七小波变换和多分辨率处理.pptx

图象处理与分析图象处理与分析七，七，小波变换和多分辨率处理小波变换和多分辨率处理 2006-12-6本章的主要内容本章的主要内容 7.1 7.1 背景背景 7.2 7.2 波和小波波和小波 7.3 7.3 多分辨率展开多分辨率展开7.4 7.4 一维小波变换一维小波变换 7.5 7.5 快速小波变换快速小波变换 7.6 7.6 二维小波变换二维小波变换 7.7 7.7 小波包小波包 7.8 7.8 小结小结 7.1 背景背景小波变换基于一些小型波小波变换基于一些小型波,称为小波称为小波,具有变化的频率和有限的持续时间。具有变化的频率和有限的持续时间。这就允许它们对图像提供一张等效的乐谱这就允许它们对图像提供一张等效的乐谱,不光阐明了要演奏的音符不光阐明了要演奏的音符(或频或频率率),),而且阐明了何时要演奏。而另一方面而且阐明了何时要演奏。而另一方面,传统的傅里叶变换的基础函数是传统的傅里叶变换的基础函数是正弦函数正弦函数,只提供了音符或频率信息只提供了音符或频率信息,局部信息在变换过程中丢失了。使得局部信息在变换过程中丢失了。使得压缩、传输和分析许多图像变得更为便捷。压缩、传输和分析许多图像变得更为便捷。1987 1987年年,在一种全新而有效的信号处理与分析方法在一种全新而有效的信号处理与分析方法多分辨率理论多分辨率理论 (Mallat 1987)(Mallat 1987)中中,小波首次作为分析基础出现了。多分辨率理论将多种小波首次作为分析基础出现了。多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起学科的技术有效地统一在一起,如信号处理的子带编码、数字语音识别的积如信号处理的子带编码、数字语音识别的积分镜像过滤以及金字塔图像处理。就像它的名字所表达的那样分镜像过滤以及金字塔图像处理。就像它的名字所表达的那样,多分辨率理多分辨率理论与多种分辨率下的信号论与多种分辨率下的信号(或图像或图像)表示和分析有关。其优势很明显表示和分析有关。其优势很明显某某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。本章中本章中,将从多分辨率的角度来审视小波变换。能简化数学和物理的解释将从多分辨率的角度来审视小波变换。能简化数学和物理的解释过程。目的在于在图像处理的环境中阐述该理论的基础概念过程。目的在于在图像处理的环境中阐述该理论的基础概念,并同时对该并同时对该方法及其应用做一个简要的历史回顾。方法及其应用做一个简要的历史回顾。给出了一些应用实例给出了一些应用实例,如图像编码如图像编码,噪声去除和边缘提取等。噪声去除和边缘提取等。7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔 观察图像时观察图像时,通常看到的是相连接的纹理与灰度级相似的区域通常看到的是相连接的纹理与灰度级相似的区域,它们它们相结合形成物体。如果物体的尺寸很小或对比度不高相结合形成物体。如果物体的尺寸很小或对比度不高,通常采用较高的通常采用较高的分辨率观察；如果物体尺寸很大或对比很强分辨率观察；如果物体尺寸很大或对比很强,只需要较低的分辨率。对只需要较低的分辨率。对于尺寸有大有小的物体于尺寸有大有小的物体,或对比有强有弱的情况同时存在或对比有强有弱的情况同时存在,以若干分辨率以若干分辨率对它们进行研究将具有优势。对它们进行研究将具有优势。从数学的观点看从数学的观点看,图像是一个亮度值图像是一个亮度值的二维矩阵的二维矩阵,像边界像边界和对比强烈区域那样和对比强烈区域那样的突变特性的不同组的突变特性的不同组合会产生统计值的局合会产生统计值的局部变化。如图部变化。如图7.,17.,1所所示示。一幅自然图像和它一幅自然图像和它的局部直方图变化的局部直方图变化 图像金字塔图像金字塔 以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构就是图像以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构就是图像金字塔金字塔 金字塔的底部是待处金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表理图像的高分辨率表示示,而顶部是低分辨而顶部是低分辨率的近似。当向金字率的近似。