圆锥曲线、导数2018全国高考数学分类真题[含答案解析].pdf

WORD 格式整理 专业技术参考资料 圆锥曲线、导数圆锥曲线、导数 20182018 年全国高考数学分类真题（含答案）年全国高考数学分类真题（含答案）一选择题（共一选择题（共 7 7 小题）小题）1双曲线y2=1 的焦点坐标是（）A（，0），（，0）B（2，0），（2，0）C（0，），（0，）D（0，2），（0，2）2已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A=1 B=1 C=1 D=13设 F1，F2是双曲线 C：=1（a0b0）的左，右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|=|OP|，则 C 的离心率为（）AB2CD4已知 F1，F2是椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则 C 的离心率为（）ABCD5双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x6已知双曲线 C：y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与WORD 格式整理 专业技术参考资料 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN|=（）AB3C2D47设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2x By=xCy=2xDy=x二填空题（共二填空题（共 6 6 小题）小题）8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 9已知椭圆 M：+=1（ab0），双曲线 N：=1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 10已知点 P（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点 A，B 满足=2，则当m=时，点 B 横坐标的绝对值最大11已知点 M（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=12曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=13曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 三解答题（共三解答题（共 1313 小题）小题）14设函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆 O 的直径为 F1F2WORD 格式整理 专业技术参考资料 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为，求直线 l 的方程16如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+=1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围17设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（b，0），且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 ABWORD 格式整理 专业技术参考资料 交于点 Q若=sinAOQ（O 为原点），求 k 的值18已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差19设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程20设椭圆 C：+y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点M 的坐标为（2，0）（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB21记 f（x），g（x）分别为函数 f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0），则称 x0为函数 f（x）与g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S 点”；（2）若函数 f（x）=ax21 与 g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x2+a，g（x）=对任意 a0，判断是否存在b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由22已知函数 f（x）=lnx（）若 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点WORD 格式整理 专业技术参考资料 23已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=；（）证明当 ae时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线24已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a25已知函数 f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a26已知函数 f（x）=x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明：a2WORD 格式整理 专业技术参考资料 圆锥曲线、导数圆锥曲线、导数 20182018 年全国高考数学分类真题（含答年全国高考数学分类真题（含答案）案）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 7 7 小题）小题）1双曲线y2=1 的焦点坐标是（）A（，0），（，0）B（2，0），（2，0）C（0，），（0，）D（0，2），（0，2）【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2=3，b2=1，由此可得 c=2，该双曲线的焦点坐标为（2，0）故选：B2已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A=1 B=1 C=1 D=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线y=，即 bxay=0，F（c，0），ACCD，BDCD，FECD，ACDB 是梯形，F 是 AB 的中点，EF=3，EF=b，所以 b=3，双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，可得，WORD 格式整理 专业技术参考资料 可得：，解得 a=则双曲线的方程为：=1故选：C3设 F1，F2是双曲线 C：=1（a0b0）的左，右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF1|=|OP|，则 C 的离心率为（）AB2CD【解答】解：双曲线 C：=1（a0b0）的一条渐近线方程为y=x，点 F2到渐近线的距离 d=b，即|PF2|=b，|OP|=a，cosPF2O=，|PF1|=|OP|，|PF1|=a，在三角形 F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，WORD 格式整理 专业技术参考资料 6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即 3a2=c2，即a=c，e=，故选：C4已知 F1，F2是椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则 C 的离心率为（）ABCD【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线 AP 的方程为：y=（x+a），由F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=2c，则 P（2c，c），代入直线 AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率 e=故选：DWORD 格式整理 专业技术参考资料 5双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x【解答】解：双曲线的离心率为 e=，则=，即双曲线的渐近线方程为 y=x=x，故选：A6已知双曲线 C：y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN|=（）AB3C2D4【解答】解：双曲线 C：y2=1 的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60，不妨设过 F（2，0）的直线为：y=，则：解得 M（，），解得：N（），则|MN|=3故选：B7设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2x By=xCy=2xDy=x【解答】解：函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数，可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x2+1，WORD 格式整理 专业技术参考资料 曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D二填空题（共二填空题（共 6 6 小题）小题）8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线 y=x 的距离为c，可得：=b=，可得，即 c=2a，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：29已知椭圆 M：+=1（ab0），双曲线 N：=1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为；双曲线 N 的离心率为2【解答】解：椭圆 M：+=1（ab0），双曲线 N：=1若双曲线N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：WORD 格式整理 专业技术参考资料 ，可得，可得 e48e2+4=0，e（0，1），解得 e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为 e=2故答案为：；210已知点 P（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点 A，B 满足=2，则当m=5时，点 B 横坐标的绝对值最大【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由 P（0，1），=2，可得x1=2x2，1y1=2（y21），即有 x1=2x2，y1+2y2=3，又 x12+4y12=4m，即为 