材料力学 单祖辉 课后答案(第九章—第十九章).pdf

第九章强度理论9-3已知脆性材料的许用拉应力可与泊松比，试根据第一与第二强度理论确定纯剪 切时的许用切应力封。解：纯剪切时的主应力为O O2=工，0-2=0根据第一强度理论，要求5团即要求由此得切应力的最大许可值即许用切应力为团=网根据第二强度理论，要求4。2+%)同即要求r+/r1 6(b)1 2 从这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。9-5 图示外伸梁，承受载荷厂=130 kN作用，许用应力b=170 MPa。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。2题9-5图解：1.内力分析由题图可知，名截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为7?=F=130kN,|7l/|=F/2=130 xl03Nx0.600m=7.80 xl04N-m2.几何性质计算/=10.122x0.28()3(0.1220.0085)x(0.2802x0.0137)3=7 07x0_5m4 z 五 12 m-mWz 7,07x10 5 m3=5.05xl0-4m30.140Szg)=0.122x0.0137x(0.140-,37)m3=2.23xl0-4m3=2Sz(a)Sz,max=2.23xl0-4+-x0.0085x(0.140-0.0137)2m3=2.90 xl0-4m3式中：足标方系指翼缘与腹板的交界点；足标4系指上翼缘顶边中点。3.应力计算及强度校核三个可能的危险点(a,b和。)示如图9-5。aTT图9-5。点处的正应力和切应力分别为M=7.80X104N Wz-5.05x10-4m2=1.545x1()8 pa=154.5 MPa工二 4szm):130 x103 X：115X10二496义07 Pa=1496 MPaIzt 7.07x10-5*o.oi37m?该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为%=7r2+4r2=V154.52+4xl4.962MPa=157.4MPa ab点处的正应力和切应力分别为3九 _ 7.80 x104 x(0.1400.0137)N7.07x10-5 m?=1.393x1()8 pa=i39.3 MPa4Sz _ 130 x1()3 X2.23X1()4NIz3 7.07xl0-5 x0.0085m2=4.82x107 Pa=48.2 MPa该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为43=V13 9.32+4x48.22 MPa=l 69.4MPa R(7r.-Co=-=8.25x10 Pa=82.5 MPa-=-4 4x160 x106m=3.25xl0-3m=3.25 mm所得3D/20,属于薄壁容器，上述计算有效。9-10 图a所示车轮，由轮毂与套于其上的薄钢圈组成。钢圈的内径d比轮毂的外径。略小，安装时先将钢圈适当加热，以使二者套合，冷却后钢圈即紧套在轮毂上。钢圈的厚度 为b弹性模量为,轮毂的刚度很大，分析时可忽略其变形。试求钢圈与轮毂间的相互作用 力，以及钢圈横截面上的初应力。_岛乙1题9-10图解：在内压P作用下(图b),钢圈的周向正应变为t E 2E5安装前后，钢圈的直径由d变为。，其周向正应变为TiD-Ttd D-d%=-=-7id d比较式与(b),得2ES(D-d)p=Dd由此得钢圈横截面上的正应力为pD E(Dd)t 23 d(b)9-11 图示铸铁构件，中段为一内径。=200 mm、壁厚b=10 mm的圆筒，圆筒内的压力p=1 MPa,两端的轴向压力尸=300 kN,材料的泊松比/=0.25,许用拉应力%=30 MPa。5试校核圆筒部分的强度。题9-11图解：1.应力计算圆筒的3=。/20,属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为JxlOxQ.200 pa=5xl()6 pa=5 Mpa邛 4d 4x0.010史xiaxo.2。Pa=10 xl06 Pa=10MPatp 23 2x0.010由轴向压力引起的轴向应力为300 x1()3 NFTID8 71x0.200 x0.010m2筒壁内任一点的主应力依次为=4.77x107 Pa=47.7 MPa(压)3=10 MPa,cr20,g=(5-47.7)MPa=-42.7 MPa2.强度校核由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论 对其进行强度校核，即要求Crr2=Crl-X2+cr3)M将上述各主应力值代入上式，得。包=10-0.25x(-42.7)MPa=20.7 MPa将式(c)代入式(b),得(%-%)1=几+2=皿+9E、A E2A2 E1 E2由式(a)可知，匕114=力2 =-=y-02t 4 01即心将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为(a)(b)(c)(d)(g-。