ch32微分中值定理.pptx

一、罗尔一、罗尔(Rolle)中值定理中值定理证明：不妨设 是函数 在 内的最小值.则 当 时，当 时，则所以则例如,几何解释:证由费尔马定理知必有注意(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,(2)定理指出了导函数 的零点问题例1证由罗尔定理知同理可知例2 设至少存在一点求证：分析：证明：由罗尔定理知至少存在一点例3 若实数满足关系式证明：至少有一个小于1的正根.分析：证明：令由罗尔定理知至少存在一点即：所以至少有一个小于1的正根.11罗尔定理的几何意义也一条切线平行于AB 弦 可以解释为:至少存在问题:去掉 f(a)=f(b)的条件,此结论是否仍然成立?左图显示此结论是正确的二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论1推论2微分中值定理公式：微分公式：例4求拉格朗日中值定理中的解：所以使由知例5证例6证由上式得20若曲线由参数方程(其中 atb)给出,则在曲线 上,存在某点 C (设其参数为),在 C 处所作的切线与AB 弦平行 CA(g(a),f(a)、B(g(b),f(b),如果设 A、B 点的坐标为即应有三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释:证作辅助函数例7 若 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导(a0),证明:在(a,b)内至少存在一点,使成立解上式等价于设则由 a 0 知,f(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,即 存在(a,b),使例8设 f(x)在 x1,x2 上可微,且 x1x2 0,证明:存在 (x1,x2)使 解原式故取由 x1 x2 0,可知 F(x),G(x)在 x1,x2 上满足柯西中值定理条件 存在 (x1,x2)使 应用柯西中值定理,结论成立例7证分析:结论可变形为分析：即证即亦即证明：取在则使即知，存在由Cauchy定理四、三个中值定理之间的关系四、三个中值定理之间的关系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.五、五、中值定理的初步应用中值定理的初步应用证明：由罗尔定理知，使又在在由罗尔定理知，存在使33例(证不等式)证明:解在 a,b 上利用拉格朗日中值定理,有定理应用（习题类型）:1.验证定理（即验证是否满足定理的条件）；3.确定方程根的个数，范围（与连续函数证明区别）；4.证明命题;5.证明不等式.2.求定理中的 ；