统稳定性、分岔等研究 参见:2019 年全球烟草流行报告EB/OL.https:/apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/326043/97892 41516204-eng.pdf.温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 2 1122d()()()()dd()()()()()dd()()()()()()()dd()()()()(1)()dd()()()dd()()()()dttttppP tP t S tP ttO tP t S tO ttS tO tS t Q tS tS ttQ tS t Q tQ tS ttQ tS tQ ttX tS tX tt=-|=-+|=+-+-|=-+-|=-|=-+|，（1）其中，()P t，()O t，()S t，()tQ t，()pQ t和()X t分别表示潜在吸烟者、偶尔吸烟者、吸烟者、暂时戒烟者、永久戒烟者和因吸烟患病者在时刻t的数量为潜在吸烟者的常数输入率，为潜在吸烟者和吸烟者之间的接触率，为每个子群体的自然死亡率，1为偶尔吸烟者向吸烟者的转化率，2为临时戒烟者与吸烟者接触复吸的概率，为吸烟者的戒烟率，为永久戒烟者在所有戒烟者中所占的比率，(1)-为临时戒烟者在所有戒烟者中所占的比率，为吸烟者因吸烟患病的比率，为吸烟患病者因病死亡率Hussain 等假设吸烟者患病是瞬时发生的，研究了模型的全局渐近稳定性，并提出了控烟策略在现实生活中，吸烟者由慢性病阶段转化为急性病阶段会存在一定的时间间隔，即吸烟者在t时刻开始吸烟，经过时间周期后在t时刻转化患病从而威胁生命健康本文在文献10提出的模型基础上，引入吸烟者因吸烟患病经历的时间周期时滞，研究如下时滞戒烟模型：1122d()()()()dd()()()()()dd()()()()()()()dd()()()()(1)()dd()()()dd()()()()dttttppP tP t S tP ttO tP t S tO ttS tO tS t Q tS tS ttQ tS t Q tQ tS ttQ tS tQ ttX tS tX tt=-|=-+|=+-+-|=-+-|=-|=-+|，（2）其中，为吸烟者因吸烟患病经历的时间周期时滞本文主要研究对模型（2）稳定性的影响 1 Hopf 分岔的存在性 根据文献10的分析可知，如果基本再生数1011()()=+R，则模型（2）存在唯一吸烟平衡点*(,)t*p*E P O S QQX，其中，张伟诗等：一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 3*PS=+，*1*()()=+SOS，*2*(1)tSQS-=+，*pSQ=，*SX=+*S是方程22*1*00+=l Sl Sl的正根，其中，011()()=+-l，1122112()()()(1)()=+-+-l，221()()l =+.模型（2）在吸烟平衡点*(,)t*p*E P O S QQX处的雅可比矩阵为：012eJMM=+，其中，11132122233233341434453556600000000000000000000000aaaaaaaaMaaaaa|=|，332630 000 0 00 000 0 00 00 0 00 000 0 00 000 0 00 00 0 0bMb|=|，这里，11*()aS=-+，13*aP=-，21*aS=，221()a=-+，23*aP=，321a=，332*()taQ=-+，342*aS=，33b=-，432*(1)taQ=-，442*()aS=-+，53a=，55a=-，66()a=-+，63b=相应的特征方程为：654321514131211105432252423222120()e0-+=，（3）其中，105566112233441321324411223443()a aa a a aa a a aa a a a=+-，11344322556611225522665566445544665566112233132132445566112211332233()()()()a aa a aaa aa aa aa aa aa aa a aa a aa a aa aa aa a=+-+-+，121122331321324455664455661122331122113322334455446655663443225522665566()()()()()()a a aa a aa+aaa a aa+a+aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a=+-+，13344311225566112233445566132132112233445544665566445566112211332233()()()()()a aaa+aaa a aa a aa a aaa+aa aa aa aa+aaa aa aa a=+-+-+，141122113322334455446655663443112233445566()()a aa aa aa aa aa aa aa+aaa+aa=+-+，15112233445566()a+aaa+aa=-+，201122445566 33a a a a a b=，213311224455446655664455661122()()ba aa aa aa aa