工程数学(复变函数积分变换场论)59473.doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 第六章 共形映射第一节 共形映射的概念第二节 分式线性映射第三节 唯一决定分式线性映射的条件第四节 几个初等函数所构成的映射 第一节 共形映射的概念第一节 共形映射的概念第六章一 有向曲线的切线方向共形映射二 解析函数的导数的几何意义三 共形映射的概念吴新民- 2 - 第一节 共形映射的概念一 有向曲线的切线方向复平面一条有向曲线 C能够用方程第六章z = z(t), (a t b )表示, 其中 z(t)为一连续函数。我们规定C 的正向为共形映射当 t 增大时点 z 移动的方向。由于z(t0 + Dt)- z(t0)Dtz(t0) = limDt0z (= z(t0)0z (t )0z (t ) 0因此, 如果当 时, 将 看成起点为0的向量的话, 如图所示吴新民- 3 - 第一节 共形映射的概念z(t0)yz(t0)DzDtCDzDtCyDzDzz(t0)第六章z(t0)z(t0 + Dt)z(t0 + Dt)ooxx共形映射(Dt 0)(Dt 0)那么z(t )与曲线 C 相切于z0且指向C 正向的一个向量.0由此可得1) Argz(t0)就是曲线 C 在点z0处切向与x 轴正向z(t0 + Dt)- z(t0)之间的夹角。z(t ) = lim0DtC ,C1Dt02) 规定: 相交于一点两条曲线 2之间的在交点处C ,C夹角就是 2在交点处正向切向之间的夹角。1吴新民- 4 - 第一节 共形映射的概念二 解析函数的导数的几何意义下面总假定函数 f (z) 在区域 D解析, z0 是 D内一点, 且 f (z0) 0.第六章又设 C是 z平面内任意一条经过 z0的光滑有向曲线, 其参数方程为共形映射z = z(t), a t bz = z(t0),z(t0) 0. 这样且 t 增大的方向为C 的正向, 0w = f (z0)0映射 w = f (z)就将曲线C映射成 w 平面经过的一条有向曲线 L, 其参数方程为w = f (z(t)其正向也为 t 增大方向。吴新民- 5 - 第一节 共形映射的概念y(z)(w)vCLw = f (z)w0z第六章0ooxuArgw(t0)Argz(t0)Argf (z0)共形映射w(t0) = f (z )z (t0) 0由复合函数微分法, 有Argw(t0) = Argf (z0)+ Argz(t0)Argf (z0) = Argw(t0)- Argz(t0) (6.1.1)因此有即注意到 表示曲线 C 处的正向切向与 x轴Argz (t )z在00夹角, 表示L在 w0处正向切向与u轴的夹角。Argw (t )0吴新民- 6 - 第一节 共形映射的概念因此Argf (z )0 能够理解为: 曲线 C经过映射 w = f (z)后在z0处的转动角。利用 (6.1.1) 式可得第六章这个转动角的大小、 方向都与曲线 C 的形状、 方向是无关的。因此这种映射称为具有转动角不变性。共形映射设 2是在z0处相交的两条有向曲线, 其参数方C ,C1程分别为 z = z1(t),z = z2(t) (a t b ), 而且z0 = z1(t0)= z2(t0), C1,C2在映射w = f (z)下的像分别为 L1,L2,为在 w0 = f (z0)相交的两条有向曲线, 她们的参数方程分别为 Argw =f w(z10()t)=Argf (zw1(tt)0),w- Arg= w2z(tt)0=) f (z2(t),吴新民- 7 - 第一节 共形映射的概念L2yv(z)(w)L1C1qqC2w = f (z)z00w第六章ooxu利用公式 (6.1.1) 可得共形映射Argw (t )- Argz1(t0) = Argw (t )- Argz2(t0)2 01 0即Argw2(t0)- Argw (t ) = Argz2(t0)- Argz1(t0) (6.1.2)1 0这表明相交于z0的任意两条曲线 2的夹角在大小和C ,C1方向都等于经过映射 w = f (z)后所得的像 2的夹角L ,L1因此这种映射具有保持两曲线的夹角和方向的不变性。吴新民- 8 - 第一节 共形映射的概念这种性质称为保角性。| f (z ) |下面解释 的几何意义0 w LDsy(z) Dsv(w) z C第六章rrjqw = f (z) z0w0共形映射ooxu设 z - z = reij , w - w = reiq , Ds为曲线 C 上介于00z0与z 之间的一段弧长, Ds 为曲线 L 上介于w0与 w之间的一段弧长。由于DsrrDsww0lim = lim = lim = 1rDszz0zz0吴新民- 9 - 第一节 共形映射的概念因此-z - z0r Ds Dsiqrew w0| f (z0) |= lim |= lim | j |reizzzz00第六章Ds Ds r ei(q -j ) |=lim |0zz即有共形映射DsDs| f (z0) |= lim(6.1.3)zz0这个极限值称为曲线 C在z0处的伸缩率。(6.1.3) 表明: | f (z0) |w f (z)=是经过映射 后经过z0的任何曲线C 在 z0处的伸缩率, 它与曲线 C 的形状和方向是无关的。