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第六章 共形映射
第一节 共形映射的概念
第二节 分式线性映射
第三节 唯一决定分式线性映射的条件
第四节 几个初等函数所构成的映射
第一节 共形映射的概念
第一节 共形映射的概念
第六章
一 有向曲线的切线方向
共形映射
二 解析函数的导数的几何意义
三 共形映射的概念
吴新民
- 2 -
第一节 共形映射的概念
一 有向曲线的切线方向
复平面一条有向曲线 C能够用方程
第六章
z = z(t), (a £ t £ b )
表示, 其中 z(t)为一连续函数。我们规定C 的正向为
共形映射当 t 增大时点 z 移动的方向。
由于
z(t0 + Dt)- z(t0)
Dt
z¢(t0) = lim
Dt®0
z (= z(t0))
0
¢
¢
z (t )
0
z (t ) ¹ 0
因此, 如果当 时, 将 看成起点为
0
的向量的话, 如图所示
吴新民
- 3 -
第一节 共形映射的概念
z¢(t0)
y
z¢(t0)
Dz
Dt
CDz
Dt
C
y
Dz
Dz
z(t0)
第六章z(t0)
z(t0 + Dt)
z(t0 + Dt)
o
o
x
x
共形映射
(Dt > 0)
(Dt < 0)
那么z¢(t )
与曲线 C 相切于z0且指向C 正向的一个向量.
0
由此可得
1) Argz¢(t0)
就是曲线 C 在点z0处切向与x 轴正向
z(t0 + Dt)- z(t0)
之间的夹角。z¢(t ) = lim
0
D
t
C ,C
1
Dt®0
2)
规定: 相交于一点两条曲线 2之间的在交点处
C ,C
夹角就是 2在交点处正向切向之间的夹角。
1
吴新民
- 4 -
第一节 共形映射的概念
二 解析函数的导数的几何意义
下面总假定函数 f (z) 在区域 D解析, z0 是 D内一
点, 且 f ¢(z0) ¹ 0.
第六章
又设 C是 z平面内任意一条经过 z0的光滑有向曲线,
其参数方程为
共形映射
z = z(t), a £ t £ b
z = z(t0),z¢(t0) ¹ 0. 这样
且 t 增大的方向为C 的正向, 0
w = f (z0)
0
映射 w = f (z)就将曲线C映射成 w 平面经过
的一条有向曲线 L, 其参数方程为
w = f (z(t))
其正向也为 t 增大方向。
吴新民
- 5 -
第一节 共形映射的概念
y
(z)
(w)
v
C
L
w = f (z)
w0·
·
z
第六章
0
o
o
x
u
Argw¢(t0)
Argz¢(t0)
Argf ¢(z0)
共形映射
w¢(t0) = f (z )z (t0)
¢ ¢
0
由复合函数微分法, 有
Argw¢(t0) = Argf ¢(z0)+ Argz¢(t0)
Argf ¢(z0) = Argw¢(t0)- Argz¢(t0) (6.1.1)
因此有
即
¢
注意到 表示曲线 C 处的正向切向与 x轴
Argz (t )
z
在
0
0
¢
夹角, 表示L在 w0处正向切向与u轴的夹角。
Argw (t )
0
吴新民
- 6 -
第一节 共形映射的概念
因此Argf ¢(z )
0 能够理解为: 曲线 C经过映射 w = f (z)
后在z0处的转动角。利用 (6.1.1) 式可得
第六章这个转动角的大小、 方向都与曲线 C 的形状、 方向
是无关的。因此这种映射称为具有转动角不变性。
共形映射
设 2是在z0处相交的两条有向曲线, 其参数方
C ,C
1
程分别为 z = z1(t),z = z2(t) (a £ t £ b ), 而且z0 = z1(t0)
= z2(t0), C1,C2在映射w = f (z)下的像分别为 L1,L2,
为在 w0 = f (z0)相交的两条有向曲线, 她们的参数方
程分别为 Argw =f ¢w(z10()t)==Argf (zw1¢((tt)0)),w- Arg= w2z(¢(tt)0=) f (z2(t)),
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- 7 -
第一节 共形映射的概念
L2
y
v
(z)
(w)
L1
C1
q
q
C2
w = f (z)
z0·
·
0
w
第六章
o
o
x
u
利用公式 (6.1.1) 可得
共形映射
Argw (t )- Argz1¢(t0) = Argw (t )- Argz2¢(t0)
