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第5章多元函数微分学实验一实验一 二元函数的极限二元函数的极限实验二实验二 多元函数的偏导数多元函数的偏导数实验三实验三 隐函数的偏导数隐函数的偏导数实验四实验四 高阶偏导数高阶偏导数实验五实验五 方向导数方向导数实验六实验六 偏导数的几何应用偏导数的几何应用实验七实验七 多元函数的极值多元函数的极值 第5章多元函数微分学验证性实验实验一实验一 二元函数的极限二元函数的极限【实验目的】了解二元函数的极限的概念 会求二元函数的极限【实验要求】掌握创建多个符号变量syms、求极限命令limit 第5章多元函数微分学验证性实验【实验内容】1 求下列二元函数的极限：syms x y a limit(limit(sin(x*y2)/(x*y),x,0),y,a)运行结果：ans=a 第5章多元函数微分学验证性实验 syms x y limit(limit(x*y/(sqrt(x*y+4)-2),x,0),y,0)运行结果：ans=4 第5章多元函数微分学验证性实验实验二实验二 多元函数的偏导数多元函数的偏导数【实验目的实验目的】理解多元函数偏导数的概念理解多元函数偏导数的概念掌握多元复合函数一阶偏导数的求法掌握多元复合函数一阶偏导数的求法【实验要求实验要求】掌握求导命令掌握求导命令diff、赋值命令、赋值命令inline、符号计算中的符、符号计算中的符号变量置换号变量置换subs等命令等命令 第5章多元函数微分学验证性实验【实验内容】1（1）syms x y z=exp(x*y)+log(x+y)zx=diff(z,x)运行结果：zx=y*exp(x*y)+1/(x+y)zy=diff(z,y)运行结果：zy=x*exp(x*y)+1/(x+y)即 第5章多元函数微分学验证性实验 syms x y;z=(1+x*y)y;zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);fzx=inline(zx);fzy=inline(zy);fzx0=fzx(1,1)运行结果：fzx0=1 第5章多元函数微分学验证性实验 fzy0=fzy(1,1)运行结果：fzy0=2.3863 第5章多元函数微分学验证性实验实验三实验三 隐函数的偏导数隐函数的偏导数【实验目的实验目的】会求多元隐函数的偏导数会求多元隐函数的偏导数【实验要求实验要求】掌握求导命令掌握求导命令diff、解方程的命令、解方程的命令solve 第5章多元函数微分学验证性实验1 syms x y z;f=exp(-x*y)-2*z+exp(z);fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);fz=diff(f,z);dzx=-fx/fz运行结果：dzx=y*exp(-x*y)/(-2+exp(z)dzy=-fy/fz运行结果：dzy=x*exp(-x*y)/(-2+exp(z)第5章多元函数微分学验证性实验实验四实验四 高阶偏导数高阶偏导数【实验目的实验目的】掌握多元复合函数二阶偏导数的求法掌握多元复合函数二阶偏导数的求法【实验要求实验要求】掌握创建多个符号变量命令掌握创建多个符号变量命令syms、求导命令、求导命令diff等等 第5章多元函数微分学验证性实验1.syms x y z;f=x2+y2+z2-4*z;fx=diff(f,x);fz=diff(f,z);dzx=-fx/fz;g=dzx;gx=diff(g,x);gz=diff(g,z);dzxx=gx+gz*dzx运行结果：dzxx=-2/(2*z-4)-8*x2/(2*z-4)3 第5章多元函数微分学验证性实验实验五实验五 方向导数方向导数【实验目的】了解方向导数的概念掌握方向导数的计算方法【实验要求】掌握求导命令diff、赋值命令inline 第5章多元函数微分学验证性实验求函数 在点处，沿第一象限角平分线方向的方向导数。