2*1七2台2 A/E3+E232(f)8(g 一的月百山A?+E*202t=(g)式(f)亦可写成G=(aJEEz?A/(f)9-14 图示薄壁圆筒，同时承受内压P与扭力偶矩M作用。由实验测得筒壁沿轴向 及与轴线成450方位的正应变分别为书和35。，筒的内径。、壁厚方、材料的弹性模量与泊 松比均为已知。试求内压?与扭力偶矩M之值。题9-14图解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图9-14所示。图 9-14图中所示各应力分量分别为pDCT=-.4SpD crt=-.t 282M由此可得%。%，%。一%，3 pD 3 pDO.o=T-,(J.o-T45 8J+45 83根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为1 1(1一2)0 E x U 4 屈5 1厂 s】1 2(1+)X(1)3 夕。为。二巴5。45。二 F+二由式可得圆筒所承受的内压为4ES p=-(1-2)。0将式(c)代入式(b),可得扭力偶矩为(a)(b)(c)TT9M 7iED2d4(1+)(1 2)2(1-2)35G-3(1-)%。9-15 如图所示，在直径为D=40mm的铝质圆柱体外，光滑套合一壁厚层2mm 的钢管，圆柱体承受轴向载荷厂=40kN作用，铝与钢的弹性模量分别为i=70GPa与 2=210GPa,泊松比分别为=0.35与偿=0.25。试计算钢管的周向正应力。题9-15图解：圆柱体与外管横截面上的正应力分别为4F%2=设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为P，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为52 二（2.0在外压P作用下（图b,尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为%1=51=一2根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为Ei TID外管内表面的周向正应变则为二 心 二 PDt2 E2 2E2S变形协调条件为于是有，+等+412PD 2E28由此得_ 8 出EzSFP TID2 忸 Q+2(ji)2 同10将上式代入式(a),于是得钢管的周向正应力为_ 4 N1E?F”2兀。忸。+2(1_1)23=28MPa11第十章组合变形10-2 图a所示板件，Z?=20mm,咫5mm,载荷厂=12 kN,许用应力可=100 MPa,试求板边切口的允许深度X。FFil(b)题10-2图解：在切口处切取左半段为研究对象(图b),该处横截面上的轴力与弯矩分别为FN=FM=F(b-a)显然,2b-x 7 x a-=b2 2(b)将式(b)代入式(a),得2切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为bmaxAFN M F Fx 6 _ F 3Fx-1-1-1-W 2a5 2 5(2a)2 2a5 4&2根据强度要求，在极限情况下,F 3Fx r n 五Tk团将式(b)与相关数据代入上式，得X2-0.1277X+6.39X10-4=0由此得切口的允许深度为x=5.20mm10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为=1.0X10-3 与4=0.4X10-3,材料的弹性模量=210GPa。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力厂及 其偏心距e的数值。1题10-3图解：1.求心和%截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有%=Esa=210 xl09 xl.0 xl0-3Pa=210MPa4=%=210 x1()9 xO.4xlO-3pa=84MPa偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图,如图10-3所示。210 MPa r 84 MPa图 10-32.求尸和e将方平移至杆轴线，得FR=F,M=Fe于是有巨忆晟+-F7 F7-%与=Es代入相关数据后，上述方程分别成为尸+240尸26250尸一240户e=10500经联立求解，于是得月=1837pl8.38kN,e=1.786xl0-3m=1.786mm10-6 图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷厂作用。试证明：当。4/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=8的圆形区域。题10-6图证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心产生的弯矩为 M=Fe2受拉区的最大拉应力为=-横截面上不存在拉应力的条件，要求式(a)小于或等于零，即要求32 4F71d3 71d 2由此得eV810-7 图a所示杆件，同时承受横向载荷与偏心压力作用。