高等数学节.pptx

返回1理论教学教师:彭友霖 刘国良 伍学滨 邱晓晖医用高等数学考核办法:1、理论考试:60%、实验成绩:20%、平时成绩:20%、2、平时考核：旷课1次扣10分、第2次旷课扣20分，迟到早退1次扣5分，以此类推。返回2绪绪 论论1 1 为什么要学习高等数学为什么要学习高等数学为什么要学习高等数学为什么要学习高等数学2 2 高等数学的主要学习内容和教学目的高等数学的主要学习内容和教学目的高等数学的主要学习内容和教学目的高等数学的主要学习内容和教学目的3 3 怎样才能学好高等数学怎样才能学好高等数学怎样才能学好高等数学怎样才能学好高等数学一、要学好高等数学，首先了解高等数学的特点一、要学好高等数学，首先了解高等数学的特点（1）高度的抽象性）高度的抽象性（2）严谨的逻辑性）严谨的逻辑性（3）广泛的应用性）广泛的应用性二、高等数学的教学特点二、高等数学的教学特点（1）课堂大）课堂大（2）时间长）时间长（3）进度快）进度快三、注意抓好学习的六个环节三、注意抓好学习的六个环节 （1）预习（）预习（2）听课）听课 (3)记笔记（记笔记（4）复习）复习（5）做作业（）做作业（6）答疑）答疑 返回3第一章第一章 函数函数 极限与连续极限与连续第一节第一节 函数函数(function)(function)一、函数的概念 1.1.常量与变量常量与变量:注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的。而言的。而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量。在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,返回4因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域2.返回5自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f注意注意1 1：函数的两要素为：函数的两要素为：定义域定义域与与对应法则对应法则.返回6定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数注意注意2：返回7在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数。称为分段函数。二、分段函数(piecewise function)返回81-1xyo符号函数符号函数返回92)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo返回10五、基本初等函数1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数3.对数函数对数函数4.三角函数三角函数5.反三角函数反三角函数返回11六、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数定义定义:返回12注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数。返回13 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支了极限思想，并产生了微积分的两个分支-微分微分学和积分学。学和积分学。第二节 极限(Limits of Sequences)返回14左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证返回15(一)无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.三三 、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大例如：例如：注意注意 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;返回162.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.返回17定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。积是无穷小。推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小。有限个无穷小的乘积也是无穷小。例例返回18(二)无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大。特殊情形：正无穷大，负无穷大。特殊情形：正无穷大，负无穷大。注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大。界变量未必是无穷大。返回19(三)无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。例：返回20(四)无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同。同。不可比不可比.观观察察各各极极限限返回21定义定义:返回22例所以：与 为同阶无穷小返回23例例1 1解解例例2 2解解返回24无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快两无穷小趋于零的速度快慢慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。但并不是所有的无穷小都可进行比较。高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶。无穷小的阶。返回25(一)极限运算法定理定理四、极限的运算法则四、极限的运算法则返回26推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面推论推论2 2返回27例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.返回28例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,返回29(一)极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则五、极限存在准则五、极限存在准则 两个重要极限两个重要极限返回30返回31例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得返回322.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:返回33(二)两个重要极限(1)返回34返回35例例3 3解解返回36基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数初等函数在定义区在定义区间内连续间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性。右连续性。六、初等函数的连续性六、初等函数的连续性