¢
¢
2 0
1 0
即
Argw¢2(t0)- Argw (t ) = Argz2¢(t0)- Argz1¢(t0) (6.1.2)
¢
1 0
这表明相交于z0的任意两条曲线 2的夹角在大小和
C ,C
1
方向都等于经过映射 w = f (z)后所得的像 2的夹角
L ,L
1
因此这种映射具有保持两曲线的夹角和方向的不变性。
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- 8 -
第一节 共形映射的概念
这种性质称为保角性。
¢
| f (z ) |
下面解释 的几何意义
0
· w L
Ds
y
(z) Ds
v
(w)
· z C
第六章
r
r
j
q
w = f (z)
· z0
·w0
共形映射
o
o
x
u
设 z - z = reij , w - w = re
iq , Ds为曲线 C 上介于
0
0
z0与z 之间的一段弧长, Ds 为曲线 L 上介于w0与 w
之间的一段弧长。由于
Ds
r
r
Ds
w®w0
lim = lim = lim = 1
r
Ds
z®z0
z®z0
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- 9 -
第一节 共形映射的概念
因此
-
z - z0
r Ds Ds
iq
re
w w0
| f ¢(z0) |= lim |
|= lim | j |
r
e
i
z®z
z®z
0
0
第六章
Ds Ds r ei(q -j ) |
=
lim |
0
z®z
即有
共形映射
Ds
Ds
| f ¢(z0) |= lim
(6.1.3)
z®z0
这个极限值称为曲线 C在z0处的伸缩率。(6.1.3) 表明:
| f ¢(z0) |
w f (z)
=
是经过映射 后经过z0的任何曲线
C 在 z0处的伸缩率, 它与曲线 C 的形状和方向是无关
的。映射的这种性质称为伸缩率不变性。
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- 10 -
第一节 共形映射的概念
综上所述, 我们有如下定理:
设函数 w = f (z) 在区域 D内解析, z0 Î D,
定理1
且 那么映射w = f (z)在点z0处具有两个
¢
f (z ) ¹ 0,
第六章
0
性质:
1) 保角性, 即经过 z0的任意两条曲线间的夹角
与经过映射后所得的两条曲线的夹角在大小和方向
上是保持不变的。
共形映射
2) 伸缩率不变性, 即经过z0的任意一条曲线的伸
¢
| f (z ) |
缩率均为 而与该曲线的形状与方向无关。
0
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- 11 -
第一节 共形映射的概念
二 共形映射的概念
第六章定义 设函数 w = f (z)在点 z0的某个领域内是一一
的, 且在z0处具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射
共形映射w = f (z)
在点 z0 处是共形的, 或称 是 z
w f (z)
=
0
处的共形映射。如果映射w = f (z)在区域 D上每一点
都是共形的, 则称映射w = f (z)为区域 D上的共形
映射。
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- 12 -
第一节 共形映射的概念
根据共形映射的定义与定理1我们有
定理2 设函数 w = f (z) 在 z0 处解析, 且
f ¢(z0) ¹ 0,
Argf ¢(z0)
第六章则映射w = f (z)为z0 处的共形映射。而且
为映射 w = f (z) 在z0 处的转动角, 为映射
¢
| f (z ) |
0
共形映射w = f (z0) 的伸缩率。如果解析函数 w = f (z) 在区
¢
=
w f (z)
f (z) ¹ 0,
域 D 内每一点都有 那么映射 为
D上的共形映射。
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- 13 -
第一节 共形映射的概念
p z
z i
=
例 求映射w = z2 + e
在点 出的转动角和
2
伸缩率
p z
= (2 + p2 )i
= + p
(2z e
)
z=i
第六章
解 w¢
2