已知许用拉应力可=30 MPa,许用压应力可|=90 MPa,180mm,b=60mm,/=500mm,试确定尸的许用值。解：固定端处的横截面/为危险截面，该截面的内力如图b所示，弯矩为 hMv=Fl+F=Fl+l 0F-=FU5Fh y 2 2M=Fr-=10F-=5Fb z 2 2而轴力则为FN=Ff=10F(压力)横截面/的最大拉应力为_MZ My FN _6(5Fb)6(F/+5F/z)10F_2Ff 3八5g二正十无：一7二与厂一一访二而25+司最大压应力则为4区+”+工峪+旭普+叱=当35+当 c，gx w w A 店 bM bh bh h)/y根据强度条件，要求3八1。皿=茄(25+一卬3将相关数据代入上述二式，分别得Ft=4.86kN Fc=11.2kN于是得厂的许用值为F=Ft=4.86kN10-8 在图示立柱的顶部，作用一偏心载荷厂=250kN。若许用应力o=125MPa,试求偏心距Q的许用值。解：1.确定内力心二250kN,My=Fa=2.50 xl05a(N-m)Afz=0.050F=0.050 x250 xl03N-m=1.25xl04N-m2.计算7z，ly及4/(O.lOOxO.1203”近史幽)=1.099x10-57.0.020X0.1003。0.080X0.0203.4-八 in-6 4I.,=(-x2+-)m=3.39x10 m 12 12=(0.100 x0.020 x2+0.080 x0.020)m2=5.60 xl03m23.求的许用值由正应力强度条件，要求_Mzy Myz F rj-c,max Iz Iy A(1.25X104)X0.060(2.50X1()5 0X0 050 250X103-1.099义10-5+3.39x10-6+5.60 xl0-3 2=11288+3.69X103X106(Pa)M4得偏心距的许用值为tz=3.28x10-3m=3.28mm10-11 图示曲柄轴，承受载荷厂=10 kN作用。试问当载荷方位角。为何值时，对 截面4F的强度最为不利，并求相应的相当应力,3。题10-11图解：1.分析内力由于力T为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷方无需分解，可直接用以分析 内力。根据平衡关系，截面上的剪力、弯矩和扭矩值(绝对值)分别为4二尸=10 kN,Af=F/=10 xl03x0.070 N-m=700 N-mT=Facos3由此可见，尸的方位角。对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当，=0时扭矩取 最大值，对截面力T的强度最为不利，其值为=Fa=10 xl03 xO.240 N-m=2.40 xl03 N-m2.计算相当应力截面上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为“7M2+T总=32XJ7002+(2.40 x103)2r3 W TIXO.0603=1.179xlO8Pa=117.9MPa由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为167x 4x4凡 z16x2.40 xl03 16xl0 xl0 nT=Ti+T2=+-=(-+-b)Pa兀/371d2 71X0.0603 3兀 X0.0602=(56.6+4.72)xlO6 Pa=61.3 MPa其相当应力为凡3=2工=2x61.3 MPa=122.6 MPa(b)比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面力T上水平直径的左端点，其相当应力如 式所示。顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求与工(),再求3(。)。这里的0 5从截面4,上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将3（。）对。求导，寻找其极值位置，找 到的极值位置是0=0,由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式 b。10-12 图示某段杆的弯矩必与的图，它们均为直线，且其延长线分别与X轴相交于。与6点。试证明：如果。与6点不重合，则该段杆的总弯矩曲图必为凹曲线。题10-12图解：1.总弯矩方程及其二阶导数在区段（XI，X2）内，必与的图均为直线，因此，可设My=t+kxxMz=+左2、式中，仇，kl，岳与左2均为常数。于是得总弯矩为=J（仿+左4 2+（+2%2并由此得普=（他-母ifOX2.总弯矩曲图为凹曲线的证明。与6点的横坐标分别为Y=_h X=b?a k b k当。与b点不重合时，由上式得(a)(b)bk?w b2kl代入式（b,得粤 0可见，如果某杆段的 想与的图均为直线，且其延长线与坐标轴x不相交于同一点，则 相应总弯矩M图必为凹曲线。