1 syms x y;z=x2+y2+x*y;zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);fzx=inline(zx);fzy=inline(zy);a=pi/4;b=pi/4;fl=fzx(1,1)*cos(a)+fzy(1,1)*cos(b)运行结果：fl=4.24262 第5章多元函数微分学验证性实验实验六实验六 偏导数的几何应用偏导数的几何应用【实验目的实验目的】1了解空间曲线的切线及法线方程的概念，会求它们的方了解空间曲线的切线及法线方程的概念，会求它们的方程程2了解空间曲面的切平面及法线方程的概念，会求它们的了解空间曲面的切平面及法线方程的概念，会求它们的方程方程【实验要求实验要求】掌握创建多个符号变量命令掌握创建多个符号变量命令syms、求导命令、求导命令diff、赋值命令、赋值命令inline、符号计算中的符号变量置换、符号计算中的符号变量置换subs等命令等命令 第5章多元函数微分学验证性实验1求曲线 在点（1，1，1）处的切线及法线方程。1 syms t;x=t;y=t2;z=t3;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);dz=diff(z,t);x1=inline(dx);x2=inline(dy);x3=inline(dz);x10=x1(1)运行结果：x10=1 第5章多元函数微分学验证性实验 x20=x2(1)运行结果：x20=2 x30=x3(1)运行结果：x30=3从以上结果可以看出曲线在点（1,1,1）处的切线的方向向量为（1,2,3），故所求切线方程为:法平面方程为：即 第5章多元函数微分学验证性实验实验七实验七 多元函数的极值多元函数的极值【实验目的】理解多元函数的极值和条件极值的概念、会求二元 函数的极值、会用拉格朗日乘数法求条件极值、会求 简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单 的应用问题【实验要求】掌握创建多个符号变量命令syms、求导命令diff、赋值命令 inline、解方程的命令solve等 第5章多元函数微分学验证性实验1求函数 的极值。1 syms x y;f=x3+y3-3*x*y;fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);x0 y0=solve(fx,fy)运行结果：x0=0 1-1/2-1/2*i*3(1/2)-1/2+1/2*i*3(1/2)y0=0 1-1/2+1/2*i*3(1/2)-1/2-1/2*i*3(1/2)第5章多元函数微分学验证性实验在以上解方程过程中产生的两个虚根可不予考虑，在实数范围内，有两个驻点（0，0）和（1，1）。fxx=diff(diff(f,x),x)运行结果：fxx=6*xfxy=diff(diff(f,x),y);fyy=diff(diff(f,y),y);delta=inline(fxy2-fxx*fyy);delta(x0,y0)运行结果：ans=9 -27 9-(-18-18*i*3(1/2)*(-1/2+1/2*i*3(1/2)9-(-18+18*i*3(1/2)*(-1/2-1/2*i*3(1/2)第5章多元函数微分学验证性实验在驻点（0，0）处，因此（0，0）不是函数的极值点。在驻点（1，1）处，且 ，因此（1，1）是函数的极小值点。x=1;y=1;fmin=subs(f)运行结果：fmin=-1理工数学实验第第6章章多元函数积分学多元函数积分学 第6章多元函数积分学实验一实验一 二重积分二重积分实验二实验二 三重积分三重积分实验三实验三 第一类曲线积分第一类曲线积分实验四实验四 第一类曲面积分第一类曲面积分实验五实验五 第二类曲线积分第二类曲线积分实验六实验六 第二类曲面积分第二类曲面积分实验七实验七 梯度、散度与旋度梯度、散度与旋度 第6章多元函数积分学验证性实验实验一实验一 二重积分二重积分【实验目的实验目的】理解二重积分的概念及性质理解二重积分的概念及性质掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）【实验要求实验要求】理解线性等分向量理解线性等分向量linspace、绘制平面线图、绘制平面线图plot、控制轴刻度、控制轴刻度和风格的高层指令和风格的高层指令axis、积分、积分int、产生、产生“格点格点”矩阵矩阵meshgrid、绘制三维着色表面图绘制三维着色表面图surf、绘制曲线图、绘制曲线图mesh、符号计算中的、符号计算中的符号变量置换符号变量置换subs等命令等命令 第6章多元函数积分学验证性实验1计算二重积分 ，其中D是由直线 ，曲线 及 所围成的平面区域。