x22+y12=m，x22+4y22=4m，得（y12y2）（y1+2y2）=3m，可得 y12y2=m，解得 y1=，y2=，则 m=x22+（）2，即有 x22=m（）2=，即有 m=5 时，x22有最大值 16，即点 B 横坐标的绝对值最大故答案为：5WORD 格式整理 专业技术参考资料 11已知点 M（1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=2【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F（1，0），过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x1），联立可得，k2x22（2+k2）x+k2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x22）=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1=4，M（1，1），=（x1+1，y11），=（x2+1，y21），AMB=90=0，=0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0，1+2+4+2=0，即 k24k+4=0，k=2故答案为：212曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=3【解答】解：曲线 y=（ax+1）ex，可得 y=aex+（ax+1）ex，曲线 y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3故答案为：313曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2xWORD 格式整理 专业技术参考资料 【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当 x=0 时，y=2，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x三解答题（共三解答题（共 1313 小题）小题）14设函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 0，可得（a2a1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x）的导数为 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若 a=0 则 x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2 处 f（x）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a=，则 f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若 a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得 f（x）在 x=2 处取得极小值；若 0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得 f（x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；若 a0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，WORD 格式整理 专业技术参考资料 可得 f（x）在 x=2 处取得极大值，不符题意综上可得，a 的范围是（，+）15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（），焦点F1（，0），F2（，0），圆 O 的直径为 F1F2（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为，求直线 l 的方程【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，焦点 F1（，0），F2（，0），又 a2+b2=c2=3，解得 a=2，b=1椭圆 C 的方程为：，圆 O 的方程为：x2+y2=3（2）可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限，可设直线 l 的方程为 y=kx+m，（k0，m0）由圆心（0，0）到直线 l 的距离等于圆半径，可得WORD 格式整理 专业技术参考资料 由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（4k2+1）（4m24）=0，可得 m2=4k2+1，3k2+3=4k2+1，结合 k0，m0，解得 k=，m=3将 k=，m=3 代入可得，解得 x=，y=1，故点 P 的坐标为（设 A（x1，y1），B（x2，y2），由k联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，|x2x1|=，O 到直线 l 的距离 d=，|AB|=|x2x1|=，OAB 的面积为 S=，解得 k=，（正值舍去），m=3y=为所求16如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+=1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围WORD 格式整理 专业技术参考资料 【解答】解：（）证明：可设 P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB 中点为 M 的坐标为（，），抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上，可得（）2=4，（）2=4，化简可得 y1，y2为关于 y 的方程 y22ny+8mn2=0 的两根，可得 y1+y2=2n，y1y2=8mn2，可得 n=，则 PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+=1（x0）上的动点，可得 m2+=1，1m0，2n2，由（）可得 y1+y2=2n，y1y2=8mn2，由 PM 垂直于 y 轴，可得PAB 面积为 S=|PM|y1y2|=（m）WORD 格式整理 专业技术参考资料 =（4n216m+2n2）m=（n24m），可令 t=，可得 m=时，t 取得最大值；m=1 时，t 取得最小值 2，即 2t，则 S=t3在 2t递增，可得 S6，PAB 面积的取值范围为6，17设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（b，0），且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB交于点 Q若=sinAOQ（O 为原点），求 k 的值【解答】解：（）设椭圆+=1（ab0）的焦距为 2c，由椭圆的离心率为 e=，WORD 格式整理 专业技术参考资料 =；又 a2=b2+c2，2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|AB|=6；可得 ab=6，从而解得 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1；（）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2），由已知y1y20；|PQ|sinAOQ=y1y2；又|AQ|=，且OAB=，|AQ|=y，由=sinAOQ，可得 5y1=9y2；由方程组，消去 x，可得 y1=，直线 AB 的方程为 x+y2=0；由方程组，消去 x，可得 y2=；由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3，两边平方，整理得 56k250k+11=0，解得 k=或 k=；k 的值为或18已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中WORD 格式整理 专业技术参考资料 点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 的中点为 M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m将 A，B 代入椭圆 C：+=1 中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 0m（2）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得 x1+x2=2，+=，F（1，0），x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，m0，可得 P 在第一象限，故，m=，k=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，WORD 格式整理 专业技术参考资料 联立，可得|x1x2|=所以该数列的公差 d 满足 2d=|x1x2|=，该数列的公差为19设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线 AB 的方程为：y=k（x1），设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x1；方法二：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 AB 的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）过 A，B 分别向准线 x=1 作垂线，垂足分别为 A1，B1，设 AB 的中点为D，过 D 作 DD1准线 l，垂足为 D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则 r=|DD1|=4，以 AB 为直径的圆与 x=1 相切，且该圆的圆心为 AB 的中点 D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x22=4，则 D（3，2），WORD 格式整理 专业技术参考资料 过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程（x3）2+（y2）2=16 20设椭圆 C：+y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点M 的坐标为（2，0）（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB【解答】解：（1）c=1，F（1，0），l 与 x 轴垂直，x=1，由，解得或，A（1.），或（1，），直线 AM 的方程为 y=x+，y=x，证明：（2）当 l 与 x 轴重合时，OMA=OMB=0，当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，OMA=OMB，当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（x1），k0，A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1，x2，WORD 