映射的这种性质称为伸缩率不变性。吴新民- 10 - 第一节 共形映射的概念综上所述, 我们有如下定理: 设函数 w = f (z) 在区域 D内解析, z0 D,定理1且 那么映射w = f (z)在点z0处具有两个f (z ) 0,第六章0性质: 1) 保角性, 即经过 z0的任意两条曲线间的夹角与经过映射后所得的两条曲线的夹角在大小和方向上是保持不变的。共形映射2) 伸缩率不变性, 即经过z0的任意一条曲线的伸| f (z ) |缩率均为 而与该曲线的形状与方向无关。0吴新民- 11 - 第一节 共形映射的概念二 共形映射的概念第六章定义 设函数 w = f (z)在点 z0的某个领域内是一一的, 且在z0处具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射共形映射w = f (z)在点 z0 处是共形的, 或称 是 zw f (z)=0处的共形映射。如果映射w = f (z)在区域 D上每一点都是共形的, 则称映射w = f (z)为区域 D上的共形映射。吴新民- 12 - 第一节 共形映射的概念根据共形映射的定义与定理1我们有定理2 设函数 w = f (z) 在 z0 处解析, 且f (z0) 0,Argf (z0)第六章则映射w = f (z)为z0 处的共形映射。而且为映射 w = f (z) 在z0 处的转动角, 为映射| f (z ) |0共形映射w = f (z0) 的伸缩率。如果解析函数 w = f (z) 在区=w f (z)f (z) 0,域 D 内每一点都有 那么映射 为D上的共形映射。吴新民- 13 - 第一节 共形映射的概念p zz i=例 求映射w = z2 + e在点 出的转动角和2伸缩率p z= (2 + p2 )i= + p(2z e)z=i第六章解 w2z=i2共形映射转动角Arg(2 + p )i = p2 2| (2 + p2 )i | = 2+ p2伸缩率吴新民- 14 - 第一节 共形映射的概念如果一个映射具有伸缩率不变性, 且仅保持两曲线的夹角的大小不变但方向相反, 那么这个映射称为第第六章二类共形映射。C2yC1共形映射例如 w = z为第二a类共形映射。oxaL1L2吴新民- 15 - 第二节 分式线性映射第二节 分式线性映射第六章一 分式线性映射的一般概念共形映射二 分式线性映射的分解三 分式线性映射的性质吴新民- 16 - 第二节 分式线性映射一 分式线性映射的一般概念称映射w = az + b第六章(ad - bc 0)(6.2.1)cz + d共形映射为分式线性映射, 其中a,b,c,d 均为常数。由于ad - bc2 0w =(cz d)+因此分式线性映射在复平面上除满足cz + d = 0 的点外是共形的。吴新民- 17 - 第二节 分式线性映射分式线性映射是一个双线性映射, 这是因为它的逆映射z = -dw + bcw - a (-d)(-a)- bc 0)第六章也是一个分式线性映射。共形映射两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射吴新民- 18 - 第二节 分式线性映射二 分式线性映射的分解分式线性映射能够表示为第六章ad 1 aw = (b - ) +c cz + d c因此分式线性映射能够分解下列三种特殊映射的复合共形映射1w = z + b, w = az (a 0), w = z下面讨论这三种特殊的映射, 为了方便起见, 我们将 w 平面看成与 z 平面重合。1) w = z + b 是一个平移映射。吴新民- 19 - 第二节 分式线性映射y事实上, 如果将 b 看成一个b z + b z向量的话, z + b 就能够看成将b点 沿 的方向移动 | b | 个单z b第六章ox位的距离所得的点。共形映射2) w = az(a 0)是一个旋转、 伸缩映射。y= r ija e ,事实上, 如果记 则azaz 就是这样一个向量: 首先将z 旋转一个角度 j得到一个向ejijzzox量eijz, 再将其伸长(或缩短)| a |倍后就得到了 w = az.吴新民- 20 - 第二节 分式线性映射3) 称 w = 1z为反演映射。C为了了解这个映射的几何解释O PPR第六章我们首先定义关于已知圆周的对称点共形映射设 C 是以 O为心, R 为半径的圆周, 对于复平面异于O的任意一点 P,在从 O出发的指向 P的射线上P ,取点 使得| OP | OP |= R2则称 P与P是关于圆周 C的对称点。规定, 圆心 O 关于圆周 C的对称点为无穷远点。吴新民- 21 - 第二节 分式线性映射y1z 和将 w = 1z 分解为 w1 = zw11= r ijw = w ,记 则z e , =w eij11r第六章oxw因此 Argw1 = Argz, | w1 | z |= 1,由此可得 w1与 z 为关于单位圆周的对称点。因此共形映射1w =z 是这样一个映射: 首先将点 z 映射成 z 关于w ,1单位圆周的对称点 然后将 w1 映射成 w1关于实轴的对称点 w.吴新民- 22 - 第二节 分式线性映射三 分式线性映射的性质1) 保角性第六章首先讨论 w = 1z 的保角性, 由于此映射将 z = 01w = , z = =映射成 w = 0,因此 w z 在映射成 将共形映射扩充复平面上是一一的映射。