1（1）画出积分区域图形。y=linspace(0,2);x1=y.(3/2);x2=sqrt(1-(y-1).2)+2;x3=-sqrt(1-(y-1).2)+2;plot(x1,y,k,x2,y,k,x3,y,k)运行结果：第6章多元函数积分学验证性实验图6-1 积分区域图 第6章多元函数积分学验证性实验（2）计算积分值 syms x yf=x+y;x1=y(3/2);x2=-sqrt(1-(y-1)2)+2;f1=int(f,x,x1,x2);I=int(f1,y,0,1)运行结果：I=547/168-3/4*pi即 第6章多元函数积分学验证性实验2计算抛物面 在平面 下方的面积。2（1）画出抛物面被平面所截图形。x,y=meshgrid(-1:0.04:1);z1=x.2+y.2;z2=ones(size(z1);surf(x,y,z1)hold onmesh(x,y,z2)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);运行结果：第6章多元函数积分学验证性实验图6-4 抛物面被平面所截图形 第6章多元函数积分学验证性实验（2）计算面积 syms x y r t;z=x2+y2;zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);f=sqrt(1+zx2+zy2);x=r*cos(t);y=r*sin(t);ff=subs(f);r1=0;r2=1;t1=0;t2=2*pi;ff1=int(ff*r,r,r1,r2);S=int(ff1,t,t1,t2)运行结果：S=-1/6*pi+5/6*pi*5(1/2)即 第6章多元函数积分学验证性实验实验二实验二 三重积分三重积分【实验目的】理解三重积分的概念和性质会计算三重积分【实验要求】掌握线性等分向量linspace、控制轴刻度和风格的高层指令axis、积分int、产生“格点”矩阵meshgrid、绘制三维着色表面图surf、绘制曲线图mesh、当前图上重画的切换开关hold on/off、透视和消隐开关hidden on/off等命令 第6章多元函数积分学验证性实验1计算三重积分 ，其中V为三个坐标面及平面 所围成的闭区域。1（1）画出积分区域图形。x,y=meshgrid(0:0.02:1);z1=1-x-2*y;surf(x,y,z1)hold onz2=zeros(size(z1);mesh(x,y,z2)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);运行结果：第6章多元函数积分学验证性实验图6-5 积分区域图 第6章多元函数积分学验证性实验（2）计算积分值 syms x y z;f=x+2*y+z;y1=0;y2=(1-x)/2;z1=0;z2=1-x-2*y;f1=int(f,z,z1,z2);f2=int(f1,y,y1,y2);I=int(f2,x,0,1)运行结果：I=1/16即 第6章多元函数积分学验证性实验实验三实验三 第一类曲线积分第一类曲线积分【实验目的】理解第一类曲线积分的概念和性质掌握计算第一类曲线积分的方法【实验要求】掌握求导命令diff、图形命令plot、plot3、积分命令int 等1求 ，其中 为螺线（1）画出积分曲线的图形。