格式整理 专业技术参考资料 直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA，kMB之和为 kMA+kMB=+，由 y1=kx1k，y2=kx2k 得 kMA+kMB=，将 y=k（x1）代入+y2=1 可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k24k12k2+8k2+4k）=0从而 kMA+kMB=0，故 MA，MB 的倾斜角互补，OMA=OMB，综上OMA=OMB21记 f（x），g（x）分别为函数 f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0），则称 x0为函数 f（x）与g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S 点”；（2）若函数 f（x）=ax21 与 g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x2+a，g（x）=对任意 a0，判断是否存在b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S 点”；（2）f（x）=2ax，g（x）=，x0，由 f（x）=g（x）得=2ax，得 x=，WORD 格式整理 专业技术参考资料 f（）=g（）=lna2，得 a=；（3）f（x）=2x，g（x）=，（x0），由 f（x0）=g（x0），得 b=0，得 0 x01，由 f（x0）=g（x0），得x02+a=，得 a=x02，令 h（x）=x2a=，（a0，0 x1），设 m（x）=x3+3x2+axa，（a0，0 x1），则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0，又 m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则 m（x）在（0，1）上有零点，则 h（x）在（0，1）上有零点，则 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点22已知函数 f（x）=lnx（）若 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数 f（x）=lnx，x0，f（x）=，f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，=，x1x2，+=，由基本不等式得：=，WORD 格式整理 专业技术参考资料 x1x2，x1x2256，由题意得 f（x1）+f（x2）=ln（x1x2），设 g（x）=，则，列表讨论：x（0，16）16（16，+）g（x）0+g（x）24ln2g（x）在256，+）上单调递增，g（x1x2）g（256）=88ln2，f（x1）+f（x2）88ln2（）令 m=e（|a|+k），n=（）2+1，则 f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（k）n（k）0，存在 x0（m，n），使 f（x0）=kx0+a，对于任意的 aR 及 k（0，+），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点，由 f（x）=kx+a，得 k=，设 h（x）=，则 h（x）=，其中 g（x）=lnx，由（1）知 g（x）g（16），又 a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，h（x）0，即函数 h（x）在（0，+）上单调递减，方程 f（x）kxa=0 至多有一个实根，综上，a34ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点23已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1WORD 格式整理 专业技术参考资料 （）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=；（）证明当 ae时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线【解答】（）解：由已知，h（x）=axxlna，有 h（x）=axlnalna，令 h（x）=0，解得 x=0由 a1，可知当 x 变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，+）h（x）0+h（x）极小值函数 h（x）的单调减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）；（）证明：由 f（x）=axlna，可得曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线的斜率为lna由 g（x）=，可得曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以 a 为底数的对数，得 logax2+x1+2logalna=0，x1+g（x2）=；（）证明：曲线 y=f（x）在点（）处的切线 l1：，曲线 y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线 l2：WORD 格式整理 专业技术参考资料 要证明当 a时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当 a时，存在 x1（，+），x2（0，+）使得 l1与 l2重合，即只需证明当 a时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当 a时，关于 x1 的方程存在实数解设函数 u（x）=，既要证明当 a时，函数y=u（x）存在零点u（x）=1（lna）2xax，可知 x（，0）时，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又 u（0）=10，u=0，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x0）=0，即由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，u（x）在 x=x0处取得极大值 u（x0），故 lnlna1=下面证明存在实数 t，使得 u（t）0，由（）可得 ax1+xlna，当时，有WORD 格式整理 专业技术参考资料 u（x）=存在实数 t，使得 u（t）0因此，当 a时，存在 x1（，+），使得 u（x1）=0当 a时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x）的切线24已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a【解答】（1）证明：当 a=0 时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得 x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0（2）解：由 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令 h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当 a0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1）+，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a=WORD 格式整理 专业技术参考资料 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又 h（0）=0，当1x0 时，h（x）0，即 f（x）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若a0，则 h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0 xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若 a，则 h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1，当 x1x0 时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意综上，a=25已知函数 f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a【解答】证明：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=exx2则 f（x）=ex2x，WORD 格式整理 专业技术参考资料 令 g（x）=ex2x，则 g（x）=ex2，令 g（x）=0，得 x=ln2当 x（0，ln2）时，g（x）0，当 x（ln2，+）时，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点方程 exax2=0 在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数 y=a 与 G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=26已知函数 f（x）=x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明：a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数 f（x）=1+=，设 g（x）=x2ax+1，当 a0 时，g（x）0 恒成立，即 f（x）0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a0 时，判别式=a24，WORD 格式整理 专业技术参考资料 当 0a2 时，0，即 g（x）0，即 f（x）0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，x，f（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+）f（x）0+0 f（x）递减 递增递减综上当 a2 时，f（x）在（0，+）上是减函数，当 a2 时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知 a2，0 x11x2，x1x2=1，则 f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则=2+，则问题转为证明1 即可，即证明 lnx1lnx2x1x2，即证 2lnx1x1在（0，1）上恒成立，WORD 格式整理 专业技术参考资料 设 h（x）=2lnxx+，（0 x1），其中 h（1）=0，求导得 h（x）=1=0，则 h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即 2lnxx+0，故 2lnxx，则a2 成立