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34“弹簧与物块的分离”模型

建构物理模型，巧手探析题目
“弹簧与物块的分离”模型
太原市第十二中学 姚维明

模型建构：
两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开，那么这个位置就是物体间的分离点。
【模型】弹簧与物块的分离
【特点】①都要建立动力学方程；②分离条件是：相互作用的弹力FN=0
这个问题可以分成两类“模型”：
图1
A
B
O
【模型1】水平面上“弹簧与木块的分离”模型
如图1，B与弹簧相连，而A、B是紧靠在一起的两个物体，当弹簧原来处于压缩状态，如果地面是光滑的，则物体A、B在向左运动的过程中A、B何时分离。
〖解析〗物体应在弹簧的原长处分离。由于水平面光滑，当弹簧从压缩状态回到自然伸长位置时，一直加速运动。当它刚刚回到平衡位置时，物块B受的弹力为阻力，开始减速。而物块A不受外力做匀速直线运动。vA≥vB
此时A、B分离。
【体验1】但是如果物体与地面之间是不光滑的，题目条件如模型1。试讨论分离条件。
〖解析〗假设A、B在某一位置分离，此时刻两物体的相互作用力为零FAB=0
同时，两物体的加速度相同。
则；
所以
讨论：
（1）如果等于或均为零；x等于零。两物体在O点分离；
（2）如果大于，x大于零，两物体在O点的右侧分离；
（3）如果小于，x大于零，两物体的分离点在O点的左侧。
〖点评〗两物体分离的条件是：相互间的弹力FN=0等于零；两物体瞬时加速度相等。
【模型2】竖直面上“弹簧与木块的分离”模型
图2
m
M
如图2所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，重物何时与木板分离？
〖解析〗当物体分离时，物体间的弹力FN=0
物块只受重力，物块的加速度为g，木板的加速度也为g
弹簧的状态应为原长，即弹簧恢复原长时，二者分离
此时物块与薄板有共同的加速度。
从动力学的角度可以得到，竖直方向的弹簧类问题两物体的分离点是在弹簧的原长处。
模型典案：
【典案1】A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图3所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功。
〖解析〗（1）设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x
有kx=（mA+mB）g，
所以x=（mA+mB）g/k　　 ①
图3
对A施加向上的F力，分析A、B受力如图4
图4

对A：F+FN-mAg=mAa　　　　　　　　 ②
　　对B：kx′-FN-mBg=mBa′　　　　　　　　③
　　可知，当FN≠0时，AB有共同加速度a=a′，
由②式知欲使A匀加速运动，随FN减小F增大，
　 当FN=0时，F取得了最大值Fm，即
　　Fm=mA（g+a）=4.41 N
　　（2）又当FN=0时，A、B开始分离，由③式知，此时弹簧压缩量kx′=mB（a+g）
　　即x′=mB（a+g）/k　　　　　　　　　　④
　　AB共同速度 v2=2a（x-x′）　　　　　　⑤
　　由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J
　　设F做功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理
　　WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=（mA+mB）v2　　　　⑥
　　联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J
　　可知，WF=9.64×10-2 J
〖点评〗此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力FN=0时 ，恰好分离。
m

图5
【案例2】如图5所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为的重物，先由托盘托住，使弹簧比自然长度缩短L，然后由静止开始以加速度匀加速向下运动。已知a<g，弹簧劲度系数为，求经过多少时间托盘M将与分开？
【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力
在这两个力的作用下，当重物的加速度也为时，重物与托盘恰好分离。
由于a<g，故此时弹簧必为伸长状态。
然后由牛顿第二定律和运动学公式求解：
根据牛顿第二定律得： ①
由①得：
由运动学公式有： ②
联立①②式有： ③
解得：
〖点评〗本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索：若将此题条件改为，情况又如何呢？
图6
【典例3】如图6所示，一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg的物体A、和B，物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4 s物体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m / s2，求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。
（2）此过程中外力F所做的功。　　
[解析]（1）A原静止时，设弹簧压缩x1，
由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg------------①
物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外力F最小，设为F1
由牛顿第二定律：F1+kx1—mg=ma-----------②
当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力F最大，设为F2　　
对B：kx2=mg------------③
对A：F2-kx2-mg=ma -----------④
由位移公式对A有： ----------⑤
又t=0.4s------⑥
由①②③④⑤⑥可得：

a=3.75m/s2　　F1=45N　　F2=285N
　　（2）0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s
对A全程由动能定理得：WF－mg (x1+x2)=mv2
　　解得：WF=49.5 J　　
也可用能量守恒求解：　　
在力作用的0.4s内，在初末状态有x1=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即：