t=0:pi/20:2*pi;x=cos(t);y=sin(t);z=t;plot3(x,y,z)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);运行结果：图6-9 积分曲线图 第6章多元函数积分学验证性实验（2）计算积分值 syms t;x=cos(t);y=sin(t);z=t;xt=diff(x,t);yt=diff(y,t);zt=diff(z,t);f=z2/(x2+y2);g=sqrt(xt2+yt2+zt2);I=int(f*g,t,0,2*pi)运行结果：I=8/3*pi3*2(1/2)第6章多元函数积分学验证性实验 第6章多元函数积分学验证性实验实验四实验四 第一类曲面积分第一类曲面积分【实验目的实验目的】了解第一类曲面积分的概念和性质了解第一类曲面积分的概念和性质掌握计算第一类曲面积分的方法掌握计算第一类曲面积分的方法【实验要求实验要求】掌握产生掌握产生“格点格点”矩阵矩阵meshgrid、绘制三维着色表面图、绘制三维着色表面图surf、积分、积分int、当前图上重画的切换开关、当前图上重画的切换开关hold on/off、绘制曲、绘制曲线图线图mesh、创建多个符号变量、创建多个符号变量syms、符号计算中的符号变量、符号计算中的符号变量置换置换subs等命令等命令 第6章多元函数积分学验证性实验1计算积分 ，其中S为锥面 被柱面 ，（）截得的部分。1（1）画出积分曲面图。x,z=meshgrid(0:0.1:2,0:0.05:2);y1=sqrt(2.*x-x.2);y2=-sqrt(2.*x-x.2);surf(x,y1,z)hold onsurf(x,y2,z)x,y=meshgrid(-2:0.1:2);z=sqrt(x.2+y.2);mesh(x,y,z)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);第6章多元函数积分学验证性实验运行结果：图6-10 积分曲面图 第6章多元函数积分学验证性实验（2）计算积分值 syms x y r t a;z=sqrt(x2+y2);zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);dS=sqrt(1+zx2+zy2);f=x*y+(y+x)*sqrt(x2+y2)*dS;x=r*cos(t);y=r*sin(t);F=subs(f);r1=0;r2=2*a*cos(t);t1=-pi/2;t2=pi/2;f1=int(F*r,r,r1,r2);I=int(f1,t,t1,t2)第6章多元函数积分学验证性实验运行结果：I=64/15*a3*2(1/2)*(a2)(1/2)即 第6章多元函数积分学验证性实验实验五实验五 第二类曲线积分第二类曲线积分【实验目的】理解第二类曲线积分的概念和性质掌握Green公式掌握计算第二类曲线积分的方法【实验要求】掌握求导命令diff、积分命令int、绘制平面线图plot、当前图上重画的切换开关hold on/off等命令 第6章多元函数积分学验证性实验1计算曲线积分 ，其中L是抛物线 上从点 到点 的弧段。1 syms x y;y=x2;dy=diff(y,x);f=2*x*y+x2*dy;x1=0;x2=1;I=int(f,x,x1,x2)运行结果：I=1即 第6章多元函数积分学验证性实验实验六实验六 第二类曲面积分第二类曲面积分【实验目的】了解第二类曲面积分的概念和性质掌握用O-G公式计算曲面积分的方法掌握计算第二类曲面积分的方法【实验要求】掌握求导diff、积分int、符号计算中的符号变量置换subs等命令 第6章多元函数积分学验证性实验1、计算积分 ，其中S是球面 的上半部的外侧。1球面 在 坐标面上的投影区域为：，且球面上半部的外侧与z轴正向成锐角，故 syms x y a t r;x=r*cos(t);y=r*sin(t);f=sqrt(a2-x2-y2);r1=0;r2=a;t1=0;t2=2*pi;f1=int(f*r,r,r1,r2);第6章多元函数积分学验证性实验 I=int(f1,t,t1,t2)运行结果：I=2/3*pi*(a2)(3/2)即 第6章多元函数积分学验证性实验实验七实验七 梯度、散度与旋度梯度、散度与旋度【实验目的】理解梯度的概念、了解散度、旋度的概念掌握梯度的计算方法、会计算散度、旋度【实验要求】掌握创建多个符号变量命令syms、求导命令diff、符号计算中的符号变量置换命令subs等 第6章多元函数积分学验证性实验1.