图的一种加权邻接矩阵谱半径和能量的界_卢鹏丽.pdf

文章编号:1 6 7 3-5 1 9 6(2 0 2 3)0 1-0 1 4 4-0 8图的一种加权邻接矩阵谱半径和能量的界卢鹏丽*,薛小燕(兰州理工大学 计算机与通信学院,甘肃 兰州 7 3 0 0 5 0)摘要:图G的一种加权邻接矩阵记为Ad b(G)=(ad bi j)nn,若顶点vi和顶点vj相邻,则ad bi j=di+djdidj,反之ad bi j=0.给出图G的加权谱半径的上下界,并在此基础上给出加权谱半径的N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系.得到了图G的加权能量的几个上下界,并在此基础上给出加权能量的N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系.关键词:一种加权邻接矩阵;加权谱半径;加权能量;N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系中图分类号:O 1 5 7.5;O 1 5 7.6 文献标志码:AB o u n d s f o r t h e s p e c t r a l r a d i u sa n de n e r g yo fak i n do fw e i g h t e da d j a c e n c ym a t r i xo fg r a p h sL UP e n g-l i,XU EX i a o-y a n(S c h o o l o fC o m p u t e ra n dC o mm u n i c a t i o n,L a n z h o uU n i v.o fT e c h.,L a n z h o u 7 3 0 0 5 0,C h i n a)A b s t r a c t:Ak i n do fw e i g h t e da d j a c e n c ym a t r i xo fg r a p hGi sd e n o t e db yAd b(G)=(ad bi j)nn,w h e r ead bi j=di+djdidji f t h ev e r t i c e svia n dvja r ea d j a c e n t,a n dad bi j=0o t h e r w i s e.I nt h i sp a p e r,s o m eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so f t h ew e i g h t e ds p e c t r a l r a d i u so f g r a p hGa r e f i r s t o b t a i n e d,a n d t h e nt h eN o r d h a u s-G a d d u m-t y p er e l a t i o nf o rw e i g h t e ds p e c t r a l r a d i u s i sg i v e n.I na d d i t i o n,s e v e r a l u p p e r a n d l o w e rb o u n d s f o r t h ew e i g h t e de n e r g ya r eo b t a i n e d,t h e n,t h eN o r d h a u s-G a d d u m-t y p er e s u l t s f o r t h ew e i g h t e de n e r g ya r ep r e s e n t e d.K e yw o r d s:ak i n do fw e i g h t e da d j a c e n c ym a t r i x;w e i g h t e ds p e c t r a l r a d i u s;w e i g h t e de n e r g y;N o r d h a u s-G a d d u m-t y p er e l a t i o n 本文所考虑的所有图都是简单无向的.设G是包含顶 点 集V(G)=v1,v2,v3,vn 和 边 集E(G)=e1,e2,em的 图,即 图G为n=V(G)阶和m=E(G)条边的图.设di为顶点vi的度,图G中顶点的最大度和最小度分别为和.图G的补图记为G-且di为补图G-顶点vi的度.如果图G的每个顶点的度相同则称图G为正则图.图G的邻接矩阵记为A(G)=(ai j)nn,是一个nn维的矩阵,若顶点vi和顶点vj相邻,则ai j=1,反之ai j=0.A(G)的特征值记为12n,因为A(G)是n阶实对称矩阵,所以其特征值全为实数.A(G)最大特征值1称为图G的邻接谱半 收稿日期:2 0 2 1-1 2-2 1 基金项目:国家自然科学基金(1 1 3 6 1 0 3 3,1 1 8 6 1 0 4 5,6 2 1 6 2 0 4 0)通讯作者:卢鹏丽(1 9 7 3-),女,甘肃酒泉人,教授,博导.E m a i l:l u p e n g l i 8 81 6 3.c o m径.