a aa+a=-+，温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 4 221122445544665566445566331122 33445566()()()a+aa aa aa aa a aba a ba+aa=+，233311224455446655661122445566()()ba aa aa aa aa+aa+aa=-+，24331122445566()ba+aa+aa=+，2533b=-当0=时，方程（3）变为：654323534333231300=+，（4）其中，301020=+，311121=+，321222=+，331323=+，341424=+，351525=+由文献11知，当123456,0L L L L L L 分别成立时，则方程（4）所有根均具有负实部即当0=时，模型（1）局部渐近稳定，其中，135L=，35233341L=，35333343531323310L=，3533343543132333430313210010L=，35333435531323334353031323330311000100000L=，630L=当0时，令i=（0）为方程（3）的根，代入方程（3）并分离实部和虚部进行计算，得到关于的代数方程：121086424544434241400+=，（5）其中，22401020=-，224111202221101222=+-，2242122211131014202421232222=-+-+，2243132310121411152125222422222=-+-+，224414241213152325222=-+-+，22451525142=-令2=，则方程（5）变为：654324544434241400+=（6）如果模型（2）所有参数给定，利用 Matlab 软件可以计算出方程（6）的所有根为了给出本文主要结果，假设方程（6）至少存在一个正实根0，那么方程（5）就存在正实根00=对于0，计算得到：100020()1arccos()UU|=|，其中，张伟诗等：一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 5 108102415250132515231424220()()()U=-+-+612241125132315211422200()-+4112313211024122214200210221220112101020()()+-+-，2102826202502423250232125222402422222212320240212022020()(2)(22)(22)(2).U=+-+-+-+-+对方程（3）左右两边同时求关于的导数，得到：1543215141312116543215141312111065432dd()-+=-+|+432252423222154322524232221205432()+-+，可以得到：01020()dRed()fU-=|，其中65432454443424140()f=+显然，如果0()0f，则01dRe0d-=|成立根据文献11中关于动力系统产生 Hopf分岔的定理，可以得到下列结论 定理 1 对于模型（2），如果01R，那么当0(0,)时，模型（2）局部渐近稳定；当0=时，模型（2）在吸烟平衡点*(,)t*p*E P O S QQX处产生 Hopf 分岔，并产生一簇分岔周期解 2 Hopf 分岔的方向和分岔周期解的稳定性 令0=+，R，则模型（2）在0=处产生 Hopf 分岔 做下列变换：(/)tt，1*()()u tP tP=-，2*()()u tO tO=-，3*()()u tS tS=-，4*()()ttu tQ tQ=-，5*()()ppu tQ tQ=-，6*()()u tX tX=-模型（2）可变为下列形式：()(,)ttu tL uFu=+?，（7）其中，T6123456(),(),(),(),(),()C(1,0,R)tuu t u t u t u t u t u t=-，012()()(0)(1)LMM=+-，T01313234234(,)()(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0),0,0)F =+-由文献12知，存在有界变差函数(),，当 1,0-时，满足()=L01d(,)()-选取012()()()(1),MM =+，其中()是狄拉克函数 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 6 定义01d(),10d()d(,)(),0A -|=|=|，且0,10()(,),0RF -|=|，则系统（7）转化为：()()()ttu tAuRu=+?