求数量场 在点 处的梯度 1 syms x y z;u=x*y2+y*z3;ux=diff(u,x);uy=diff(u,y);uz=diff(u,z);x=2;y=-1;z=1;ux0=subs(ux)运行结果：ux0=1 uy0=subs(uy)第6章多元函数积分学验证性实验运行结果：uy0=-3 uz0=subs(uz)运行结果：uz0=-3即 第6章多元函数积分学验证性实验2.求向量场 在点 处的散度 2 syms x y z;p=x2;q=y2;r=z2;px=diff(p,x);qy=diff(q,y);rz=diff(r,z);x=1;y=2;z=1;px0=subs(px)第6章多元函数积分学验证性实验运行结果：px0=2 qy0=subs(qy)运行结果：qy0=4 rz0=subs(rz)运行结果：rz0=2即 第6章多元函数积分学验证性实验3.求向量场 在 处的旋度 3.向量场的旋度 syms x y z;p=x*y*z;q=x*y*z;r=x*y*z;pz=diff(p,z);py=diff(p,y);qx=diff(q,x);qz=diff(q,z);rx=diff(r,x);ry=diff(r,y);r1=ry-qz;r2=pz-rx;r3=qx-py;f1=inline(r1);f2=inline(r2);f3=inline(r3);i=f1(1,3,2)第6章多元函数积分学验证性实验运行结果：i=-1j=f2(1,3,2)运行结果：j=-3k=f3(1,3,2)运行结果：k=4 即 理工数学实验第7章 级数理论 第7章 级数理论实验一实验一 数项级数数项级数实验二实验二 幂级数幂级数实验三实验三 Fourier级数级数 第7章 级数理论验证性实验实验一实验一 数项级数数项级数【实验目的实验目的】1理解并掌握数项级数敛散性判定的方法与定理理解并掌握数项级数敛散性判定的方法与定理2理解关于数项级数敛散性判定的理解关于数项级数敛散性判定的Matlab命令命令3掌握级数求和的掌握级数求和的Matlab命令命令【实验要求实验要求】熟悉熟悉Matlab的级数求和命令的级数求和命令symsum以及求数列的极以及求数列的极限命令限命令limit 第7章 级数理论验证性实验1求 的和 .syms n;symsum(cos(n*Pi)/10n,n,1,inf)运行结果：ans=-1/112判别级数 的敛散性 syms n;f=(1/(n*(n+1)/(1/n2);p=limit(f,n,inf)运行结果：p=1由比较判别法的极限形式知级数收敛。第7章 级数理论验证性实验3.判别级数 的敛散性 syms n b c;b=factorial(n+1);c=factorial(n);f=(2(n+1)*b)/(n+1)(n+1)/(2n)*c)/nn);p=limit(f,n,inf)运行结果：p=0由比值判别法知级数收敛。4.判别级数 的敛散性syms n;f=(1/(n*(n(1/n)/(1/n);p=limit(f,n,inf)运行结果：p=1由比较判别法的极限形式和级数 的发散知原级数发散。第7章 级数理论验证性实验 第7章 级数理论验证性实验实验二实验二 幂级数幂级数【实验目的实验目的】1掌握用掌握用Matlab命令求幂级数的收敛半径命令求幂级数的收敛半径2掌握用掌握用Matlab命令将函数展开成幂级数命令将函数展开成幂级数3了解用了解用Matlab命令求近似值命令求近似值【实验要求实验要求】熟悉熟悉Matlab中的级数展开命令中的级数展开命令taylor 以及极限命令以及极限命令limit 第7章 级数理论验证性实验1求级数 的收敛半径1（1）syms n;p=limit(abs(n+2)/factorial(n+1)/(n+1)/factorial(n),n,inf);r=1/p运行结果：r=Inf2将 展成 的幂级数。第7章 级数理论验证性实验syms x;taylor(x/(1+x-2*x2),x,9)运行结果：ans=x-x2+3*x3-5*x4+11*x5-21*x6+43*x7-85*x8即 展开成 的幂级数为3.将 展成 的幂级数。syms x;taylor(cos(x),x,-1*(Pi/3),6)运行结果：ans=1/2+1/2*3(1/2)*(x+1/3*pi)-1/4*(x+1/3*pi)2-1/12*3(1/2)*(x+1/3*pi)3+1/48*(x+1/3*pi)4+1/240*3(1/2)*(x+1/3*pi)5即 展开成 的幂级数为 第7章 级数理论验证性实验4.