当向金字塔的上层移动时塔的上层移动时,尺尺寸和分辨率就降低。寸和分辨率就降低。完整的金字塔由完整的金字塔由J+1J+1个分辨率级组成个分辨率级组成。但大部分金字塔只有但大部分金字塔只有P+1P+1级级,其中其中j jJ-J-P,J-2,J-1,JP,J-2,J-1,J且且1PJ1PJ。(a)(a)一个金字塔图像结构一个金字塔图像结构,(b),(b)建立金字塔的方框图建立金字塔的方框图建立图像金字塔建立图像金字塔 3 3个连续步骤个连续步骤：1.1.计算输入图像的减少的分辨率近似值。这可以通过对输入进行滤计算输入图像的减少的分辨率近似值。这可以通过对输入进行滤波并以波并以2 2为步长进行抽样去做为步长进行抽样去做(即子抽样即子抽样)。生成近似值的质量是所。生成近似值的质量是所选滤波器的函数选滤波器的函数。没有滤波器没有滤波器,在金字塔的上一层混淆变得很显著在金字塔的上一层混淆变得很显著,子抽样点对所采取的区域没有很好的代表性。子抽样点对所采取的区域没有很好的代表性。2.2.对上一步的输出进行内插对上一步的输出进行内插因子仍为因子仍为2 2并进行过滤。这将并进行过滤。这将生成与输入等分辨率的预测图像。插入滤波器决定了预测值与步骤生成与输入等分辨率的预测图像。插入滤波器决定了预测值与步骤1 1的输入之间的近似程度。如果插入滤波器被忽略了的输入之间的近似程度。如果插入滤波器被忽略了,预测值将是步预测值将是步骤骤1 1输出的内插形式输出的内插形式,复制像素的块效应将变得很明显。复制像素的块效应将变得很明显。3.3.计算步骤计算步骤2 2的预测值和步骤的预测值和步骤1 1的输入之间的差异。以的输入之间的差异。以j j级预测残差级预测残差进行标识的这个差异将用于原始图像的重建。在没有量化差异的情进行标识的这个差异将用于原始图像的重建。在没有量化差异的情况下况下,预测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔预测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔,包括原始图包括原始图像像,而没有误差。可以采用的滤波操作有很多而没有误差。可以采用的滤波操作有很多,如邻域平均如邻域平均(它可生它可生成平均值金字塔成平均值金字塔),),高斯低通滤波器高斯低通滤波器(它可生成高斯金字塔它可生成高斯金字塔),),或者不或者不进行滤波进行滤波,生成子抽样金字塔。生成子抽样金字塔。可以采用的滤波操作有很多,如邻域平均(它可生成平均值金字塔),高斯低通滤波器(它可生成高斯金字塔),或者不进行滤波,生成子抽样金字塔。高斯金字塔使用高斯金字塔使用4.2.44.2.4节的图节的图4.9(c)4.9(c)所描述所描述的的5 x 55 x 5低通高斯卷积低通高斯卷积核在空间域进行过滤。核在空间域进行过滤。为建立高斯金字塔为建立高斯金字塔,首首先从拉普拉斯金字塔先从拉普拉斯金字塔的第的第6 6级级,64 x 64,64 x 64近似近似图像开始预测高斯金图像开始预测高斯金字塔的第字塔的第7 7级级,分辨率分辨率128 x 128128 x 128的近似值的近似值(通过内插和滤波实现通过内插和滤波实现),),并加上拉普拉斯的并加上拉普拉斯的第第7 7级预测残差。级预测残差。高斯和拉普拉斯金字塔高斯和拉普拉斯金字塔 例例7.17.1 拉普拉斯金字塔的预测残差图像的一阶统计值是零点附近的高拉普拉斯金字塔的预测残差图像的一阶统计值是零点附近的高峰值。这些图像可以通过分配较少比特数实现高比例压缩峰值。这些图像可以通过分配较少比特数实现高比例压缩每个子带通过对输人每个子带通过对输人进行带通滤波而得到。进行带通滤波而得到。滤波器滤波器h0(n)h0(n)和和h1(n)h1(n)是半波数字滤波器是半波数字滤波器,其理想传递函数其理想传递函数H0H0和和H1H1 7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码 另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带编码。在子带编另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带编码。