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随机提前期库存模型的规划周期
摘要: 相关的规划周期的文献都大量地致力于分析具有确定提前期的库存系统。我们证明了, 在某种情况下, 相关的规划周期理论也适用于具有随机提前期的情况。特别的, 当生产需求被认为是不可替换的以及确定的, 这时生产运作只能被设置成符合这种特殊要求的而且也只适合于满足这种要求的情况。当持有订单、 退订单、 下订单时, 在可变生产成本不变, 而且销售提前期不变的情况下, 按照一系列连续的整体的生产要求进行生产时总是最优的策略。特定发货量的生产日期具有凸性性质。基于以上的结论, 我们证明了一些规划周期理论。并给出了远期的动态规划递归方法。这些结论被归纳为基本动态订购数量模型。我们呈现了几个案例用以阐述最优策略对提前期变化的灵敏度。
对于动态订购数量问题的规划周期的探索具有远远超越计算存储方法的优势。在许多情况下, 对于下一个最佳生产决策的判断是最重要的, 因为这些事项常常需要定期得到解决以纳入改进后的信息。这将导致在有限时间内的周期问题的自然停止法则, 并随后降低获取和探索信息的成本。Lundin和Morton二人近来集成了规划周期的相关文献, 将它们作为一个整体进行研究。至当前为止, 这项研究已经致力于分析具有确定提前期的库存系统。这篇文章的主要目的是证明在某些假设下一些周期规划的理论和概念也能够被归纳为随机提前期的情况。
Gross和Soriano以及Vinson的研究清楚地证明了提前期变动对库存成本有重大影响。然而文献间也存在差异, 部分是由于连续提前期和随机提前期对库存系统的影响的根本区别。当提前期是连续的, 所有的订单都将按照事先设置的顺序先后到达。当提前期是独立的随机变量, 一种可能性是订单呈现时间上的交叉, 也就是说在时间点2的订货可能先于时间点1的订货到达。
然而, 在一个真正的商业环境下, 订单一般不会交叉, 而且很容易证明, 在许多情况下提前期并不是严格独立的或者独立于形成需求的过程。这些问题在Hadley和Whitin ,Vinson的研究中得到了更深层的探讨。这种困境引发了库存理论的各种响应, 我们现在只是简略的回顾。( 完整的探讨, 请见Liberatore)

1 文献回顾
一些研究者试图概括可用于定期审查的有限时间范围内的随机提前期模型的函数方程。Bulinskaya提出N阶段和无限阶段的库存模型, 这时提前期是发生在0或者1的一个随机变量。Scarf解决了当交货期是时间长度并联的离散随机变量的动态问题。为了达到数学上易处理的效果, Scarf要求至多有一个未付订单。这个限制允许当且仅当不存在未付订单的情况下设置一种顺序。为了避免伴随这种模型方法的计算困难, Wright要求随着时间的推移需求分布是固定的, 而且固定订货成本为0。
Morse的经典结论是已经分析解决的特殊情形( 泊松需求, 指数间隔次数) , 即当提前期是随机的和相互独立的随机变量, 而且允许订单交叉时的情形。与此形成对立的是, Kaplan认为订单是不允许交叉的而且可能的情形是: 未完成订单的交付是独立于未付订单的数量和大小的。订单的到达只依赖于订单被安排的时间。
Hadley和Whitin研究了随机提前期对大范围的连续定期审查库存策略的影响。她们认为, 订单间的时间间隔一般是足够长的, 以致订单间不存在相互影响。因此她们提出提前期是随机独立的, 同时订单间不会出现交叉现象( 或者说交叉的可能性小到能够忽略) 。
最后, Washburn开发了一个无限范围的库存模型, 在这个模型中, 需求在单位时间内是一个常数U。为了避免出现交叉的问题, Washburn假设( 和我们一样) 提前期是随机独立的, 但需求是不可改变的。每一单位的需求被认为是一个”特殊的订单”。因此是否出现订单交叉是无关紧要的。事实上, 如果需求是可替换的, 错误就会随着订单交叉现象的出现而出现, 正如Hadley-Whitin的方法。