求 的近似值。syms x y;y=taylor(log(1+x),x,8);x=1;y0=eval(y)运行结果：y0=0.7595 第7章 级数理论验证性实验 第7章 级数理论验证性实验实验三实验三 Fourier级数级数【实验目的】1理解函数Fourier级数展开的系数公式2掌握Matlab软件的有关命令求Fourier级数的系数【实验要求】熟悉Matlab中求Fourier级数的系数的命令int 第7章 级数理论验证性实验 1求函数 的傅立叶系数。1syms x n;f=cos(2*x)a0=int(f,x,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi运行结果：f=cos(2*x)a0=0 an=2*sin(pi*n)*n/(-4+n2)/pi bn=0 第7章 级数理论验证性实验即 的傅立叶系数为 理工数学实验第8章 常微分方程 第8章 常微分方程实验一实验一 微分方程的通解微分方程的通解实验二实验二 微分方程的特解微分方程的特解 第8章 常微分方程验证性实验实验一实验一 微分方程的通解微分方程的通解【实验目的】1求常微分方程的精确解2求简单的常微分方程的高阶方程【实验要求】熟悉Matlab中解常微分方程符号解的命令dsolve 第8章 常微分方程验证性实验1求下列微分方程的通解（1）（2）1（1）dsolve(Dy=y2,x)运行结果：ans=-1/(x-c1)即：第8章 常微分方程验证性实验（2）f=dsolve(D2y-Dy-2*y,x)运行结果：f=C1*exp(-x)+C2*exp(2*x)即：第8章 常微分方程验证性实验实验二实验二 微分方程的特解微分方程的特解【实验目的】1求常微分方程的特解2求常微分方程的数值解【实验要求】熟悉Matlab种解常微分方程符号解和数值解的命令 第8章 常微分方程验证性实验1求下列微分方程的特解（1）（2）1（1）f=dsolve(D2y+Dy-2*y,y(0)=4,Dy(0)=1)运行结果：f=exp(-2*t)+3*exp(t)即：第8章 常微分方程验证性实验（3）syms a;f=dsolve(D2y-a*(Dy2),y(0)=0,Dy(0)=-1)运行结果：f=-log(t*a+1)/a即：设计性试验 实验一实验一 基金存入数的计算基金存入数的计算 第7章 级数理论设计性实验实验一实验一 基金存入数的计算基金存入数的计算【实验目的】1加深对级数基本概念的理解2讨论了微积分学中的实际应用问题【实验条件】掌握级数理论知识，Matlab软件 第7章 级数理论设计性实验【实验内容】某人为支持教育事业，一次性存入一笔助学基金，用于资助某校贫困生。假设该校每年末支取10，000元，已知银行年利率为5%，如果该基金供学校支取的期限为20年，问：此人应存入多少资金？如果该基金无期限地用于支持教育事业，此人又应该存入多少资金？第7章 级数理论设计性实验【实验方案】设年利率为 ，年末支取额为 ，支取期限为 ，期初存入资金为 ，则第1年末支取额为 时，期初应存入的金额为 ；第2年末支取额为 时，期初应存入的金额为 ；依次类推，第20年末支取额为 时，期初应存入的金额为 .第7章 级数理论设计性实验故支取期限为20年时，应存入金额 同理，第 年支取额为 时，期初应存入金额为 故支取期限无限时，应存入金额 第7章 级数理论设计性实验【实验过程】syms n;p=10000,i=0.05;fn=p/(1+i)n;symsum(fn,n,1,20)运行结果：ans=1.2462e+005 syms n;p=10000,i=0.05;fn=p/(1+i)n;symsum(fn,n,1,inf)运行结果：200000 第7章 级数理论设计性实验思考与提高思考与提高 1某地全年气温的经验公式 由于地球围绕太阳作公转，所以气温具有周期性，某地气象台测得 地月平均气温如下表：某地全年气温数据 试建立温度和时间的经验公式.2要求验证是信号的对称性。已知信号序列：月 份123456789121112平 均气 温3.13.86.912.716.820.524.525.922.016.110.75.4