圆锥曲线高考真题专练(含答案).doc

2018年数学全国1卷
设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
解：（1）由已知得，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为或.
（2）当l与x轴重合时，.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为.
由得
.
将代入得
.
所以，.
则.
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.
综上，.
已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
解：
（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得

由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而

.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）

2016年数学全国1卷

设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（I）（）；（II）
【解析】
试题分析：（I）利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。
试题解析：（I）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（II）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
2013年数学全国1卷

已知圆:,圆:,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为（，），半径为R.
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P的半径最长时，其方程为，
当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.
当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.
当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.
当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，
综上，|AB|=或|AB|=.

2012年数学全国1卷
设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点.
（1） 若，的面积为，求的值及圆的方程；
（2） 若三点在同一直线上，直线与平行，且与之有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.

【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离

圆的方程为
（2）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。

已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.
(I)证明：点在上；
(II)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
【解析】(I),的方程为,代入并化简得
. …………………………2分
设,
则

由题意得
所以点的坐标为.
经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分
(II)由和题设知，，的垂直平分线的方程为
. ①
设的中点为,则,的垂直平分线的方程为
. ②
由①、②得、的交点为. …………………………9分
,
,
,
,
,
故 ,
又 , ,
所以 ,
由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分

如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求得取值范围；
（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标
分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则

令，则 下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点的坐标。设点的坐标为：
由三点共线，则得。

设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得，l的方程为.
设，
由得.
，故.
所以.
由题设知，解得（舍去），.
因此l的方程为.
（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.
设所求圆的圆心坐标为，则
解得或
因此所求圆的方程为或.

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解
（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,
由得
因为M（x0,y0）在C上，所以
因此点P的轨迹方程为
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
，

由得，又由（1）知，故
3+3m-tn=0
所以，即.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（I）当t=4，时，求△AMN的面积；
（II）当时，求k的取值范围.

【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则，，，
由此可得.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为.
(2)由
解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为
y＝，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝.
由已知，四边形ACBD的面积.
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.

已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足 .
（I） 证明：点P在C上；
（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在同一圆上。
解：
（I） ，l的方程为，代入并化简得 ……2分

设，
则，
得
得
所以点P的坐标为，验证得P在椭圆上。……6分
（II） 由，知，的垂直平分线的方程为

设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为

联立 ，得， ……9分
……12分

己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
解：
（I）由题设知，的方程为
代入C的方程，并化简得，

设
则①
由为B D的中点知故

即 ②
故
所以C的离心率
（II）由①、②知，C的方程为：
A（a，0），F（2a，0），
故不妨设

…………9分
又
故
解得（舍去）
故
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而
MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆主，MA
为半径的圆经地A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。 …………12分

已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

解：（1）设，则.
两式相减，并由得
.
由题设知，于是
.①
由题设得，故.
（2）由题意得，设，则
.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是
.
同理.
所以.
故，即成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.
所以该数列的公差为或.

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
解
（1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
（2）由（1）可得
故圆心M的坐标为，圆M的半径
由于圆M过点P（4，-2），因此,故
即
由（1）可得，
所以，解得.
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为
当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为
（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积

又直线的方程为，，
点到直线的距离.
于是的面积

当时，得
又，
所以=，解得。
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即 ，解得
因为，所以
故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.
已知曲线.
（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与
曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，
三点共线.
解：（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，
，解得：
由韦达定理得：①，，②
设，，
方程为：，则，
，，
欲证三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

已知椭圆，
（1） 求椭圆的离心率.
（2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。
所以，从而。因此。
故椭圆C的离心率。
（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：
设点A,B的坐标分别为，，其中。
因为，所以，即，解得。
当时，，代入椭圆C的方程，得，
故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。
此时直线AB与圆相切。
当时，直线AB的方程为，
即，
圆心0到直线AB的距离
，又，
故
此时直线AB与圆相切.

已知椭圆：（）的离心率为，点，和点都
在椭圆上，直线交轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点Q，使得若存在，求点的坐标；若不不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）由题意知，，又，解得，
所以的方程为．
的斜率，所以方程，
令，解得，所以
（Ⅱ），同（I）可得，
，，
因为所以，
设则即，
又在椭圆上，所以，即，
所以，故存在使得

已知椭圆C：（）的离心率为，，，，△OAB的面积为1.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.
求证：为定值.
【答案】（I）；（II）见解析.
【解析】
试题分析：（I）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（II）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.
试题解析：（I）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（II）由（I）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以

.
当时，，
所以.
综上，为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.

