数值分析 课程试题（开卷）B.doc

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电子科技大学二零零七至二零零八学年第二学期（B卷）

数值分析 课程试题（开卷）（90分钟） 考试日期 2008年 月 日
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
评卷教师

一、 填空题（30分，每题3分）
1. 设某数 x*, 它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是
|x-x*|≤0.5×10m-n,其中x为x*的近似值x=±10m×0.x1x2…xn ,
此题中m-n≤0确保x为三位有效数字。
2．用选主元的方法解线性方程组AX=b，是为了减少 计算机的浮点
运算规则等造成的误差。
3. 已知函数y=f(x)，过点（4，6），（8，10），那么f(x)的线性插值多项式的基函数
为 -（x-8）/4，(x-4)/4 。
4．用最小二乘法求拟合直线方程y=a0+a1x的系数a0，a1，是为了使残差向量的计算量
最小。
5. 梯形求积公式的计算误差为|I(f) – TN(f)| ≤（1/12）M2h2(b-a)，其中f为
求积函数，（a，b）为积分限，N个区间h=(b-a)/N，M2=max x∈（a，
b）|f”(x)|。
6. 取步长h=0.1，用欧拉法求解初值问题y’=(y/x2)+y,y(1)=1的计算公式是
yn+1=yn+0.1f(xn,yn)，f(xn,yn)= (yn / xn 2)+ yn ，xn = x0 + nh , x0 = 1, y(x0)=1 。
7．用矩阵的LU分解解线性方程组，则方程组AX=b等价于AX=LUX=b。
8．设A=[2 3 ; 2 5]，则cond(A)∞ = 14 。
9. Lagrange插值中的Runge现象是指 插值多项式的插值节点数增多时，相邻插值节
点间，插值函数未必能很好地近似被插值函数，有时它们之间会有非常大的差异。
10.采用N个积分节点的Gauss积分方法，其最高代数精度为 N-1 。
二、判断题（10分,每题2分）
1. 数值计算中，误差会扩散的算法是不稳定的算法。（ T ）
2. Gauss消元法的主元选择方式不会影响计算结果。（ T ）
3. 样条查值法能保证分段插值多项式的二阶导数连续。（ T ）
4. 在数值计算中，应尽量避免绝对值小的数作分母。（ T ）。
5. 常微分方程初值问题求解的Euler方法一定是稳定的。（ F ）
三、叙述题 （8分）
分析矩阵的条件数与方程组解的误差之间的关系
答案：设矩阵A为可逆矩阵，|| .||是与某种向量范数相容的矩阵范数，称 cond(A) = ||A-1|| ||A||为该矩阵相应于该矩阵范数的条件数。
1)在方程 A(u+δu) = b + δb中，因为Au = b，则δu = A-1 δb 。由此知
||δu|| ≤ ||A-1|| ||δb|| 且 ||b|| ≤ ||A|| ||u||
故 ||δu|| / ||u||≤||A-1|| ||δb|| / ||u||≤||A-1|| ||δb|| / (||b|| / ||A||) = cond(A) (||δb||/||b||)
2)矩阵A有扰动△A时，由方程 (A + △A)(u +δu) = b可得
Δu = -A-1△A(u +δu) 则 ||Δu|| = ||A-1|| ||△A|| || (u +δu)|| 即是
||Δu|| / || (u +δu)|| = ||A-1|| ||A|| ||△A|| / ||A||
进一步分析可得||Δu|| / || u || = (||A-1|| ||A|| ||△A|| / ||A||) (1 + O(||△A||))
= (cond(A) ||△A|| / ||A||) (1 + O(||△A||))
由以上分析可知，条件数大时，方程组解的相对误差大，此时A为病态矩阵；反之，方程组解的相对误差小，A为良态矩阵。

四、计算与证明题（20分，每题10分）
1. 用复化Simpson公式计算定积分∫01 [x/(x2+4)]dx (取n=4，保留4位有效数字)
答案：由题意知，定积分中的a=0，b=1，n=4，h=(b-a)/n=1/4，x0=0，x1=0.25，x2=0.5，x3=0.75，x4=1，f(x)=x/(x2 + 4)
∫01 [x/(x2+4)]dx=(h/3){f(x0)+f(x4)+4[f(x1)+f(x3)]+2f(x2)}
=(1/12)[0+1/5+4(4/65+12/73)+2*2/17]
=(1/12)[0.2+4*(0.051538+0.16438)+0.23529]
=0.1082

2. 证明线性方程组
9x1 – 3x2 + 2x3 = 20
4x1 + 11x2 – x3 = 33
4x1 – 3x2 + 12x3 = 36
的Jacobi和Gauss_Seidel迭代收敛。
证明： Ax=b 方程组中
A = [9 3 2 ; 4 11 -1 ; 4 -3 12]
因为A 中的a11=9,a12=3,a13=2; a21=4,a22=11,a23=-1; a31=4,a32=-3,a33=12;因此，|a11|>∑j=1,j≠13|a1j|，|a22|>∑j=1,j≠23|a2j|，|a33|>∑j=1,j≠33|a3j|
这说明A是严格对角占优的矩阵。根据教材上定理3.3（p53）可知，线性方程组的Jacobi和Gauss_Seidel迭代都是收敛的。

五.算法设计题
给出Lagrange插值法的计算流程，并用MATLAB编程实现该算法。
答案：Lagrange插值法的计算流程如下：
1） 读入插值节点xi,yi(i=0,1,…,n)和点x
2） y=0
3） 对i=0,1,…,n,进行如下过程
t=1
对k=0,1,…,i-1,i+1,…,n，计算
t=t*(x-xk)/(xi-xk)
y=y+t*yi
4） 输出点x相应的函数近似值
用MATLAB编程实现该算法如下：
function v = polyinterp(x,y,u)
% 被交互实验程序调用
% POLYINTERP Polynomial interpolation.
% v = POLYINTERP(x,y,u) computes v(j) = P(u(j)) where P is the
% polynomial of degree d = length(x)-1 with P(x(i)) = y(i).

n = length(x);
v = zeros(size(u));
for k = 1:n
w = ones(size(u));
for j = [1:k-1 k+1:n]
w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;
end
v = v + w*y(k);
end
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