对16*C(0,1,(R)，定义0T1d(),01d()d(,0)(),0*sssAssss-（20（20（20T 1R=，利用 Matlab 软件计算得到该组参数下模型（2）的唯一正根*=0.7001S，可知模型存在唯一吸烟平衡点*(10.0999,19.4098,0.7001,268.829 6,E 106.642 6)，进而得到0=1.806 6，0=3.4914，0()0.97580f=因此，模型（2）在0=3.390 4处产生 Hopf 分岔的条件成立 选取0=3.19580,)，模型（2）是局部渐近稳定的，状态轨迹和相图分别如图 1 和图2 所示选取0=3.9139 时，模型（2）失去稳定，并在0=3.4914处产生 Hopf 分岔，状态轨迹和相图分别如图 3 和图 4 所示 张伟诗等：一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 7 图 1 当=3.1958时，仿真示例下模型（2）的状态轨迹 图 2 当=3.1958时，仿真示例下模型（2）的相图 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 8 图 2 当=3.1958时，仿真示例下模型（2）的相图（续）图 3 当=3.9139时，仿真示例下模型（2）的状态轨迹 张伟诗等：一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 9 图 3 当=3.9139时，仿真示例下模型（2）的状态轨迹（续）图 4 当=3.9139时，仿真示例下模型（2）的相图 温州大学学报（自然科学版）(2023)第 44 卷第 1 期 10 经过计算可知0()0.059 20.8417i=-，1(0)6.27370.920 6iC=-+，根据公式（8）（11）计算得到2105.974 7 0=，212.547 4 0T=，根据定理 2 可知，模型（2）在0=3.4914处产生的 Hopf 分岔是超临界的，分岔周期解是稳定的，并且是递增的 4 结 论 本文研究了一类考虑因吸烟患病的时滞戒烟模型以吸烟者因吸烟而患病经历的时间周期时滞为分岔参数，通过讨论相应特征方程根的分布情况，推导出模型局部渐近稳定和产生 Hopf 分岔的充分条件，计算出模型产生 Hopf 分岔的时滞临界点0 利用中心流形定理和规范型理论15，推导出确定 Hopf 分岔方向、分岔周期解稳定性以及周期大小的显式公式研究表明，当时滞的值比较小时（低于临界点0），模型处于稳定状态，此时可以对吸烟行为的传播和因吸烟患病现象进行有效预测和控制而一旦时滞的值越过临界点0，模型将失去稳定性并产生 Hopf 分岔，此时模型中的潜在吸烟者、偶尔吸烟者、吸烟者、偶尔戒烟者、永久戒烟者和因吸烟患病者的数量将处于周期震荡状态，将不利于吸烟行为的传播和因吸烟患病现象有效控制因此，应尽可能地减小值对模型（2）稳定性的影响，尽量避免 Hopf 分岔的产生，以保证有效控制吸烟行为的传播和因吸烟患病现象的发生本文所得结果是对文献10研究工作的补充 参考文献 1 中华人民共和国国家卫生健康委员会.中国吸烟危害健康报告M.北京:人民卫生出版社,2021:16-17.2 Rahman G,Agarwal R P,Din Q.Mathematical Analysis of Giving up Smoking Model via Harmonic Mean Type Incidence Rate J.Applied Mathematics and Computation,2019,354(8):128-148.3 Garsow C C,Salivia G J,Herrera A R.Mathematical Models for Dynamics of Tobacco Use,Recovery and Relapse M.Ithaca,NY:Cornell University Press,2000:3-5.4 Sharomi O,Gumel A B.Curtailing Smoking Dynamics:A Mathematical Modeling Approach J.Applied Mathematics and Computation,2008,195(2):475-499.5 Zhang X K,Zhang Z Z,Tong J Y,et al.Ergodicity of Stochastic Smoking Model and Parameter Estimation J.Advances in Difference Equations,2016,274(1):1-20.6 Alrabaiah H,Zeb A,Alzahrani E,et 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illnesses.Sufficient conditions for local asymptotic stability and occurrence of Hopf bifurcation are derived by regarding the time delay due to the period that smokers need to experience because of smoking-related illness as the bifurcation parameter.The direction of Hopf bifurcation and stability of bifurcating periodic solutions are studied and a numerical example is presented to verify correctness of the obtained results.Key words:Delay;Giving up Smoking Model;Hopf Bifurcation;Bifurcating Periodic Solutions (英文审校：黄璐)