z=i
2
共形映射
转动角
Arg(2 + p )i = p
2 2
| (2 + p2 )i | = 2+ p2
伸缩率
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- 14 -
第一节 共形映射的概念
如果一个映射具有伸缩率不变性, 且仅保持两曲线
的夹角的大小不变但方向相反, 那么这个映射称为第
第六章
二类共形映射。
C2
y
C1
共形映射
例如 w = z为第二
a
类共形映射。
o
x
a
L1
L2
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- 15 -
第二节 分式线性映射
第二节 分式线性映射
第六章
一 分式线性映射的一般概念
共形映射
二 分式线性映射的分解
三 分式线性映射的性质
吴新民
- 16 -
第二节 分式线性映射
一 分式线性映射的一般概念
称映射
w = az + b
第六章
(ad - bc ¹ 0)
(6.2.1)
cz + d
共形映射为分式线性映射, 其中a,b,c,d 均为常数。
由于
ad - bc2 ¹ 0
w¢ =
(cz d)
+
因此分式线性映射在复平面上除满足cz + d = 0 的点
外是共形的。
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- 17 -
第二节 分式线性映射
分式线性映射是一个双线性映射, 这是因为它的
逆映射
z = -dw + b
cw - a ((-d)(-a)- bc ¹ 0)
第六章
也是一个分式线性映射。
共形映射
两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射
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- 18 -
第二节 分式线性映射
二 分式线性映射的分解
分式线性映射能够表示为
第六章
ad 1 a
w = (b - ) +
c cz + d c
因此分式线性映射能够分解下列三种特殊映射的复合
共形映射
1
w = z + b, w = az (a ¹ 0), w = z
下面讨论这三种特殊的映射, 为了方便起见, 我们
将 w 平面看成与 z 平面重合。
1) w = z + b 是一个平移映射。
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- 19 -
第二节 分式线性映射
y
事实上, 如果将 b 看成一个
b z +· b
· z
向量的话, z + b 就能够看成将
b
点 沿 的方向移动 | b | 个单
z b
第六章
o
x
位的距离所得的点。
共形映射
2) w = az(a ¹ 0)是一个旋转、 伸缩映射。
y
= r ij
a e ,
事实上, 如果记 则
az
az 就是这样一个向量: 首先将
z 旋转一个角度 j得到一个向
ejijz
z
o
x
量eijz, 再将其伸长(或缩短)| a |
倍后就得到了 w = az.
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- 20 -
第二节 分式线性映射
3) 称 w = 1z为反演映射。
C
为了了解这个映射的几何解释
O· ·
·
¢
P
P
R
第六章
我们首先定义关于已知圆周的对
称点
共形映射设 C 是以 O为心, R 为半径的圆周, 对于复平面
异于O的任意一点 P,在从 O出发的指向 P的射线上
¢
P ,
取点 使得
| OP || OP¢ |= R2
则称 P与P¢是关于圆周 C的对称点。
规定, 圆心 O 关于圆周 C的对称点为无穷远点。
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- 21 -
第二节 分式线性映射
y
1z 和
将 w = 1z 分解为 w1 =
· z
w
1
·
1
= r ij
w = w ,
记 则
z e , =
w eij
1
1
r
第六章
o
x
w·
因此 Argw1 = Argz, | w1 || z |= 1,
由此可得 w1与 z 为关于单位圆周的对称点。因此
共形映射
1
w =
z 是这样一个映射: 首先将点 z 映射成 z 关于
w ,
1
单位圆周的对称点 然后将 w1 映射成 w1关于实
轴的对称点 w.