又由于w = - 12 0z1因此 w = z 是在扩充复平面上除点 z = 0,z = 外的共形映射。吴新民- 23 - 第二节 分式线性映射我们规定两条伸向无穷远点的曲线在无穷远点的夹角在大小、 方向上都与它们在映射z = 1z下所映成的通第六章过原点的两条曲线在原点处的夹角大小、 方向相同。1w = = z z =因此由于映射 在 0处是解析的, 且有z共形映射1z = =w (z ) = 1,因此 w = z z = 0处, 即w z 在在1z = = z z 0=处是共形的, 反之由于 在 解析, 且有w1z (z) = 1, 因此z = z 在 z = 0 处, 即 w z 在 z = 0=处是共形的。综上所述我们有: 吴新民- 24 - 第二节 分式线性映射1映射w = 是扩充复平面上的共形映射。z其次我们将讨论w = az + b(a 0)在扩充复平面的第六章保角性。显然 w = az + b在扩充复平面上是一一映射, 由于w = a 0,因此 w = az + b 在复平面上是共形的, 共形映射为了讨论这个映射在 z = 处的共形问题, 我们令: 1 1w = ,z = ,则h =h zza + bz , 且a(a + bz )2 z =0= 1 0ah z =0 =吴新民- 25 - 第二节 分式线性映射z因此 h = bz + aw = az + b = 在z = 0处, 即 在 处z是共形的, 因此有w = az + b(a 0)是扩充复平面上的第六章共形映射。定理1共形映射分式线性映射在扩充复平面上是一一的, 且具有保角性。2) 保圆性我们规定: 直线是半径为无穷大的圆周。由于映射 w = az + b(a 0)是平移、 旋转、 伸缩映射的复合, 因此这个映射将直线映射成直线, 将圆周映射吴新民- 26 - 第二节 分式线性映射成圆周, 即映射w = az + b在扩充复平面上将圆周映射成圆周, 映射的这个性质称为映射的保圆性。第六章为了研究映射w = 1z 的保圆性, 令z = x + iy, w = u+ iv共形映射 1w =代入 z 得x- yx2 + y2u = x2 + y2 , v =或u-vu2 + v2x = u2 + v2 , y =(6.2.2)z 平面圆周方程的一般形式是吴新民- 27 - 第二节 分式线性映射a(x2 + y2)+ bx + cy + d = 0(当a = 0时为直线) 将(6.2.2)式代入得d(u2 + v2)+ bu- cv + a = 0第六章w平面圆周的一般形式(当 = 时为直线)。因此d 0映射 z 在扩充复平面上具有保圆性。这是1w =共形映射定理2分式线性映射在扩充复平面上将圆周映射成圆周, 即具有保圆性。综上所述我们有: 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 那么它就映射半径为有限的圆周, 如果有一点映射成无穷远点, 那么它就映射成直线。吴新民- 28 - 第二节 分式线性映射3) 保对称性首先我们来阐明关于圆周的对称点的一个重要特性, 即 是关于圆周C 的对称点的充要条件是经过 z ,zz ,z1 21 2第六章的任何圆周 L 与 C 正交事实上, 如果 C是一条直线结论显然成立。共形映射如果 C :| z - z0 |= R,z ,z当 L 为过 的直线时, 则1 2L一定经过圆心 因此 C与z ,zL0L 正交。当L 为半径有限的圆周时, 由点 z0作 L的切线, Cz0 zz21z ,切点为 因此由平面解析几何知识得吴新民- 29 - 第二节 分式线性映射= - - =| z - z0 |2 | z z | z z | R22010因此 z 在圆周 C 上, L 的切线为 C 半径, 即 C与L正交。第六章z ,z反过来, 设L是过 的与 C 正交的任意圆周, 1 2共形映射z ,z那么特别连接 的直线必与 C 正交, 因此必经过1 2C 的圆心, 如果 L是半径为有限的圆周, 那么L与 C在交点 z 处正交, 因此 C的半径 为 的切线, z z L0因此有| z2 - z | z - z |=| z - z0 |2= R2010z ,z因此 为关于圆周C 的对称点。1 2吴新民- 30 - 第二节 分式线性映射z ,z定理3 设 是关于圆周 C的对称点, 则在分式线性1 2映射下, 它们的像 2 一定是关于C的像曲线L的对w ,w1称点。映射的这种性质称为保对称性。第六章证 设经过 2 的任意圆周为L 是经过 的z ,z1 2w ,w1圆周 C由分式线性映射过来的, 由于 C 与 C正交, 所共形映射L Lw ,w1以 与 正交, 因此 是关于圆周 L的对称点。