非线性规划问题的Matlab实现求解.doc

本科毕业论文（设计）模板

本科毕业论文(设计)

论文题目：非线性规划问题的建模与Matlab
求解实现的案例分析

学生姓名： 许富豪
学 号：
专 业： 信息与计算科学
班 级： 计科1201
指导教师： 王培勋

完毕日期： 2023年 6月 25日

非线性规划问题的建模与Matlab求解实现的案例分析

内容摘要

非线性规划问题通常极其抽象，并且求解计算极其复杂，本文举个别非线性规划问题案例，通过对抽象的非线性规划问题先建立数学模型，再运用Matlab软件高效快捷的实现非线性规划问题的求解，最后分析运用Matlab软件得出的案例结果。

关键词：非线性规划 建立数学模型 Matlab

目 录（三号黑体居中）
空一行
空一行
一、 ※※※※※※ ………………………………………………… 1
（一）※※※※※※………………………………………………… 1
1.※※※※※※※※※※※※※………………………………… 1
2.※※※※※※※………………………………………………… 4
（二）※※※※……………………………………………………… 7
（三）※※※※※※※※……………………………………………12
二、※※※※…………………………………………………………16
（一）※※※※※……………………………………………………16
（二）※※※※※……………………………………………………24
1.※※※※…………………………………………………………24
2.※※※※※………………………………………………………30
3.※※※※…………………………………………………………31
（三）※※※※………………………………………………………33
三、※※※※…………………………………………………………36
（一）※※※※※……………………………………………………38
（二）※※※※………………………………………………………43
四、※※※※…………………………………………………………45
参考文献………………………………………………………………48
附录……………………………………………………………………50

（标题顺序号、内容及其开始页码均为四号宋体，一级标题为黑体四号）

序 言

非线性规划问题通常难以用人力计算，所以我们一般运用Matlab软件代替人去计算抽象的非线性规划问题，解决了花费时间、花费精力的问题，快速准确的得出计算结果。因此，善于运用Matlab实现非线性规划问题的求解非常重要，而求解非线性规划问题之前必须先对问题进行建立数学模型，才干准确的理解题意并快速的运用Matlab求解。
一、非现性规划的基本概念
(一)定义
假如目的函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题，简记为NP。
(二)一般形式

其中：称为模型（NP）的决策变量，称为目的函数，和称为约束函数；称为等式约束；称为不等式约束。
(三)其他情况
求目的函数的最大值，或约束条件小于等于零两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式。
二、非线性规划问题的案例
(一) 经营方式安排问题案例
某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元，第二种设备每件售价450元，根据记录售出第一件第一种设备所需的营业时间平均为0.5小时，第二种设备是（2+0.25)小时，其中是第二种设备的售出数量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试拟定使营业额最大的营业计划。
(二) 资金最优使用方案案例
设有400万元资金，规定在4年内使用完，若在一年内使用资金x万元，则可获得效益万元（设效益不再投资），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%，试制定出这笔资金的使用方案，以使4年的经济效益总和为最大。

三、给案例建立数学模型
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立经常既需要人们对现实问题进一步细微的观测和分析，又需要人们灵活巧妙地运用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。
(一) 经营方式安排问题建模
设该公司计划经营的一种设备为X，第二种设备X件，根据题意，建立如下的数学模型

(二) 资金最优使用方案建模
针对现有资金400万元，对于不同的使用方案，4年内所获得的效益的总和是不相同的。比如第一年就把400万元所有用完，这获得的效益总和为=20.0万元；若前三年均不用这笔资金，而把它存入银行，则第四年时的本息和为400×=532.4万元，再把它所有用完，则效益总和为23.07万元，比第一种方案效益多3万多元，所以用最优化方法可以制定出一种最优的使用方案，以使4年的经济效益总和为最大。
建立模型：设X表达第i年所使用资金数，T表达4年的效益总和，则目的函数为：

决策变量的约束条件：每一年所使用资金既不能为负数，也不能超过当年所拥有的资金数，即第一年使用的资金数，满足
0≤≤400
次年资金数，满足
0≤≤（400-)×1.1
(第一年未使用资金存入银行一年后的本利之和）；
第三年资金数，满足
0≤≤[(400-)×1.1-]×1.1
第四年资金数，满足
0≤≤{[(400-)×1.1-]×1.1-}×1.1
这样，资金使用问题的数学模型为

模型的求解：这是非线性规划模型的求解问题，可选用函数
[x.fval]=fmincon(fun,x0,a,b,Aeq,beq,lb,ub)
对问题进行求解。一方面，用极小化的形式将目的函数改写为

另一方面，将约束条件表达为如下形式

其中各输入参数为
， ，

四、运用Matlab实现求解
(一) 经营方式安排问题求解
一方面，编写M文献来定义目的函数，并将其保存为wangmazi.m
functionf=wangmazi(x)
f=-30*x(1)-450*x(2);
另一方面，由于约束条件是非线性不等式约束，因此，需要编写一个约束条件的M文献，将其保存为wangmazi1.m
%wangmazi1.m
function[c.cep]=wangmazi1(x)
c=0.5*x(1)+2*x(2)+0.25*x(2)*x(2)-800;
cep=[];
最后，编制主程序并存为wangmazi_2.m
clear all
lb=[0,0];
x0=[0,0];
[x,w]=fmincon(‘wangmazi’,x0,[],[],[],[],lb,[],‘wangmazi1’)
运营wangmazi_2.m,即得到结果：
x=[1495.5 11],w=-49815,
即该公司经营第一种设备1496件，经营第二种设备11件，即可使总营业额最大，为49815元。
(二) 资金最优使用方案求解
一方面编写目的函数的M文献，并将其保存为zhangsan.m
Function y=zhangsan(x)
y=-sqrt(x(1))-sqrt(x(2))-sqrt(x(3))-sqrt(x(4));
另一方面编写主程序并保存为文献zhangsan1.m
Clear all
A=[1.1,1,0;1.21,1.1,1,0;1.331,1.21,1.1,1];
b=[440,484,532.4];
Lb=[0,0,0,0];
ub=[400,1000,1000,1000];
x0=[100,100,100,100];
[x,fval]=fmincon(‘zhangsan’,x0,A,b,[],[],lb,ub)
结果输出：运营zhangsan1.m,可获得如下的运营结果
x=(84.2440 107.6353 128.9031 148.2391)
Fval= -43.0821
也即如下表所列
资金最优使用方案

第一年
次年
第三年
第四年
现有资金/万元
400
347.4
263.8
148.2
使用金额/万元
84.2
107.6
128.9
148.2
4年效益总和最大值为T=43.08万元。
五、总结
通过这几个非线性规划问题的案例可以看出，Matlab软件对建模过后的非线性规划问题能方便快捷的得出准确的结果，能大量节省我们的时间。但是对抽象的非线性规划问题建立数学模型也是非常重要，只有建立了对的的数学模型，才干运用Matlab软件得出对的的解。

参 考 文 献

［1］应玖茜，魏权龄. 非线性规划及其理论. 北京：中国人民大学出版社，1994.75-79
［2］赵静，但琦. 数学建模与数学实验. 北京：高等教育出版社，2023.83-91
［3］徐全智，杨晋浩. 数学建模入门. 成都：电子科技大学出版社，1996.13-14