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- 22 -
第二节 分式线性映射
三 分式线性映射的性质
1) 保角性
第六章首先讨论 w = 1z 的保角性, 由于此映射将 z = 0
1
w = ¥, z = ¥
=
映射成 w = 0,因此 w z 在
映射成 将
共形映射
扩充复平面上是一一的映射。
又由于
w¢ = - 12 ¹ 0
z
1
因此 w = z 是在扩充复平面上除点 z = 0,z = ¥外的共
形映射。
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- 23 -
第二节 分式线性映射
我们规定两条伸向无穷远点的曲线在无穷远点的夹
角在大小、 方向上都与它们在映射z = 1z下所映成的通
第六章过原点的两条曲线在原点处的夹角大小、 方向相同。
1
w = = z z =
因此由于映射 在 0处是解析的, 且有
z
共形映射
¢
1
z = ¥
=
w (z ) = 1,因此 w = z z = 0处, 即w z 在
在
1
z = = z z 0
=
处是共形的, 反之由于 在 解析, 且有
w
1
z ¢(z) = 1, 因此z = z 在 z = 0 处, 即 w z 在 z = 0
=
处是共形的。
综上所述我们有:
吴新民
- 24 -
第二节 分式线性映射
1
映射w = 是扩充复平面上的共形映射。
z
其次我们将讨论w = az + b(a ¹ 0)
在扩充复平面的
第六章
保角性。显然 w = az + b在扩充复平面上是一一映射,
由于w¢ = a ¹ 0,因此 w = az + b 在复平面上是共形的,
共形映射
为了讨论这个映射在 z = ¥ 处的共形问题, 我们令:
1 1
w = ,z = ,则h =
h z
z
a + bz , 且
a
(a + bz )2 z =0
= 1 ¹ 0
a
h¢ z =0 =
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- 25 -
第二节 分式线性映射
z
因此 h = bz + a
w = az + b = ¥
在z = 0处, 即 在 处
z
是共形的, 因此有w = az + b(a ¹ 0)
是扩充复平面上的
第六章
共形映射。
定理1
共形映射
分式线性映射在扩充复平面上是一一的, 且
具有保角性。
2) 保圆性
我们规定: 直线是半径为无穷大的圆周。
由于映射 w = az + b(a ¹ 0)
是平移、 旋转、 伸缩映射
的复合, 因此这个映射将直线映射成直线, 将圆周映射
吴新民
- 26 -
第二节 分式线性映射
成圆周, 即映射w = az + b在扩充复平面上将圆周映射
成圆周, 映射的这个性质称为映射的保圆性。
第六章为了研究映射w = 1z 的保圆性, 令
z = x + iy, w = u+ iv
共形映射 1
w =
代入 z 得
x
- y
x2 + y2
u = x2 + y
2 , v =
或
u
-v
u2 + v2
x = u2 + v
2 , y =
(6.2.2)
z 平面圆周方程的一般形式是
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- 27 -
第二节 分式线性映射
a(x2 + y2)+ bx + cy + d = 0
(当a = 0时为直线) 将(6.2.2)式代入得
d(u2 + v2)+ bu- cv + a = 0
第六章
w
平面圆周的一般形式(当 = 时为直线)。因此
d 0
映射 z 在扩充复平面上具有保圆性。
这是
1
w =
共形映射
定理2
分式线性映射在扩充复平面上将圆周映射成
圆周, 即具有保圆性。
综上所述我们有: 在分式线性映射下, 如果给定的
圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 那么它就映射
半径为有限的圆周, 如果有一点映射成无穷远点, 那
么它就映射成直线。
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- 28 -
第二节 分式线性映射
3) 保对称性
首先我们来阐明关于圆周的对称点的一个重要特性,