2 单生产点模型
取c1和 c2为存货成本和退货成本, 表示为美元/单位/时间, K作为每单位产量运行的固定成本。Di作为时刻ηi的需求产量, i=1,……P。注意我们不要求所有的i都取常数。定义g(t)为提前期的概率质量函数或概率密度函数。分布函数为G(x),对于tmin<t<tmax有g(t)>0, 其它情况取0。
由于需求被认为是不可改变的, 生产量必须按照特殊需求进行设置, 而且仅能用于满足这些需求。当一项任务被确定下来, 我们需要及时定位生产的时间点以最小化库存成本的预期值。我们先来考虑后面的问题。将EIC(T;l;m)定义为预期的库存成本, 它的值是经过联合T时刻的生产需求Dl, ……, Dm得出。

由此我们得到定理2.1 : EIC(T;l;m)是一个凸函数, 最优生产点( 称为T※( l;m) ) 满足

证明: 对( 1) 进行两次约分得到, 这是一个非负函数, 因为g(ηi-T)是非负的。因此, EIC(T;l;m)是一个凸函数。让一阶导数为0, 间接得到( 2) 式。注意: 当l=m, Di项被消掉, 得到熟悉的报童结果

这里提前期( 与需求相反) 是随机变量。我们现在陈述定理2.1几个关键推论。它们的证明是简单的而且能在[13]找到。
推论2.1 T※的一个充分条件是: tmax-tmin>maxl+1≤i≤m{ηi -ηi-1}。
推论2.1的假设在大多数标注概念分布下能够得到满足, 例如伽马分布和正态分布。
推论2.2 假设ηi, ηj,ηk,ηl为任一到期日, 而且满足ηi<ηj <ηk <ηl,则

推论2.2允许我们对T*(l,m)的区间进行约束。例如, 一旦T*(1,3)被确定, 我们知道T*(2,3)将会落在区间max{ T*(2,2), T*(1,3), T*(3,3)}内。一旦T*(1,1)被确定, 我们知道T*(l,l)在ηi之前的距离会等于T*(1,1)在ηi之前的距离。如果提前期服从伽马分布, 能够运用Cantley的方法很快找到T*(1,1)。在任何情况下, 我们能够找到L0和R0, 满足L0≤T*(l,m) ≤R0。定义s=[s1,…, sf]Ξ[L0, ηi’,…, ηj’], ηi最小, ηi>L0, ηj最大, ηi, R0。我们得到
推论2.3如果j*是满足的j∈{2,…, f}的第一个数, 则T*(l,m) ∈(sj*-1,sj)。
当找到j*, 一个标准的搜索过程( 例如牛顿迭代法) 便能快速地分离出T*(l,m)。

3 多生产点模型
考虑允许多条生产线运行的P个需求点的问题。我们证明了生产连续的完整的需求总是最优的。这能够经过两个定理来实现。让Xij等于Tj时刻的生产量0≤xij≤Di。
定理3.1至少存在一个最优策略使得有且只有一个Xi对任一i非零。
证明见[13]
定义3.1称Ф为一个连续的整体的需求生产过程, 或者简单地, 一个连续过程, 如果Dj,Dk∈Ф, 这里的ηj<ηk暗含{Dj+1,…Dk-1}∈Ф。
定理3.2至少存在一种最优决策仅由连续运行组成。
证明: 经过归纳法。假设定理不满足DN+1个需求点, 那么存在两种情况。
情况1, DN+1被分配到连续过程中。则存在一个l*, l ≤l*<N+1使得{Dl*, Dl*+1,…, DN}形成最优决策中的一个过程。对l*-1点问题运用归纳假设。我们能够找到一个决策仅由连续过程组成, 使得其费用不超过其它替代决策, 而且对于l*-1具有相同的结束状态。
情况2, DN+1被分配到不连续的过程中, 称为Ф*, 在T(Ф*)时刻生产。取i*表示指派给Ф*的最早需求的下标( 根据它的η值) 。至少存在一个i*, i*<i<N+1, 使得Di￠Ф*。称这个过程满足Ф*, 生产点为T(Ф*)。让最早需求和最迟需求的下表分别为j’和k’。它至少应满足下列式子中的一个:

我们考虑了两种情况, 认为需求总是能够重新分配以使预期费用小于原始策略。简而言之, 令T*(i,i)ΞT*(i)。
C1.经过( 4) 式,

和
从( 4) 式, 我们得到
C1.1 T(Ф*)≤T(Ф’)
联合( 8) ( 9) ( 10) 式, 能够推出T*(i*)≤T*(φ*)≤T(φ’) ≤T*(k’) <T*(N+1)。将C(T;i)定义为时刻ηi的单位需求量的库存成本。由凸函数, 我们知道C(T(φ’);N+1) ≤C(T(φ*)); N+1, 因此, 在φ’内重新分配DN+1不会增加预期费用, 结果是另一个最优决策。
C1.2 T(φ*)>T(φ’)。和上面的论述一样, 除了我们在φ’内重新分配Di*
C2.经过( 4)

为了涵盖所有的( 8) ( 9) ( 11) 式中的可能不等关系, 我们必须分析一系列的拓展情况。使用的方法和C1.1阐述的完全一样, 只有一个例外, 也是我们现在所考虑的。假设T*(j’)≤T(φ’)≤T*(i*) <T*(k’) <T(φ*)≤T*(N+1)。因为φ和φ*是最优决策过程,

定义Δ=T*( i*) -T(φ’); Δ’=T*(k’)-T*(i*);Δ’’=T(φ*)-T*(k’)。由凸函数, C( T*( k’) -Δ-Δ’;k’) ≥C(T*(k’)-Δ;k’)。可是由( 3) 得C( T*( k’) -Δ;k’) =C(T*(i*)-Δ;i*)。由最后两个等式得

一个包含Δ‘和Δ’’的相似的论证给出

联立( 12) ( 13) 以及( 14) 式得出
, 表明在φ’’中重新分配Dk, 能够得到另一个最优策略。
因为第二种情况所给出的方法能够运用到任何库存决策, 当DN+1是非连续过程的一部分时, 我们总能够找到一个替代的最优决策使所有的过程都是连续的。
如果推论2成立, 容易得到2.2中所有的不等式成为严格不等式, 而且最优库存决策将会由连续过程组成。
使用定理3.2, 我们阐明了远期动态规划的决策问题。将F(j)定义为j型需求点最优决策的预期费用, 此时F(0) Ξ0。令V(l,T,m)=F(l)+K+EIC(T;l+1,m)。定义最优策略的递归方程为
我们注意到这种类型的动态规划问题具有和网络流问题一样的等价表示。( 见Newson[16])

4.规划周期结论
定义4.1.如果ηi之后的需求对于η1,…, ηk的需求的最优生产计划来说是无关紧要的, 则认为ηk( 或者仅是k) 是预期周期一个规划周期ηi( 或者l) , ηk<nl。
定义4.2.一个分离点( SP) 是指派给给定生产时间的最后的需求指标。
让作为P型需求点最优问题中的倒数第二个生产过程, 。同时, 让恒等于P型需求点问题的最后一个过程的最优生产时间, 我们有恒等式。
定理4.1. 对于所有的需求型问题, 有