在子带编码中码中,一幅图像被分解成为一系列限带分量的集合一幅图像被分解成为一系列限带分量的集合,称为子带称为子带,它们它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。最初是为语音和图像压缩可以重组在一起无失真地重建原始图像。最初是为语音和图像压缩而研制的。而研制的。(a)(a)一维子带编码一维子带编码和解码的两频带滤和解码的两频带滤波器组波器组,(b),(b)频谱分频谱分离特性离特性子带编码子带编码（例）（例）图图7.17.1中花瓶的中花瓶的4 4频段子带编码频段子带编码 。基于图。基于图7.67.6中滤波器的中滤波器的4 4频段频段分离。该图像的每一个象限都分离。该图像的每一个象限都是是256 x 256256 x 256的一个子带。近似的一个子带。近似子带子带a,a,水平细节予带水平细节予带dH,dH,对角细对角细节子带节子带dD,dD,和垂直细节子带和垂直细节子带d Vd V。dDdD和和d Vd V中所表现出的混叠中所表现出的混叠,是由于对图是由于对图7.17.1窗口进行抽样造窗口进行抽样造成的。成的。4 4个个8 8抽头抽头DaubechiesDaubechies正交滤波器的冲激正交滤波器的冲激响应。通过综合滤波器响应。通过综合滤波器g0(n)g0(n)和和g1(n)g1(n)实实现的由子带完成的原始图像重建将消除现的由子带完成的原始图像重建将消除这些混叠。这些混叠。波和小波波和小波 傅立叶变换，使用的是正弦曲线波作为它的正交基函数。所以称为傅立叶变换，使用的是正弦曲线波作为它的正交基函数。所以称为波是因为它们类似于大海的波涛和在其它媒体中传递的波。对于积波是因为它们类似于大海的波涛和在其它媒体中传递的波。对于积分变换来说，这些函数都在两个方向无限扩展。离散傅立叶变换的分变换来说，这些函数都在两个方向无限扩展。离散傅立叶变换的基向量也在它们的整个域中非零。也就是说，它们并不是紧支集。基向量也在它们的整个域中非零。也就是说，它们并不是紧支集。瞬态信号只在一个很短的区间内非零。与此相同的，图像中的许多瞬态信号只在一个很短的区间内非零。与此相同的，图像中的许多重要特征（例如边缘重要特征（例如边缘)也是在空间位置中高度局部化的。这些成分也是在空间位置中高度局部化的。这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，并且，它们的变换系数并不类似于任何一个傅立叶基函数，并且，它们的变换系数(即频即频谱谱)也不是紧凑分布的。这使得傅立叶变换以及在前几章中提到过也不是紧凑分布的。这使得傅立叶变换以及在前几章中提到过的一些其它变换，在压缩和分析包含瞬态或局部化成分的信号和图的一些其它变换，在压缩和分析包含瞬态或局部化成分的信号和图像时，得不到最佳表示。傅立叶变换能够用正弦函数之和表示任何像时，得不到最佳表示。傅立叶变换能够用正弦函数之和表示任何分析函数，这是通过错综复杂的安排，通过相互抵消的方式，构造分析函数，这是通过错综复杂的安排，通过相互抵消的方式，构造出在大部分区间都为零的函数而实现的。却使此函数的频谱上呈现出在大部分区间都为零的函数而实现的。却使此函数的频谱上呈现一幅相当混乱的构成。一幅相当混乱的构成。使用有限宽度基函数进行变换的方法。这些基函数不仅在频率上而使用有限宽度基函数进行变换的方法。这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波(wavelet)(wavelet)。基于它们的变换被称为小波变换。基于它们的变换被称为小波变换。波和小波波和小波波与小波之间的差异波与小波之间的差异 上部两条曲线是频率不同的上部两条曲线是频率不同的余弦波，持续宽度相同。底余弦波，持续宽度相同。底下的两条是沿着轴向频率和下的两条是沿着轴向频率和位置都不相同的小波。位置都不相同的小波。最古老又最简单的小波最古老又最简单的小波 HaarHaar小波小波 ，它的基向量都，它的基向量都是由一个函数通过平移和伸是由一个函数通过平移和伸缩来产生的。缩来产生的。时频域分析时频域分析 一个信号的每个瞬态分量一个信号的每个瞬态分量映射到时间映射到时间频率平面上频率平面上的位置对应于分量主要频的位置对应于分量主要频率和发生的时间。率和发生的时间。含有两个局部化分量的图像正由两个带含有两个局部化分量的图像正由两个带通滤波器进行处理。在这一例子中，两通滤波器进行处理。在这一例子中，两个滤波器几乎完全分离了这两个分量。个滤波器几乎完全分离了这两个分量。