即 是关于圆周C 的对称点的充要条件是经过 z ,z
z ,z
1 2
1 2
第六章
的任何圆周 L 与 C 正交
事实上, 如果 C是一条直线结论显然成立。
共形映射
如果 C :| z - z0 |= R,
z ,z
当 L 为过 的直线时, 则
1 2
L一定经过圆心 因此 C与
z ,
z¢·
L
0
L 正交。当L 为半径有限的
圆周时, 由点 z0作 L的切线, C
z0· z·
·z2
1
¢
z ,
切点为 因此由平面解析几
何知识得
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- 29 -
第二节 分式线性映射
= - - =
| z¢ - z0 |2 | z z || z z | R2
2
0
1
0
因此 z¢ 在圆周 C 上, L 的切线为 C 半径, 即 C与L
正交。
第六章
z ,z
反过来, 设L是过 的与 C 正交的任意圆周,
1 2
共形映射
z ,z
那么特别连接 的直线必与 C 正交, 因此必经过
1 2
C 的圆心, 如果 L是半径为有限的圆周, 那么L与 C
¢
在交点 z¢ 处正交, 因此 C的半径 为 的切线,
z z L
0
因此有
¢
| z2 - z || z - z |=| z - z0 |2= R2
0
1
0
z ,z
因此 为关于圆周C 的对称点。
1 2
吴新民
- 30 -
第二节 分式线性映射
z ,z
定理3 设 是关于圆周 C的对称点, 则在分式线性
1 2
映射下, 它们的像 2 一定是关于C的像曲线L的对
w ,w
1
称点。映射的这种性质称为保对称性。
第六章
证 设经过 2 的任意圆周为L¢ 是经过 的
z ,z
1 2
w ,w
1
圆周 C¢由分式线性映射过来的, 由于 C 与 C¢正交, 所
共形映射
L ¢
L
w ,w
1
以 与 正交, 因此 是关于圆周 L的对称点。
2
吴新民
- 31 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
第六章
一 唯一确定分式线性映射的条件
共形映射
二 两个重要的分式线性映射
吴新民
- 32 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
一 唯一确定分式线性映射的条件
z ,z ,z ,
定理 在 z 平面给定相异的三点 在 w 平面
1 2 3
第六章
w ,w ,w ,
也给定相异的三点 则存在唯一的分式线性
1
2
3
映射 w = f (z), 使得
共形映射
= =
f (zk ) w (k 1,2,3).
k
证 设 w = czaz++db (ad - bc ¹ 0) 依次将 zk(k = 1,2,3)
映射成wk(k = 1,2,3),
即
wk = azk + b
(k = 1,2,3)
czk + d
因此有
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- 33 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
w - w = (z - zk )(ad - bc)
(k = 1,2)
k
+ +
(cz d)(cz d)
k
w3 - wk = (z3 - zk )(ad - bc)
(czk + d)(cz3 + d)
(k = 1,2)
第六章
因此有
共形映射 (w - w1)(w3 - w ) (z - z1)(z3 - z2)
(w - w2)(w3 - w1) (z - z2)(z3 - z1)
=
(6.3.1)
2
这就是所求得分式线性映射。
如果有另一个分式线性映射 w = ag zz ++db 也依次将
zk(k = 1.2.3) 映射成 wk(k = 1,2,3) 重复上面的步骤,
最后依然得(6.3.1),因此所求得分式线性映射是唯一的。
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- 34 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
根据上面的定理可知, 在两个已知的圆周 C,L分别
取相异的三点, 则必存在一个分式线性映射将 C映射
成 L, 但这个映射将 C 的内部映射成什么区域呢?