已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0<k<1．
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线PA的方程为y–2=．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．

已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求直线AB的斜率；
（Ⅲ） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分
（Ⅰ）解：由//且，得，从而
整理，得，故离心率
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为，即
由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得.
依题意，
而 ①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以
③
联立①③解得，
将代入②中，解得.
(Ⅲ)解法一：由（Ⅱ）可知
当时，得，由已知得.
线段的垂直平分线l的方程为，直线与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.
直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组
， 由解得故
当时，同理可得
解法二：由（Ⅱ）可知
当时，得,由已知得
由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，
且，所以四边形为等腰梯形.
由直线的方程为,知点H的坐标为.
因为，所以，解得m=c（舍），或.
则，所以
当时，同理可得

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值
（3） （1）解：由，得，再由，得
（4） 由题意可知，
（5） 解方程组 得 a=2,b=1
（6） 所以椭圆的方程为
（7） (2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
（8） 于是A,B两点的坐标满足方程组
（9） 由方程组消去Y并整理，得
（10） 由得
（11）
（12） 设线段AB是中点为M，则M的坐标为
（13） 以下分两种情况：
（14） （1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
（15）
（16） （2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为
（17） 令x=0，解得
（18） 由
（19）
（20）
（21） 整理得
（22） 综上

设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
(Ⅰ)解：设，由，知.过点F且与轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：设点，，由得直线CD的方程为，
由方程组消去，整理得.
求解可得，.因为，，
所以

.
由已知得，解得.

已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.
(I)求直线FM的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
【答案】(I) ； (II) ；(III) .
【解析】
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出的关系，设直线直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (II)由(I)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程.(III)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围.
试题解析：(I) 由已知有，又由，可得，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有
，解得.
(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得
，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为
(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得
或，
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.
①当时，有，因此，于是，得
②当时，有，因此，于是，得
综上，直线的斜率的取值范围是

设椭圆 的右焦点为F,右顶点为A.已知 其中O为原点， 为椭圆的离心率.
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在轴上），垂直于的直线与交于点M，与轴交于点H，若BF⊥HF，且MOA≤MAO,求直线的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.
试题解析：（I）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.
设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.
由，得，所以，解得.
因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若(O为原点) ，求k的值.
（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组
消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
所以，k的值为

已知m＞1，直线，
椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，
的重心分别为.若原点在以线段
为直径的圆内，求实数的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（Ⅰ）解：因为直线经过，

所以,得，
又因为，
所以，
故直线的方程为。
（Ⅱ）解：设。
由，消去得

则由，知，
且有。
由于，
故为的中点，
由，
可知

设是的中点，则，
由题意可知
即
即
而

所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。

已知抛物线＝，圆的圆心为点M。
（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂足于AB，求直线的方程.

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心M（0,4）到抛物线的距离是
（Ⅱ）解：设P(x0, x02)，A（）B（），由题意得设过点P的圆C2的切线方程为y-x0=k(x- x0)
即， ①
则
即
设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以
，
将①代入得，
由于是此方程的根，故所以

由MP⊥AB,得，解得
即点P的坐标为，所以直线l的方程为。
设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，
为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，
求坐标原点到距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离

圆的方程为
（2）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。

如图，点是椭圆（）的一个顶点，的长轴是圆的直径．，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．

（Ⅰ）由题意得
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设，，．由题意知直线的斜率存在，不妨设为，则直线的方程为．
又圆，故点到直线的距离，
所以．
又，故直线的方程为．
由消去，整理得，
故．
所以．
设的面积为，则，
所以，
当且仅当时取等号．
所以直线的方程为．
如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

【答案】（I）；（II）．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（I）知，，，
故，

如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
（Ⅰ）设，，．
因为，的中点在抛物线上，所以，为方程
即的两个不同的实数根．
所以．
因此，垂直于轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面积．
因为，所以．
因此，面积的取值范围是．

已知椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
解：(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝，
所以.
又由已知，c＝1.
所以椭圆C的离心率.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.
(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，
则|AM|2＝(1＋k2)x12，|AN|2＝(1＋k2)x22.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由，得
，
即.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，
所以，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，
故x∈.
由题意，Q(x，y)在椭圆C内，
所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，
则y∈.
所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得，并求λ的值.
【答案】（I），点T坐标为（2,1）；（II）.
【解析】
试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（I）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y得关于x的方程有两个相等的实数根，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（II）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.
试题解析：（I）由已知，，则椭圆E的方程为.
由方程组 得.①
方程①的判别式为，由，得，
此时方程①的解为，
所以椭圆E的方程为.
点T坐标为（2,1）.
（II）由已知可设直线的方程为，
由方程组 可得
所以P点坐标为（），.

所以，
同理，
所以

.
故存在常数，使得.
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
联立方程组，解得：，
所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。

如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.21世纪教育网版权所有
F1
F2
O
x
y
B
C
A
(第17题)
(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；
(2)若求椭圆离心率e的值.

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左
准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】（1）（2）或．
（2）当轴时，，又，不合题意．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
将的方程代入椭圆方程，得，
则，的坐标为，且
．
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．
从而，故直线的方程为，
则点的坐标为，从而．
因为，所以，解得．
此时直线方程为或．
考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系

如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2， 4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.

（第18题）
【答案】（1）（2）（3）
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为，所以 ……①
因为点Q在圆M上，所以 …….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

解：（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.