图G的能量记为=(G)=ni=1i.1 9 9 4年,Y a n g等1提出了图G的扩展邻接矩阵,表示为Ae x(G)=(ce xi j)nn,当图G中顶点vi和顶点vj相邻,则ce xi j=12didj+djdi,反之ce xi j=0.Ae x(G)的特征值记为12n.图G的扩展能 量 定 义 为e x=e x(G)=ni=1i.D a s2、G h o r b a n i等3、L i u等4、W a n g等5研究了图G的扩展邻接矩阵的谱半径和扩展能量的上下界.此外,关于各种矩阵的谱半径和能量的上下界的研究详见文献6-9.受扩展邻接矩阵的启发,X u等1 0提出了图G的一种新的加权邻接矩阵,并研究了其加权谱半径和加权能量的上下界.新提出的加权邻接矩阵定义为Ad b=Ad b(G)=(ad bi j)nn,若图G中顶点vi和顶点第4 9卷第1期2 0 2 3年2月兰 州 理 工 大 学 学 报J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g yV o l.4 9 N o.1F e b.2 0 2 3vj相邻,则ad bi j=di+djdidj,反之ad bi j=0.其加权邻接矩阵的特征值可以用12n表示,其中1为 其 谱 半 径,图G的 加 权 能 量 定 义 为d b=d b(G)=ni=1i.设f(G)是图的一个不变量,n是一个正整数.1 9 5 6年,N o r d h a u s和G a d d u m研究了关于图G色数及其补图G-色数的f(G)+f(G-)和f(G)f(G-)的上下界,在后面研究中,将图G及其补图G-的f(G)+f(G-)和f(G)f(G-)任意界称为N o r-d h a u s-G a d d u m-t y p e关系.A o u c h i c h e等1 1研 究 了N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系在图的谱半径和能量上的应用.在此基础上,W a n g等5计算了扩展邻接矩阵的谱半径和能量的N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系.拓扑指数作为图的不变量在数学和化学领域得到了广泛的应用.本文所使用的拓扑指数如下:图G的I S I指数1 0定义为I S I=I S I(G)=vivjE(G)didjdi+dj 图G的第一Z a g e r b指数M11 2,第二Z a g e r b指数M21 2,遗忘指数F1 2定义为M1=M1(G)=ni=1d2i=vivjE(G)di+djM2=M2(G)=vivjE(G)didjF=F(G)=ni=1d3i=vivjE(G)d2i+dj2 图G的修正第二Z a g e r b指数M*24,R a n d i c指数R4定义为M*2=M*2(G)=vivjE(G)1didjR=R(G)=vivjE(G)1didj 本文首先根据图G的一些不变量,如阶数n、边数m、最大度、最小度、一些拓扑指数等给出了加权谱半径的上下界.得到加权谱半径的N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系,此外,还证明了图G的加权能量的上 下 界,进 一 步 得 到 加 权 能 量 的N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系.1 引理给出一些必要的引理.引理15 若B是n阶实对称矩阵,其特征值为12n,对于任意一个向量xRn,x0有1xTB xxTx,等号成立当且仅当x是属于1的特征向量.引理21 0 设G是一个n阶图,则1)ni=1i=T r(Ad b)=0.2)ni=1(i)2=T r(A2d b)=2vivjE(G)di+djdidj2.引理31 0 设G是一个n阶图,则1=2=n当且仅当GKn或Gn2K2.引理41 3 设G是一个图,其大于、小于、等于0的特征值的个数分别为p、q、r,则r+m i np,q其中是图G的独立数.2 加权谱半径的上下界下面给出一些加权谱半径的上下界.为方便起见列出了下列不等式关系1 0:22di+djdidj222didjdi+djdidj2didjdi+dj2di+djdidjdi+dj2 定理1 设G是一个n阶m条边的图,其最大度和最小度分别为和,则1222mn(1)等式成立当且仅当G同构于n2K2.证明 易知:n21T r(A2d b)(2)由引理2得T r(A2d b)=2vivjE(G)di+djdidj22m222(3)因此18m 2n 4=222mn式(3)中的等式成立当且仅当d1=d2=dn=0.故图G是一个正则图且G不同构于Kn.式(2)中等式成立当且仅当1=2=n,541第1期 卢鹏丽等:图的一种加权邻接矩阵谱半径和能量的界 由引理3知G同构于n2K2或Kn.因此,综合可得式(1)中等式成立当且仅当G同构于n2K2.定理2 设G是一个n阶非空图,其最大度和最小度分别为和,则12 M1+45M*2n 3(+)(4)等式成立当且仅当图G是一个正则图.证明 设x=(x1,x2,xn)是Rn中的任意单位向量,则xTAd bx=2vivjE(G)di+djdidjxixj令x=1n,1n,1nTxTAd bx=2nvivjE(G)di+djdidj(5)若ai和bi是任意实数且满足h aibiH ai(i=1,2,n),则下列D i a z-M e t c a l f不等式成立1 4ni=1b2i+h Hni=1a2i(h+H)ni=1aibi等号成立当且仅当bi=h ai或bi=H ai.