第六章
首先注意到, 在分式线性映射下, C 的内部(或一侧)
不是映射成L 内部( 或一侧) 就是 L 的外部( 或另一
共形映射
侧) 。
C
L
g z1
g w¢g w1
g z2
w2g
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- 35 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
因此在分式线性映射下, 如果在 C 内部(某侧)任取
z , z
C L 的内部(某侧),
则C的内部
一点 而 0的像在 的像
0
(某侧)一定映射成的L内部(某侧); 如果 z0的像在L的
第六章
外部, 则 C 的内部(某侧)一定映射成 L外部。
共形映射
C
g w0
L
gz0
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- 36 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
C
L
g z0
第六章
g w0
共形映射
C
gz0
g w0
L
吴新民
- 37 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
z z ,z
设 为 C上相异的三点, 在分式线性映射下
1, 2 3
她们的像为L上的相异的三点 我们规定 C,
w ,w ,w ,
1
2
3
L 正向分别为 z1 ® z2 ® z3,w1 ® w2 ® w3 的走向,
第六章
她们的法向分别为指向指定的区域, 则我们能够用下
面的方法来确定C内部的像。
共形映射
L
C
w3g
z3g
g z2
g w2
w1g
z1g
吴新民
- 38 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
C
L
g w2
z3g
g z2
第六章
w1g
z1g
w3g
共形映射
w2g
w3g
w3g
w1g
w2g
w1g
吴新民
- 39 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
例1求一个分式线性映射w = f (z)使得点0,1,2的
像依次为¥,-i,i. 并问此分式线性映射将上半平面
映射成什么区域?
第六章
解由于f (0) = ¥, 因此可设
共形映射f (1) = -i, f (2) = i 代入得 a + b = -i, 2a + b = i
f (z) = az + b
z
, 将
f (z) = i 3z -24
因此 a = 3i,b = -4i,
因此
f (z) z
根据分式线性映射的保圆性, 将由 0,1,2确定
的圆周(即实轴)映射成由¥,-i,i 确定的圆周(即虚轴)
又由于f (i) = -4+ 3i,且Re(-4+ 3i) = -4 < 0 因此将上
半平面映射成左半平面 Rew < 0.
吴新民
- 40 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
根据上面的讨论可知: 在分式线性映射下
1) 当两圆周上没有点映射成无穷远点时, 这两圆
第六章
周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。
2) 当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时,
共形映射
两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的
区域。
3) 当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时, 两圆
周的弧所围成的区域映射成角形区域。
吴新民
- 41 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
z - i
z + i
在分式线性映射 w = 下, 区域 | z + 1|< 2,
例2
Rez > 0 映射成一个什么样区域。
解 | z + 1|= 2 与 的交点为i,-i,分式线性映射
=
Rez 0
第六章
将 i 映射成坐标原点, 将 -i 映射成¥, 将原点映射成
-1,
因此将虚轴 -1< Im z < 1部分映射成负实轴, 根
共形映射
分式线性映射
的保角性, 将
yg i
y
-1
p
o
x
g g
4
原区域映射成
p
4
o
x
- 1
-p < Argw
< -3p
-ig
4
吴新民
- 42 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
二 两个重要的分式线性映射
1) 将上半平面映射成单位圆的分式线性映射
例3 求将上半平面Im z > 0映射成单位圆 | w |< 1的分
第六章
式线性映射。
解 设 l(Iml > 0)为上半平面上任意一定点, 在所求
共形映射
的分式线性映射下映射成单位圆的圆心 O, 根据分式
线性映射的保对称性, l关于实轴的对称点 l 一定被
映射成 O 关于单位圆周的对称点¥, 因此设所求的分
式线性映射为
w =a z - l
z - l
吴新民
- 43 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
其中a为常数。
又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周
上的点, 特别将坐标原点 0 映射成点w(| w |= 1),
因此
第六章
1 = | w |=| a | ||ll ||
=| a |
共形映射 =
j
i
a e ,
因此 因此所求的分式线性映射为
ij z - l
z - l
w = e
(6.3.2)
这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般
形式。
z - l
w =a
z - l
吴新民
- 44 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
例4 求将上半平面 Im z > 0映射成单位圆 | w |< 1的分
p
f (2i) = 0,arg f ¢(2i) = .