生动例子：生动例子：小波和音乐小波和音乐乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率(音高音高)从层次的底从层次的底部向上增加，而时间部向上增加，而时间(以节拍来测度以节拍来测度)则向右发展则向右发展.乐章中每一个音乐章中每一个音符都对应于一个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量符都对应于一个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量(音调猝音调猝发发)。每一个小波持续宽度都由音符。每一个小波持续宽度都由音符(为四分之一音符、半音符等为四分之一音符、半音符等)的类型来编码，而不是由它的水平延伸来编码。的类型来编码，而不是由它的水平延伸来编码。分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是一得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是一种小波逆变换，因为它是用时频表示来重构信号的。种小波逆变换，因为它是用时频表示来重构信号的。变换的理解变换的理解 一一个个变变换换中中的的每每个个系系数数都都是是通通过过输输入入函函数数和和其其中中一一个个基基函函数数之之间间的的内内积积确确定定的的。在在某某些些意意义义上上，这这个个值值表表示示输输入入函函数数和和那那个个特特定定基基函函数数之之间间的的相相似似程程度度。如如果果基基函函数数是是正正交交的的(或或正正交交归归一一的的)，那那么么任任两两个个基基函函数数间间的的内内积积为为零零，这这表表明明它它们们完完全全不不相相似似。所所以以如如果果信信号号或或图图像像是是由由与与一一个个或或几几个个基基函函数数相相似似的的分分量量组组成成系系数数以以外外，其其余系数都将很小。余系数都将很小。逆变换可以看作是通过以变换系数为幅度权重的基函数加权和，来重构原始信号逆变换可以看作是通过以变换系数为幅度权重的基函数加权和，来重构原始信号或图像的。所以如果信号或图像是由与一个或少量基函数相似的分量组成，那么或图像的。所以如果信号或图像是由与一个或少量基函数相似的分量组成，那么只需对一些有较大幅度的项求和即可。因此其它许多项都可以忽略，这样信号和只需对一些有较大幅度的项求和即可。因此其它许多项都可以忽略，这样信号和图像就可用少量变换以紧凑的方式表示。图像就可用少量变换以紧凑的方式表示。如果信号和图像中感兴趣的分量与一个或少量基函数相似，那如果信号和图像中感兴趣的分量与一个或少量基函数相似，那么这些分量将以对那些么这些分量将以对那些(仅仅是那些仅仅是那些)基函数有大系数来体现。这样基函数有大系数来体现。这样它们在变换中就它们在变换中就“容易被找到容易被找到”。而且，如果一个不希望的分量。而且，如果一个不希望的分量(噪声噪声)与一个或少量基函数相似，那么，它也会容易地被找到。它与一个或少量基函数相似，那么，它也会容易地被找到。它也因而容易地被去掉，此时只需要简单地降低也因而容易地被去掉，此时只需要简单地降低(或置为零或置为零)相应的变相应的变换系数即可。归纳起来，用与信号或图像中所期望的成分相似的基换系数即可。归纳起来，用与信号或图像中所期望的成分相似的基函数对该信号或图像进行变换是有潜在价值的。函数对该信号或图像进行变换是有潜在价值的。瞬变分量是无法与傅立叶变换或其它波状变换的基函数相似的。瞬变分量是无法与傅立叶变换或其它波状变换的基函数相似的。变换类型变换类型 有三种不同但又有关的傅立叶变换技术：傅立叶积分变换，傅立叶级有三种不同但又有关的傅立叶变换技术：傅立叶积分变换，傅立叶级数展开和离散傅立叶变换数展开和离散傅立叶变换DFTDFT。1 1，傅立叶积分变换将两个连续函数，傅立叶积分变换将两个连续函数(一个信号和它的频谱一个信号和它的频谱)联系起来联系起来2 2，傅立叶级数展开式将一个周期函数，傅立叶级数展开式将一个周期函数(或者将瞬变函数看作是一个周或者将瞬变函数看作是一个周期函数的一个周期，表示为一个期函数的一个周期，表示为一个(有限或无限有限或无限)傅立叶系数的序列傅立叶系数的序列3 3，DFTDFT表示了一个由采样频谱采样了的函数，而且在两个域中独立采表示了一个由采样频谱采样了的函数，而且在两个域中独立采样样(自由度自由度)的数目都相同。