图7
【典案4】如图7质量为mA=10kg的物块A与质量为mB=2kg的物块放在倾角为300光滑斜面上，处于静止状态，轻弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数为K=400N/m，现给物块A施加一个平行与斜面向上的力F，使物块A沿斜面向上做匀加速直线运动，已知力F在前0.2s内是变力，0.2s后为恒力，求力F的最大值和最小值。（g=10m/s2）
【解析】原系统处于静止状态，则M与m受合外力为零,设此时弹簧压缩量为xo即：
(m+M)gsin300=kx0
则： x0=0.15m
由静止开始向上匀加速运动，m与M在0～0.2S内整体向上有共同的加速度a．设经时间为t，则在t内m与M上升位移为S： S=at2 ①
在0～0.2S内以m与M为整体：F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a ②
当t=0.2s时 s=a×(0.2)2=0.02a ③
由①、②、③得： F+(0.15-O.02a)×400-60=(m+M)a ④
分析可知在0.2s后F为恒力，此状况只有m与M分离可存在
在ｔ＝0.2ｓ后，对ｍ有：Ｆ－ｍｇsin300＝ｍａ，（此时力Ｆ也为ｔ＝0.2ｓ瞬间的力）
Ｆ＝（ｇ/2＋ａ）ｍ　　　　　　 ⑤
由④⑤得：ａ＝5ｍ／ｓ２．
分析可知Ｆ最小力应是在ｔ＝０时，
即：Ｆmin=(m+M)a=(2+10) ×5=60N
在t=0.2s以后力有最大值
即： Fmax=(g/2+a) ×m=(10/2+5) ×10=100N
图8
【典案5】质量为M=6Kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量均为m=2Kg且均放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图8所示，物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功270J。撤去外力，当A和B分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出，
求：（1）B与A分离时，小车的速度多大？
（2）从撤去外力至B与A分离时，A对B做了多少功？
（3）假设弹簧伸到最长时B已离开小车。A仍在车上，则此时弹簧的弹性势能是多大？
〖解析〗（１）分析可知A、B分离时应在弹簧恢复为原长时，此时AB有共同速度为v1，设车速为v2，接触面均光滑，动量守恒，取向右为正，
Ｏ＝Ｍv2－２ｍv1　　　　　　　　　　　　　 ①
又机械能守恒：ＥP＝＋　 ②
由①②得：v1＝9m/s，v2＝6m/s　　　　　 ③
（２）A对B做的功应为Ｂ的动能增量：
ＷB＝ＥBK＝-0＝81J　　　 ④
（３）A与B分离后，A的速度不变，弹力对Ａ与Ｍ作负功。弹簧最长时，令Ａ的速度为ｖ３，A与M有共同速度，动量再次守恒，有：　
取向右为正：　Ｍv2－ｍv1＝（Ｍ＋ｍ）v3　　　　⑤　
第二次机械能守恒：＋ＥＰ／＝189J ⑥
由③⑤⑥得：＝168.75Ｊ
模型体验：
【体验1】用木板托住物体m，并使得与m连接的弹簧处于原长，手持木板M向下以加速度a（a<g）做匀加速运动，如图9。求物体m与木板一起做匀加速运动的时间。
a
图9
〖解析〗m在与M一起向下做匀加速运动过程中，m受到弹簧的弹力不断增大，板M对m的支持力不断减小，重力保持不变。
m与板M分离的条件为板M对m的支持力FN恰好为零，且此时m与M运动的加速度恰还相等。
设：m与M分离经历t时间，弹簧伸长为x：
mg－kx＝ma
解得：x＝
又因为：x＝at2
所以t＝
图10
【体验2】如图10所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( )
A.一直加速运动 B．匀加速运动
C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动
图11
【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．
正确答案：C
【体验3】如图11所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为m1 和m2的木块相连，竖直放置在水平地面上。问：至少要向下压多大的力F于m1上，才可以使突然撤去外力F后m2恰好离开地面？
〖解析〗m2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x2，且kx2=m2g和m1速度为零。
设未加压力F时，弹簧的压缩量为x0；加压力F时，弹簧的压缩量为x1，
则：kx0=m1g　 kx1=F+m1g
应用简谐运动的对称性求解：m2不离开地面，m1做简谐运动，则
振幅：A=x1－x0= x0 + x2
所以x1=x2+2x0=
加压力F时，F+m1g=kx1
∴F=kx1－m1g=(m1+m2) g
[点评]物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性来求解会简单得多。
【体验4】如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施水平恒力F而使A从静止开始向上运动。（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）
（1）如果在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚要离开地面时A的速度为多大？
（2）若将B的质量增加到2m，为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过多少？
〖解析〗由题意可知：弹簧开始的压缩量，在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是
（1）若F=3mg，在弹簧伸长到x0时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即
可解得：
（2）所施力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。
在最低点： F0－mg+kx0=ma1
式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加速度。
在最高点，B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则：
K（2x0）+mg－F0=ma2
考虑到： kx0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a1=a2
解得：F0=
也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为所在处。
由： 解得：F0=
【点评】区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。
图12
图6
【体验5】如图12所示，光滑的水平面上有ｍＡ＝２㎏，ｍＢ＝ｍｃ＝１㎏的三个物体，用轻弹簧将Ａ与Ｂ连接，在Ａ、Ｃ两边用力使三个物体靠近，A、B间的弹簧被压缩，此过程外力做功７２J，然后从静止释放。求：
（１）当物体Ｂ、Ｃ分离时，B对C做的功有多少？
（２）当弹簧再次被压缩到最短而后又伸长到原来时，A、B的速度各是多大？
〖解析〗此题关键是判断出Ｂ与Ｃ分离条件为弹簧恢复到原长，而弹簧再次被压缩到最短条件为Ａ、Ｂ同速且向右。
（１）当Ｂ、Ｃ分离时弹簧恢复到原长，
由动量守恒：mAvA＝（mB＋mC）vBC　　 ①
由机械能守恒：mAvA2＋（mB＋mC）vBC2=72J　　　　　 ②
B对C做功：WBC＝mCvBC2　　　　　　　　　　　 ③　
由①②③得：vA＝vBC＝6m/s，WBC＝18J
（２）当弹簧压缩到最短时，Ａ、Ｂ同速方向向右，则有：
mAvA-mBvBC＝（mA＋mB）v， v=2m/s
设弹簧再次伸长到原长时，Ａ、Ｂ速度分别为ｖ１和ｖ２，则：
（mA＋mB）v＝mAv1＋mBv2　　　　　　　　 ④
72－mCvBC2　＝mAv12＋mBv22　　　　 ⑤
由④⑤得：v1=2m/s，向左；v2=10m/s，向右
或 v1＝6m/s，向右；v2=6m/s， 向右
注意（２）求的速度是矢量，最后方向不可丢失，解题要严谨。
A
B
m2
k
m1
【体验6】如图，质量为的物体A，通过一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A．B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。（1）求物体C下降的最大距离。（2）若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
【解析】开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为，有
挂C并释放后，C向下运动，A 向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为，
有
B不再上升，表示此时A 和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