式线性映射 w = f (z),并满足
3
第六章解 由条件 f (2i) = 0,即将 z 平面的上半平面的点2i
w 0,
=
映射成w 平面单位圆的圆心 因此根据 (6.3.2)
ij z - 2i
f (z) = e
ij z - l
w = e
z - l
设
共形映射
z + 2i
-4i
f ¢(z) = eij (z + 2i)2
由于
p
e , 利用
2
arg f ¢(2i) = p
ij -i 1
4 4
i(j- )
固有 f ¢(2i) = e
=
3
f (z) = e 56p i z - 2i
5p
得j = ,
即
z + 2i
6
吴新民
- 45 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
2) 将单位圆映射成单位圆的分式线性映射的一般形式
例5 求将单位圆| z |< 1映射成单位圆| w |< 1 的一般
形式。
第六章
解 设a 为z 平面上的单位圆 的一点, 它被映
<
| z | 1
<
w = 0.
根据分式线性
成 w 平面单位圆 的中心
| w | 1
1
共形映射
映射的保对称性, a关于单位圆周 的对称点 a
| w |= 1
一定被映射成 0 关于单位圆周 的对称点 ¥,
=
| z | 1
因此可设所求的分式线性映射为
z -a
w = k z -a
= k1
1-a z
z - a
1
又由保圆性可知 | z |= 1上的点比如 1被映射成 | w |= 1
吴新民
- 46 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
上的点, 因此
1 = | w |=| k1 | |1-a | =
| k1 |
|1 |
-a
第六章
=
ij
k e ,
即 因此所求的分式线性映射为
1
z -a
w = eij 1-a z
(6.3.3)
共形映射
其中a 满足 这就是将单位圆映射成单位圆的
a <
| | 1.
分式线性映射的一般形式。
z -a
1-a z
w = k1
吴新民
- 47 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
例6
求将单位圆映射成单位圆的分式线性映射, 并
满足 w(12) = 0,w(1) = i.
第六章
解 根据题意和 (6.3.3) 设所求的分式线性映射为
w = eij z -
2z -1
1
2
1- z = eij 2- z
共形映射
1
2
由 w(1) = i得
ij 2-1
2-1
= eij
i = e
p
j = ,
因此 即所求的分式线性映射为
分式线性映射的一般形式
2
2z -ij1z -a
w = i =
w e
2- z1-a z
吴新民
- 48 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
求将 | z |< 1 映射成 | w -1- i |< 2的分式线性映射,
例7
并满足 w(12) = 1+ i,w¢( ) > 0.
解
第六章
1
2
w1 = e
(z)
(w1)
ij 2z -1
2- z
g
g0
1
2
ij 2z -1
w = 2e
(w)
2- z + 1+ i
=
2
共形映射
w 2w
(w )
1
2
w = w2 + 1+ i
g0
g 1+ i
吴新民
- 49 -
第三节 唯一确定分式线性映射的条件
因此可得
ij 2z -1
w = 2e
2- z + 1+ i
第六章
又因
6eij
= 8
eij > 0
1
z=1 = (2 - z)2
w¢( ) = w¢
z=1
3
2
2
2
共形映射
因此 为正实数, 即j = 0, 因此所求的分式线性
1
¢
w ( )
2
映射为
2z -1
w = 2 + 1+ i
2- z
= (3 - i)z + 2i
2- z
吴新民
- 50 -
第四节 几个初等函数所构成的映射
第四节 几个初等函数所构成的映射
第六章
一 幂函数
共形映射
二 指数函数与对数函数
吴新民
- 51 -
第四节 几个初等函数所构成的映射
一 幂函数
幂函数 w = zn(n ³ 2 为自然数),由于
w¢ = nzn-1
第六章
从而当 z ¹ 0时 w¢ ¹ 0, w z
=
n
即 在复平面上除坐标原
点处
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