证明: 对于P1点问题, 让, 。我们考虑两种情况: ( A) (B) .
情况( A) 。经过的P型需求点问题中的实行最优化,

由的定义

联立( 16) ( 17) 得到

由( 4) 以及情况A的假设, 我们得到。由EIC为凸函数, 得到

联立( 18) ( 19) , 得到

设, 则, 我们得到另一个最优策略。
情况( B) ,首先我们给出

假设上式不成立。再在不等式两端同时加上, 得到
由的定义, 以及
, 联立最后两个式子

则P型需求点得到i(P)和Z(P)两个矛盾的最优策略。因此( 20) 式成立。再由(4)式以及情况( B) 的假设, 我们推出; 因此有

联立( 20) ( 21) 得到

再由定义, , 将它与( 22) 联立, 得到

设, 则, 我们得到最优策略。由( 6) 式, 使得成立。我们
已经证明了, ( 7) 式使得定理的第二部分直接成立, 因为

我们能够用这个结论以及式( 5) 修正先前的算法。得到

此时
定理4.2.对于所有的的需求点问题, 最优决策包含一个分离点使得
证明.如果, 定理显然成立。假设, 由定理4.1, 我们知道。现在我们假设定理不成立。则一定有。记P1型需求点问题中的的最小值为,记小于的最大点的SP为, 则有
因为是P1型问题中的SP的一个值, 是这个策略中超越第一个需求点的预期费用。因为是下一个最近的SP,
因此由定义有。可是由式( 24) , , 此时。这与定理4.1矛盾。
任一个P1型问题都部分包含, 。现在假设任一个i点问题中最优化的第一个生产过程是一样的, 或者更准地说, 它们的第一个非零SP相同。因为i型点一个子问题总会嵌入型需求型问题, 这个SP组成一个规划周期, 此时P是联合预期周期。
定义为P型点最优策略的第一个非零SP。我们现在给出我们主要规划周期结果。
推论4.1.如果, 则有是一个规划周期, P是它的预测周期。

5．与文献的关系
对于存在需求短缺量拖后的动态订购模型, 探索前述结论以及由Blackburn和Kunreuther(B-K)[1]得到的结论的关系具有启发性意义。容易证明, 在发货提前期确定的情况下, 这里提出的远期递归法与B-K提出的在适当费用假设下的结论是一样的( 所有的可能性都集中于一点) 。我们下面进一步评论两者的关系。
评论1.B-K和Eppen-Gould-Pashigian法的规划期概念表明对于时间点在t的需求, 不存在在任何进行生产的投机动机.在存货, 短缺量拖后和变动生产成本不变的情况下, 每一个生产周期都是一个规划周期。费用是一个与t无关的单调非减函数。容易知道( 1) 这些情况下的确定提前期是一个离散型凸函数。由( 5) 式, 我们能够将简化形式纳入B-K模型的最优生产决策。
评论2.一个再生点的定义是一个最终库存量为0的周期。当提前期是可确定的, 每一个SP都是一个再生点。因此定理3.1和3.2是与动态订货模型的再生点情况密切相关的结论。
评论3.在动态订货量模型中定理4.1和4.2第一次在式( 1) 中出现, 而推论4.1中的特殊情况作为规划周期的基础结论是由Wagner和Whitin首先证明的。定理4.2源于Zabel的工作, 她的方法近来已成为规划周期理论进展的源泉。Lundin和Morton[14]证明了推论4.1在不存在短缺量拖后以及费用不变的情况下, 用于确定第一个周期是非常有效的。推论4.1还允许我们能够很轻松地对第一个决策设置生产约束, 伴随着需求点被不断地加入分析过程。

6最优决策形式的提前期方差结果
假设表1中的数据是已知的, 。基于理论与实践考

虑, 我们选择使用伽马概论分布表示提前期。在提前期服从伽马分布的假设前提下, 使用APL对( 23) 式进行规划, 推论4.1用于进行规划周期搜索。
首先, 提前期分布的平均值和反差为
结果显示在表2和表3。定理4.1排除了考虑冲突单元的必要性。用表示的联合产量, 则最优策略集合为。该策略的预期总费用为631.06。的规划周期的预测周期在

这些结果能够经过查阅表2确定, 如下也是。因为第八列的最小值在第七行, ( 7,8) 形成了8点最优侧率中的最后运输量, 因此。经过定理4.2, 如果, 则是一个规划周期且8是预测值。因为第六列和第七列的极小值在第五个位置, 因此。由, 可知。
假设我们在上述问题中保持平均数不变, 同时减小方差。例如, 取。考虑到空间问题, 我们没有给出所有的结果。最优策略现在由4个生产过程组成: 。预期总费用为498.36, 下降了25%。我们可有有趣地发现, 虽然第一个规划周期仍发生在, 它的预测周期已近降到。因此, 提前期方差的改变可能会引起最优决策中所有特性的变化。
在实践中, 当提前期本身不是一个参数而是一个半控制变量, 这种比较分析是相当有用的。例如, 假定这种设置代表下的材料订单。使用这个模型, 我们能够确定卖方提前期变动( 包括中转时间波动) 对整个设置安排和库存费用的影响。