设bi=di+dj、ai=1didj、h=2(didj)、H=2(didj)代入上述不等式,则式(5)转化为xTAd bx=2nvivjE(G)di+djdidj2nvivjE(G)(di+dj)2+4(didj)2vivjE(G)1didj22didj(+)(6)因为2nvivjE(G)(di+dj)2+4(didj)2vivjE(G)1didj22didj(+)2n2vivjE(G)(di+dj)+4 52vivjE(G)1didj22(+)(7)则xTAd bx2n2 M1+4 52M*222(+)=2 M1+45M*2n 3(+)由引理1可得1xTAd bx2 M1+45M*2n 3(+)式(6)和式(7)中等式成立当且仅当d1=d2=dn=,则图G是一个正则图.进而,由1=xTAd bx可知x=1n,1n,1nT是对应于1的特征向量.综合可得式(4)中等式成立当且仅当图G是一个正则图.定理3 设G是一个n阶无孤立点的图,其最大度和最小度分别为和,则18 M*2-4Rn(8)等式成立当且仅当G是正则图.证明 设x=(x1,x2,xn)是Rn中的任意单位向量,则xTAd bx=2vivjE(G)di+djdidjxixj=2vivjE(G)(di+dj)2-2didjdidjxixj=2vivjE(G)(di+dj)2didjxixj-vivjE(G)4didjxixj2vivjE(G)(2)2didjxixj-vivjE(G)4didjxixj(9)令x=1n,1n,1nT,由引理1得1xTAd bx8 M*2-4Rn当d1=d2=dn=时,式(9)中等式成立.故图G是一个正则图.进而,由1=xTAd bx可知x=1n,1n,1nT是对应于1的特征向量.因此,式(8)中等式成立当且仅当图G是一个正则图.定理4 设G是一个n阶m条边的无孤立点的图,其最大度和最小度分别为和,则1222(n-1)mn 证明 由C a u c h y-S c h w a r z不等式得(n-1)(22+2n)(2+n)2由引理2得(n-1)(T r(A2d b)-21)(T r(Ad b)-1)2因此 1(n-1)T r(A2d b)n=2(n-1)vivjE(G)di+djdidj2n641 兰州理工大学学报 第4 9卷2(n-1)m222n=222(n-1)mn 定理5 设G是一个n阶m条边的无孤立点的图,其最大度和最小度分别为和,则1(-)2+221等式成立当且仅当G是正则图.证明 设x=(x1,x2,xn)T是特征值1对应的单位特征向量,则1=xTAd bx,由引理1得 1xTA(G)x=2vivjE(G)xixj(1 0)xTAd bx=2vivjE(G)di+djdidjxixj=2vivjE(G)(di-dj)2+2didjdidjxixj=2vivjE(G)(di-dj)2didjxixj+vivjE(G)4didjxixj2vivjE(G)(-)22xixj+4vivjE(G)xixj(-)2+221(1 1)因此1(-)2+221式(1 0,1 1)中等式成立当且仅当d1=d2=dn=且1=21.因此,图G是一个正则图.3 加权谱半径的N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系定理6 设G是一个n阶连通图,其最大度和最小度分别为和,图G-为其补图,若图G和G-都没有孤立点,则1)1+12 M1+45M*2n 3(+)+2(n-1-)(n-1-)M1+4(n-1-)5M*2n(n-1-)3(2n-2-)等式成立当且仅当G是正则图.2)1+18 M*2-4Rn+8(n-1-)M*2-4R-n等式成立当且仅当G是正则图.证明 1)由定理2知:12 M1+45M*2n 3(+)即1+12 M1+45M*2n 3(+)+2(n-1-)(n-1-)M1+4(n-1-)5M*2n(n-1-)3(2n-2-)2)由定理3知:18 M*2-4Rn因此18(n-1-)M*2-4R-n即1+18 M*2-4Rn+8(n-1-)M*2-4R-n定理7 设图G有n阶连通图,则1)如果(G)=n-1或(G-)=n-11+12(n-1)22(n-1)mn+2(1)2(1)2(V(1)-1)E(1)V(1)其 中1为 补 图G-的 连 通 分 支,V(1)和E(1)分别表示1的顶点数和边数,且1(1)=1(G-).2)如果(G)n-2和(G-)n-21+1222(n-1)mn+2(n-1-)(n-1-)2n(n-1)2-2(n-1)mn 证明 1)不失一般性,设(G)=n-1,(G)1,由定理4可得1222(n-1)mn=2(n-1)22(n-1)mn由于(G)=n-1,那么G-是不连通的,设1,2,r为其连通分支,令1(1)1(2)1(r),因此1(1)=1(G-)且(1)(G-)n-2成立,则12(1)2(1)2(V(1)-1)E(1)V(1)741第1期 卢鹏丽等:图的一种加权邻接矩阵谱半径和能量的界 即1+12(n-1)22(n-1)mn+2(1)2(1)2(V(1)-1)E(1)V(1)2)因为(G)n-2和(G-)n-2,由此可知(G)1和(G-)1成立,则1222(n-1)mn12(n-1-)(n-1-)22(n-1)n(n-1)2-mn=2(n-1-)(n-1-)2n(n-1)2-2(n-1)mn即1+1222(n-1)mn+2(n-1-)(n-1-)2n(n-1)2-2(n-1)mn4 加权能量的上下界下面给出一些加权能量的一些上下界.