联立解得
【体验7】如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带有+QA和+QB的电荷量，质量分别为mA和mB。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中。A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。
(1) 若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A恰好能离开挡板P，求物块C下落的最大距离；
(2) 若C的质量改为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？
【解析】（1）开始平衡时有：
当A刚离开档板时：
故C下落的最大距离为：
由①～③式可解得h=
（2）由能量守恒定律可知：C下落h过程中，C重力势能的的减少量等于B的电势能的增量和弹簧弹性势能的增量、系统动能的增量之和
当C的质量为M时：
当C的质量为2M时：
解得A刚离开P时B的速度为：

【体验8】如图所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖直静止在水平地面上，现在对物体A加一竖直向上的力F，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2）求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值
（2）此过程中力F所做的功
分析：物体在外力作用下做匀加速直线运动，通过受力分析，运用牛顿定律列方程，就能解决第一问。力F是变力，变力做功只能根据功能关系或动能定理求解。确定了物体上升的高度及速度，列出功能关系方程，本题则解。
解析：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2，A上升的加速度为。
A原来静止时，因受力平衡，有：
设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为F1

B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F2
对A：
对B：
由位移公式，对A：
联立解得：
a=3.75m/s2 F1=45N F2=285N
（2）解法一：力作用的0.4s内，在末状态有x1=x2，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：

解法二：根据动能定理
解得：
点拨：本题的难点是外力F做功的求解。一是如何运用功能关系求解，二是势能的变化难以确定。最初对A，；最终对B，。全程弹力做功为零。弹性势能的变化为零。

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