2吴新民- 31 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件第三节 唯一确定分式线性映射的条件第六章一 唯一确定分式线性映射的条件共形映射二 两个重要的分式线性映射吴新民- 32 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件一 唯一确定分式线性映射的条件z ,z ,z ,定理 在 z 平面给定相异的三点 在 w 平面1 2 3第六章w ,w ,w ,也给定相异的三点 则存在唯一的分式线性123映射 w = f (z), 使得共形映射= =f (zk ) w (k 1,2,3).k证 设 w = czaz+db (ad - bc 0) 依次将 zk(k = 1,2,3)映射成wk(k = 1,2,3),即wk = azk + b(k = 1,2,3)czk + d因此有吴新民- 33 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件w - w = (z - zk )(ad - bc)(k = 1,2)k+ +(cz d)(cz d)kw3 - wk = (z3 - zk )(ad - bc)(czk + d)(cz3 + d)(k = 1,2)第六章因此有共形映射 (w - w1)(w3 - w ) (z - z1)(z3 - z2)(w - w2)(w3 - w1) (z - z2)(z3 - z1)=(6.3.1)2这就是所求得分式线性映射。如果有另一个分式线性映射 w = ag zz +db 也依次将zk(k = 1.2.3) 映射成 wk(k = 1,2,3) 重复上面的步骤, 最后依然得(6.3.1),因此所求得分式线性映射是唯一的。吴新民- 34 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件根据上面的定理可知, 在两个已知的圆周 C,L分别取相异的三点, 则必存在一个分式线性映射将 C映射成 L, 但这个映射将 C 的内部映射成什么区域呢? 第六章首先注意到, 在分式线性映射下, C 的内部(或一侧)不是映射成L 内部( 或一侧) 就是 L 的外部( 或另一共形映射侧) 。CLg z1g wg w1g z2w2g吴新民- 35 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件因此在分式线性映射下, 如果在 C 内部(某侧)任取z , zC L 的内部(某侧),则C的内部一点 而 0的像在 的像0(某侧)一定映射成的L内部(某侧); 如果 z0的像在L的第六章外部, 则 C 的内部(某侧)一定映射成 L外部。共形映射Cg w0Lgz0吴新民- 36 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件CLg z0第六章g w0共形映射Cgz0g w0L吴新民- 37 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件z z ,z设 为 C上相异的三点, 在分式线性映射下1, 2 3她们的像为L上的相异的三点 我们规定 C,w ,w ,w ,123L 正向分别为 z1 z2 z3,w1 w2 w3 的走向, 第六章她们的法向分别为指向指定的区域, 则我们能够用下面的方法来确定C内部的像。共形映射LCw3gz3gg z2g w2w1gz1g吴新民- 38 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件CLg w2z3gg z2第六章w1gz1gw3g共形映射w2gw3gw3gw1gw2gw1g吴新民- 39 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件例1求一个分式线性映射w = f (z)使得点0,1,2的像依次为,-i,i. 并问此分式线性映射将上半平面映射成什么区域? 第六章解由于f (0) = , 因此可设共形映射f (1) = -i, f (2) = i 代入得 a + b = -i, 2a + b = if (z) = az + bz, 将f (z) = i 3z -24因此 a = 3i,b = -4i,因此f (z) z根据分式线性映射的保圆性, 将由 0,1,2确定的圆周(即实轴)映射成由,-i,i 确定的圆周(即虚轴) 又由于f (i) = -4+ 3i,且Re(-4+ 3i) = -4 0 因此将上半平面映射成左半平面 Rew 0.吴新民- 40 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件根据上面的讨论可知: 在分式线性映射下1) 当两圆周上没有点映射成无穷远点时, 这两圆第六章周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。2) 当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时, 共形映射两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的区域。3) 当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时, 两圆周的弧所围成的区域映射成角形区域。吴新民- 41 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件z - iz + i在分式线性映射 w = 下, 区域 | z + 1| 0 映射成一个什么样区域。