的数目都相同。在所有这三种变换技术中，不同频率的正弦和余弦构成了一个正交归在所有这三种变换技术中，不同频率的正弦和余弦构成了一个正交归一基函数系。同样，每个变换系数都由正在变换的函数和一个基函数一基函数系。同样，每个变换系数都由正在变换的函数和一个基函数的内积来决定。的内积来决定。小波变换类型小波变换类型 ：连续小波变：连续小波变(CWT)(CWT)，小波级数展开和离散小波变换，小波级数展开和离散小波变换(DWT)(DWT)。小波基函数可以是正交归一也可以不是正交归一的。一组小波基函数能够支小波基函数可以是正交归一也可以不是正交归一的。一组小波基函数能够支持一个变换，即使这些函数不正交。这就意味着，一个小波级数展开可以由无限持一个变换，即使这些函数不正交。这就意味着，一个小波级数展开可以由无限多个系数来表示一个有限带宽函数。如果这个系数序列被截断为有限长度，那么多个系数来表示一个有限带宽函数。如果这个系数序列被截断为有限长度，那么我们就只能重构出原始函数的一个近似。同样，一个离散小波变换可能需要比原我们就只能重构出原始函数的一个近似。同样，一个离散小波变换可能需要比原始函数更多的系数以精确地重构它或者甚至只达到一个可能接收的近似。始函数更多的系数以精确地重构它或者甚至只达到一个可能接收的近似。哈尔变换哈尔变换 哈尔变换本身是可分离的哈尔变换本身是可分离的,也是对称的也是对称的,可以用下述矩阵形式表达：可以用下述矩阵形式表达：哈尔基函数为：哈尔基函数为：4 x 44 x 4变换矩阵变换矩阵H4H4为：为：离散小波变换的哈尔函数离散小波变换的哈尔函数 使用式使用式(7.1.25)(7.1.25)和式和式(7.1.26)(7.1.26)的哈的哈尔基函数对图尔基函数对图7.17.1的多分辨率分解。的多分辨率分解。变换结果包含了与原始图像同样的变换结果包含了与原始图像同样的像素数。此外像素数。此外,1.1.其局部统计数据相对稳定并较易其局部统计数据相对稳定并较易给出模型给出模型,见图见图7.8(a)7.8(a)。2.2.其大多数值都接近其大多数值都接近0,0,这使它对于这使它对于图像压缩是一个优秀的候选者图像压缩是一个优秀的候选者 3.3.原始图像的粗和细分辨率近似可原始图像的粗和细分辨率近似可以从中提取。图以从中提取。图7.8(b)7.8(b)到到(d)(d)即是即是从图从图7.8(a)7.8(a)的子图像重建得来的。的子图像重建得来的。(a)(a)用哈尔基函数的离散小波变换用哈尔基函数的离散小波变换,还显示了它的局部直方图变化还显示了它的局部直方图变化,(b)-(d),(b)-(d)一些不同的近似一些不同的近似(64 x(64 x 64,128 x 12864,128 x 128和和256 x 256)256 x 256)可以可以从从(a)(a)得到得到7.2 多分辨率展开多分辨率展开MRA 技术之一技术之一 7.2.1 7.2.1 序列展开序列展开信号或函数信号或函数f(x)f(x)常常可以被很好地分解为一常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合系列展开函数的线性组合 其中，其中，k k是有限或无限和的整数下标是有限或无限和的整数下标,ak,ak是具有实数值的展开系数是具有实数值的展开系数,k(x),k(x)是具有实数值的展开函数。如果展开是惟一的是具有实数值的展开函数。如果展开是惟一的,也就是说对也就是说对任何指定的任何指定的f(x)f(x)只有一个只有一个akak系列与之相对应系列与之相对应,则则k(x)k(x)称为基函数称为基函数,展开序列展开序列k(x)k(x)称为可被这样表示的一类函数的基。称为可被这样表示的一类函数的基。f(x)Vf(x)V表示表示f(x)f(x)属于属于k(x)k(x)的闭合跨度的闭合跨度,并能写成式并能写成式(7.2.1)(7.2.1)的的形式形式,闭合跨度闭合跨度可展开的函数组成了一个函数空间可展开的函数组成了一个函数空间,被称为展开集被称为展开集合的闭合跨度表示为：合的闭合跨度表示为：计算式计算式(7.2.1)(7.2.1)的系数的系数akak可以通过计算可以通过计算k(x)k(x)和函数和函数f(x)f(x)的内积得到的内积得到由于展开集合的正交性由于展开集合的正交性,该计算可以是该计算可以是3 3种可能形式中的一种。种可能形式中的一种。