定理8 设G是一个n阶m条边的图,则d b42n m2m i n1+1m i n等式成立当且仅当G同构于n2K2.证明 若aj,bj0,且满足 bjaj bj(1jk),则下列不等式成立1 4kj=1a2j()12kj=1b2j()1212+kj=1ajbj若aj0(1jk),等号成立当且仅当=且aj=bj.设aj=i、bj=1、=m i n=m i n|1|,|2|,|n|,=1,代入上述不等式得(n)12ni=12i()1212m i n1+1m i nni=1i(1 2)则ni=1i2n(ni=12i)12m i n1+1m i n由引理2得ni=12i=T r(A2d b)=2vivjE(G)di+djdidj28m 24(1 3)因此d b=ni=1i2n T r(A2d b)m i n1+1m i n42n m2m i n1+1m i n式(1 3)中等式成立当且仅当d1=d2=dn=0.故图G是一个正则图且G不同构于Kn.式(1 2)中等式成立1=2=n0,由引理3知图G同构于n2K2,因此,综合可得等式成立当且仅当G同构于n2K2.定理9 设G是一个n阶m条边的非空图,其最大度和最小度分别为和,则d b2mI S I 证明 由R a d o n不等式得ni=1i=ni=1i2ini=1i2ni=1i由引理2得d bni=1i2=T r(A2d b)=2vivjE(G)di+djdidj242vivjE(G)di+djdidj(1 4)由AM-HM不等式42vivjE(G)di+djdidj42m2vivjE(G)didjdi+dj=42m2I S I=2mI S I因此,d b2mI S I 定理1 0 设G是一个n阶m条边的图,其最841 兰州理工大学学报 第4 9卷大度和最小度分别为和,则d b8n m 24-(n)(1-m i n)2(1 5)式中:(n)=nn21-1nn2,x 表示实数x的整数部分,等式成立当且仅当G同构于n2K2.证明 若ai,bi为实数(i=1,2,n),且存在常数a、b、A和B,使得对每个ai和bi,都有aaiA和bbiB.则下面不等式成立1 3nni=1aibi-ni=1aini=1bi(n)(A-a)(B-b)等式成立当且仅当a1=a2=an且b1=b2=bn.设ai=i、bi=i、a=b=m i n=m i n|1|,|2|,|n|、A=B=1(i=1,2,n),代入上述不等式得nni=1i2-ni=1i()2(n)(1-m i n)2(1 6)由引理2得d bn T r(A2d b)-(n)(1-m i n)2由式(1 3)可得T r(A2d b)8m 24(1 7)d b8n m 24-(n)(1-m i n)2式(1 7)中等式成立当且仅当d1=d2=dn=0.故图G是一个正则图且G不同构于Kn.式(1 6)中等式成立当且仅当1=2=n,由引理3得,图G同构于n2K2或Kn.综合可得式(1 5)等式成立当且仅当G同构于n2K2.定理1 1 设G是一个n阶图,其最大度和最小度分别为和,则d b122n(F+2M2)(1 8)等式成立当且仅当G同构于n2K2.证明 由C a u c h y-S c h w a r z不等式得ni=1inni=12i(1 9)由引理2得nni=12i=2nvivjE(G)(di+djdidj)2因为2nvivjE(G)di+djdidj22nvivjE(G)(di+dj)24(2 0)因此d b2nvivjE(G)(di+dj)24=2n4vivjE(G)(d2i+d2j+2didj)=2n4vivjE(G)(d2i+d2j)+vivjE(G)(2didj)=122nF+2M2当1=2=n时,式(1 9)中等式成立,由引理3可得图G同构于n2K2或Kn.式(2 0)中等式成立当且仅当d1=d2=dn=0.故图G是一个正则图且G不同构于Kn.综合可得式(1 8)等式成立当且仅当G同构于n2K2.定理1 2 设G是一个n阶m条边的连通图,其最大度和最小度分别为和,则d bt+(n-1)8m 24-t2其中t=m a x222mn,2 M1+45M*2n 3(+),8 M*2-4Rn 证明 由C a u c h y-S c h w a r z不等式得ni=2i(n-1)ni=12i-21()d b1+(n-1)ni=12i-21()1+(n-1)(T r(A2d b)-21)1+(n-1)8m 24-21可证 当222mnt222m时,f(t)=t+(n-1)8m 24-t2单 调 递 减.因 此f(1)f222mn必然成立,由定理2、定理3得,若941第1期 卢鹏丽等:图的一种加权邻接矩阵谱半径和能量的界 2 M1+45M*2n 3(+)222mn8 M*2-4Rn222mn则d bt+(n-1)8m 24-t2其中t=m a x222mn,2 M1+45M*2n 3(+),8 M*2-4Rn 定理1 3 设G为n阶连通图d bnni=1i4()14 证明 设ai、bi、ci(i=1,2,n)为正任意实数,则下列不等式成立1 3ni=1aibici()3ni=1(ai)3ni=1(bi)3ni=1(ci)3等号成立当且仅当ai=bi=ci(i=1,2,n).