解 | z + 1|= 2 与 的交点为i,-i,分式线性映射=Rez 0第六章将 i 映射成坐标原点, 将 -i 映射成, 将原点映射成-1,因此将虚轴 -1 Im z 1部分映射成负实轴, 根共形映射分式线性映射的保角性, 将yg iy-1poxg g4原区域映射成p4ox- 1-p Argw 0映射成单位圆 | w | 0)为上半平面上任意一定点, 在所求共形映射的分式线性映射下映射成单位圆的圆心 O, 根据分式线性映射的保对称性, l关于实轴的对称点 l 一定被映射成 O 关于单位圆周的对称点, 因此设所求的分式线性映射为w =a z - lz - l吴新民- 43 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件其中a为常数。又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周上的点, 特别将坐标原点 0 映射成点w(| w |= 1),因此第六章1 = | w |=| a | |ll |=| a |共形映射 =jia e ,因此 因此所求的分式线性映射为ij z - lz - lw = e(6.3.2)这就是将上半平面映射成单位圆的分式线性映射的一般形式。z - lw =az - l吴新民- 44 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件例4 求将上半平面 Im z 0映射成单位圆 | w | 1的分pf (2i) = 0,arg f (2i) = .式线性映射 w = f (z),并满足3第六章解 由条件 f (2i) = 0,即将 z 平面的上半平面的点2iw 0,=映射成w 平面单位圆的圆心 因此根据 (6.3.2)ij z - 2if (z) = eij z - lw = ez - l设共形映射z + 2i-4if (z) = eij (z + 2i)2由于pe , 利用2arg f (2i) = pij -i 14 4i(j- )固有 f (2i) = e=3f (z) = e 56p i z - 2i5p得j = ,即z + 2i6吴新民- 45 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件2) 将单位圆映射成单位圆的分式线性映射的一般形式例5 求将单位圆| z | 1映射成单位圆| w | 1 的一般形式。第六章解 设a 为z 平面上的单位圆 的一点, 它被映| z | 1w = 0.根据分式线性成 w 平面单位圆 的中心| w | 11共形映射映射的保对称性, a关于单位圆周 的对称点 a| w |= 1一定被映射成 0 关于单位圆周 的对称点 ,=| z | 1因此可设所求的分式线性映射为z -aw = k z -a= k11-a zz - a1又由保圆性可知 | z |= 1上的点比如 1被映射成 | w |= 1吴新民- 46 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件上的点, 因此1 = | w |=| k1 | |1-a | =| k1 |1 |-a第六章=ijk e ,即 因此所求的分式线性映射为1z -aw = eij 1-a z(6.3.3)共形映射其中a 满足 这就是将单位圆映射成单位圆的a | | 1.分式线性映射的一般形式。z -a1-a zw = k1吴新民- 47 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件例6求将单位圆映射成单位圆的分式线性映射, 并满足 w(12) = 0,w(1) = i.第六章解 根据题意和 (6.3.3) 设所求的分式线性映射为w = eij z -2z -1121- z = eij 2- z共形映射12由 w(1) = i得ij 2-12-1= eiji = epj = ,因此 即所求的分式线性映射为分式线性映射的一般形式22z -ij1z -aw = i =w e2- z1-a z吴新民- 48 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件求将 | z | 1 映射成 | w -1- i | 0.解第六章12w1 = e(z)(w1)ij 2z -12- zgg012ij 2z -1w = 2e(w)2- z + 1+ i=2共形映射w 2w(w )12w = w2 + 1+ ig0g 1+ i吴新民- 49 - 第三节 唯一确定分式线性映射的条件因此可得ij 2z -1w = 2e2- z + 1+ i第六章又因6eij= 8eij 01z=1 = (2 - z)2w( ) = wz=13222共形映射因此 为正实数, 即j = 0, 因此所求的分式线性1w ( )2映射为2z -1w = 2 + 1+ i2- z= (3 - i)z + 2i2- z吴新民- 50 - 第四节 几个初等函数所构成的映射第四节 几个初等函数所构成的映射第六章一 幂函数共形映射二 指数函数与对数函数吴新民- 51 - 第四节 几个初等函数所构成的映射一 幂函数幂函数 w = zn(n 2 为自然数),由于w = nzn-1第六章从而当 z 0时 w 0, w z=n即 在复平面上除坐标原点处