计算的计算的3 3种可能形式种可能形式 正交性与计算形式正交性与计算形式 情况情况1 1：如果该展开函数构成了：如果该展开函数构成了V V的一个正交基的一个正交基情况情况2 2：如果展开函数本身不正交：如果展开函数本身不正交,而是而是V V的正交基的正交基情况情况3 3：如果展开集合对：如果展开集合对V V来说不是函数基，但支持式来说不是函数基，但支持式(7.2.1)(7.2.1)中中定义的展开，那么它是一个跨度集合。展开函数及其对偶称为定义的展开，那么它是一个跨度集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架超完备或冗余。它们组成了一个框架 7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数函数(x)(x)组成的展开函数集合组成的展开函数集合 对所有的对所有的j j，kZkZ和和f(x)f(x)L L2 2(R)(R)都成立。此时，都成立。此时，k k决定了决定了j,kj,k (x)(x)在在x x轴上的位置，轴上的位置，j j决定决定了了j,k(x)j,k(x)的宽度，即沿的宽度，即沿x x轴的宽轴的宽或窄的程度，而或窄的程度，而2 2j/2j/2控制其高度或控制其高度或幅度。幅度。(x)(x)的形状随的形状随j j发生变化，发生变化，(x)(x)被称为尺度函数被称为尺度函数例例:哈尔尺度函数哈尔尺度函数j,kj,k变量作用变量作用(e)(e)显示了子空间显示了子空间V V1 1中的一个成员。中的一个成员。由于由于(a)(a)和和(b)(b)中的中的V V0 0的展开函数的展开函数太粗糙而不能表示它；该函数不太粗糙而不能表示它；该函数不属于属于V V0 0。需要。需要(c)(c)和和(d)(d)中的高分中的高分辨率函数辨率函数 MRAMRA要求要求1 1：尺度函数对其积分变换是正交的。：尺度函数对其积分变换是正交的。尺度函数遵循的多分辨率分析尺度函数遵循的多分辨率分析-4-4个基本要求：个基本要求：MRAMRA要求要求2 2：由低尺度的尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套在：由低尺度的尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。由高尺度跨越的子空间内。MRAMRA要求要求3 3：惟一包含在所有：惟一包含在所有VjVj中的函数是中的函数是f(x)=0f(x)=0。MRAMRA要求要求4 4：任何函数都可以以任意精度表示。：任何函数都可以以任意精度表示。给定满足上述给定满足上述MBAMBA要求的尺度函数，能够定义小波函数要求的尺度函数，能够定义小波函数(x)(x)，跨越，跨越WjWj空间的所有空间的所有kZkZ定义小波集合定义小波集合j,k(x)j,k(x)7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数 尺度及小波函数空间的关系。所尺度及小波函数空间的关系。所有可度量的、平方可积函数空间有可度量的、平方可积函数空间 跨越空间跨越空间 W Wj,kj,k如果如果f(x)Wj f(x)Wj 尺度和小波函数子空间关联为空间并集尺度和小波函数子空间关联为空间并集 哈尔尺度向量定义为哈尔尺度向量定义为h(0)=h(1)=2h(0)=h(1)=21/21/2。相应的小波向量为。相应的小波向量为h h(0)=(0)=(-1)(-1)0 0 h h(1-0)=2(1-0)=21/21/2和和h h(1)=(-1)(1)=(-1)1 1 h h(1-1)=(1-1)=2 21/21/2 。哈尔小波函数系数哈尔小波函数系数 情况情况1 1：如果该展开函数构成了：如果该展开函数构成了V V的一个正交基的一个正交基情况情况2 2：如果展开函数本身不正交：如果展开函数本身不正交,而是而是V V的正交基的正交基情况情况3 3：如果展开集合对：如果展开集合对V V来说不是函数基，但支持式来说不是函数基，但支持式(7.2.1)(7.2.1)中定中定义的展开，那么它是一个跨度集合。展开函数及其对偶称为超完义的展开，那么它是一个跨度集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架备或冗余。它们组成了一个框架 本本 次次 授授 课课 结结 束束 谢谢 谢谢 ！