设ai=i、bi=1、ci=1、代入上述不等式得ni=1i()3ni=1i3ni=1(1)3ni=1(1)3=n2ni=1i3n2ni=1i232(2 1)由H o l d e r不等式ni=1aibini=1api()1pni=1biq()1q 设ai=i23、bi=i43、p=32、q=3,代入H o l d e r不等式得 ni=1i2=ni=1i23(i)43 ni=1i()23ni=1i4()13 ni=1i2()32ni=1i()ni=1i4()12(2 2)将式(2 2)代入式(2 1)得d bnni=1i4()14 定理1 4 设G是一个n阶m条边的连通图,其最大度和最小度分别为和,为图G的独立数,则d b42(n-)m 证明 若图G的一种加权邻接矩阵的正(负)特征值个数p(q),其中n-p-q为一种加权邻接矩阵特征值为0的个数.由引理4得(n-p-q)+m i np,q因此(n-p-q)+p且(n-p-q)+q,即pn-、qn-,因为pi=1i+qi=1i=0,则d b=2pi=1i=2qi=1i由C a u c h y-S c h w a r z不等式得d b=2pi=1i2ppi=12i类似的d b=2qi=1i2qqi=12i因此2d b2ppi=12i+qqi=12i()2(n-)pi=12i+qi=12i()2(n-)8m 24d b42(n-)m5 加权能量N o r d h a u s-G a d d u m-t y p e关系定理1 5 设G是一个n阶m条边的连通图,其最大度和最小度分别为和,则d b+d b422mn+ri=14(V(i)-1-(i)(V(i)-1-(i)22E(i)V(i)证明 设1,2,r为图G-的连通分支,V(i)和E(i)分别表示i的顶点数和边数,若1(1)1(2)1(r),由定理1得d b=ni=1i21422mn即d b+d b21+2ri=11(i)422mn+ri=14(V(i)-1-(i)(V(i)-1-(i)22E(i)V(i)定理1 6 设G是一个n阶m条边的连通图,其最大度和最小度分别为和,图G-为其补图,若G-也为连通图,则d b+d bn d+(n-1)(4-n)d051 兰州理工大学学报 第4 9卷其中d=4m 24+2(n2-n-2m)(n-1-)2(n-1-)4.证明 由C a u c h y-S c h w a r z不等式得d b1+(n-1)(T r(A2d b)-21)因此d b+d b1+n-1T r(A2d b)-21+1+n-1T r(A2d b)-211+1+2(n-1)T r(A2d b)-21+T r(A2d b)-21121+1+(n-1)2T r(A2d b)+2T r(A2d b)-(1+1)212由均值不等式得ni=1i+ni=1i2nni=12i+ni=12i2n即ni=1i+ni=1i2nni=12i+ni=12i()因为d b(G)=ni=1i=20i21,则1+1ni=1i+ni=1i2nni=12i+ni=12i()2设d=m222+n(n-1)2-m2(n-1-)(n-1-)22则d b+d bn d+(n-1)(4-n)d其中d=4m 24+2(n2-n-2m)(n-1-)2(n-1-)4参考文献:1 YAN GYQ,XUL,HUCY.E x t e n d e da d j a c e n c ym a t r i xi n d i-c e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sJ.J o u r n a lo fC h e m i c a l I n f o r m a t i o na n dC o m p u t e rS c i e n c e s,1 9 9 4,3 4(5):1 1 4 0-1 1 4 5.2 D A SKC,GUTMANI,F UR TU L AB.O ns p e c t r a l r a d i u sa n de n e r g yo fe x t e n d e da d j a c e n c y m a t r i xo fg r a p h sJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,2 0 1 7,2 9 6:1 1 6-1 2 3.3 GHO R B AN IM,L IXL,Z AN G I S,e t a l.O n t h e e i g e n v a l u e a n de n e r g yo f e x t e n d e da d j a c e n c ym a t r i xJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,2 0 2 1,3 9 7:1 2 5 9 3 9.4 L I UC,P ANYG,D A IL,e t a l.S o m e e i g e n v a l u ep r o p e r t i e s a n dn e wb o u n d sf o rt h ee n e r g yo fe x t e n d e da d j a c e n c y m a t r i xo fg r a p h sJ.MA T C H C o mm u n M a t hC o m p u tC h e m,2 0 2 0,8 4(2):3 4 9-3 6 2.5 WAN GZ,MAOYP,F UR TU L AB,e t a l.B o u n d s f o r t h e s p e c-t r a l r a d i u sa n de n e r g yo fe x t e n d e da d j a c e n c ym a t r i xo fg r a p h sJ.L i n e a ra n dM u l t i l i n e a rA l g e b r a,2 0 2 1,6 9(1 0):1 8 1 3-1 8 2 4.6 R A D NJ,J AHAN B AN IA,GUTMANI.Z a g r e be n e r g ya n dZ a g r e be s t r a d a i n d e xo fg r a p h sJ.MA T C H-C o mm u n i c a t i o n si n M a t h e m a t i c a la n di nC o m p u t e rC h e m i s t r y,2 0 1 8,7 9(2):3 7 1-3 8 6.7 GAOYB,S HAOYL.T h em i n i m u mA B Ce n e r g yo f t r e e sJ.L i n e a rA l g e b r aa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 9,5 7 7:1 8 6-2 0 3.8 GHO R B AN I M,L I X L,HAK I M I-N E Z HAA D M,e ta l.B o u n d so nt h eA B Cs p e c t r a l r a d i u sa n dA B Ce n e r g yo fg r a p h sJ.L i n e a rA l g e b r aa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 2 0,5 9 8:1 4 5-1 6 4.9 GUO X,GAO YB.A r i t h m e t i c-g e o m e t r i cs p e c t r a lr a d i u sa n de n e r g yo f g r a p h sJ.MA C THC o mm u nM a t hC o m p u tC h e m,2 0 2 0,8 3(3):6 5 1-6 6 0.1 0 XUBG,L ISC,R ON G Y,e ta l.O nt h es p e c t r a l r a d i u sa n de n e r g yo f t h ew e i g h t e da d j a c e n c ym a t r i xo fag r a p hJ.A p-p l i e dM a t h e m a t i c s&C o m p u t a t i o n,2 0 1 9,3 4 0:1 5 6-1 6 3.1 1 AOU C H I CHE M,HAN S E NP.As u r v e yo fN o r d h a u s-G a d-d u mt y p er e l a t i o n sJ.D i s c r e t eA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2 0 1 3,1 6 1(4/5):4 6 6-5 4 6.1 2 Z HE N GL,T I ANGX,C U ISY.O ns p e c t r a l r a d i u s a n de n e r-g yo fa r i t h m e t i c-g e o m e t r i c m a t r i xo fg r a p h sJ.MA C THC o mm u nM a t hC o m p u tC h e m,2 0 2 0,8 3(3):6 3 5-6 5 0.1 3 J AHAN B AN IA.N e wB o u n d sf o rt h eh a r m o n i ce n e r g ya n dh a r m o n i ce s t r a d a i n d e xo f g r a p h sJ.C o m p u t e r S c i e n c e J o u r-n a l o fM o l d o v a,2 0 1 8,7 8(3):2 7 0-3 0 0.1 4 GUTMANI,R O D R GU E ZJ M,S I GA R R E T AJ M.L i n e a ra n dn o n-l i n e a ri n e q u a l i t i e so nt h ei n v e r s es u mi n d e gi n d e xJ.D i s c r e t eA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2 0 1 9,2 5 8:1 2 3-1 3 4.151第1期 卢鹏丽等:图的一种加权邻接矩阵谱半径和能量的界