610-13 图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1上，作用有径向力3=3.64kN、切 向力卫=10 kN；在齿轮2上，作用有切向力尸=5 kN、径向力己=1.82 kN。若许用应力 cr=100 MPa,试根据第四强度理论确定轴径。解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图10-13a所示。内力图(；，及；和7)分别示如图b,c和do图 10-13由内力图和题10-12所证明的结论可知，截面B和都可能为危险面。对于截面8,总弯矩为+3642 N-m=1064N-m(a)对于截面。_，总弯矩为Mc=A/2272+5682 N-m=612 N-m(b)比较式(a)和(b)可知，截面5最危险。由第四强度理论的强度条件7得该轴的直径为Jl/j+0.75T2 32Jl7j+0.75r2 q0r4=o LJW 7ld3dJ32J应l+0.7572=3/10642+0.75X1OOQ27i cr V 7ixl00 xl06=5.19xl0-2 m=51.9mm10-16 图示钢质拐轴，承受铅垂载荷川与水平载荷B作用。已知轴45的直径为 d,轴与拐臂的长度分别为/与。，许用应力为团，试按第四强度理论建立轴45的强度条件。题10-16图解：将载荷川与尸2平移到截面B的形心，得轴43的受力如图b所示。显然，固定端处的横截面/为危险截面，该截面的轴力、扭矩与弯矩分别为2F?T=F1aMy=F2a,Mz=FJ可见，横截面/处于弯拉扭组合受力状态。在横截面的危险点处，弯曲与轴向正应力分别为bmaxM+M：_32依/+同2/271d3扭转切应力为0二&*N A nd2(b)T maxWT 16月。叫-叔38按照第四强度理论，危险点处的强度条件为V(N+bmax)+3Tm日将式(a),(b)与式(c)代入上式，于是得倏+皿/耳+时团10-17 图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力凡=1.9 kN、径向力居=740 N以及平行于轴线的外力尸=660 N。若许用应力 b =160 MPa,试根据 第四强度理论校核轴的强度。将载荷尸，片与片向轴4D的轴线简化，得该轴的计算简图如图10-17a所示。图中,此 c=F/?=660 x0.100N-m=66.0N-mMA=MC=FtR=1.9xlO3 xO.100 N-m=190.0N-m9_ 190N-m66.0 N*m*920N|18ON740 NMz 10.8 N.mfd 55.2 N-m图 10-172.内力分析根据图a,可画轴力、扭矩及弯矩图分别如图b,c,d和e所示。由内力图可知，截面。一为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为|7|=F=660N（压），|T|=190.0 N-mM=A/57.02+55.22 N-m=79.3 N-m3.强度校核危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为M|乙|,32x79.3 4x660.o=+=-?+-y W A 7ix0.0253 7ix0.0252Pa=5.30 xl07 Pa=53.0 MPa（压）=T=16xl90.0N,%71X0.0253 m2=6.19xl07 Pa=61.9 MPa将其代入第四强度理论的强度条件，有%4=b+3工2=753.02+3X61.92 MPa=ll9.6MPa可见，该轴满足强度要求。1010-19 图示等截面刚架，承受载荷厂与尸作用，且尸=2凡已知许用应力为 截面为正方形，边长为。，且。=10,试根据第三强度理论确定厂的许用值月。3U：,4题10-19图解：1.寻找危险面为了寻找危险面，首先需画出内力图。在图10-19a所示坐标下，由方产生的内力示如图 b和c；由尸产生的内力示如图d,e和f。图 10-19从内力图上不难找到可能的危险面有两个：截面4和截面。+。2.确定方的许用值截面4为弯拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件max6x4F/F 241F得F|=4.15X10-32=4.15X10-5M/2(a)截面。+为弯（有My,此）拉扭组合，可能的危险点为d和e（见图g,点/处的扭转切应力虽然与点d处同大，但其弯曲正应力只是点d处的一半，故可将它排除在外。对于点d,正应力和切应力依次为11_6x2Fl F _101F0d=-+=121 二a a a_ T _ 2FI _皿 F d ahb2 0.20&Z3 a2由第三强度理论的强度条件43=田+记=勺12+496.22=227与0司L a a得F4A 1x10-3 司 2=441x10-5 司/2(b)对于点e,切应力为零，由弯拉组合的强度条件6x2Fl 6xFl F.F r皿=+=181 a a a a得F5.52X10-3 7 4Z2=5.52x10-5 司 L(c)比较式(a),(b)和(c),最后确定尸的许用值为用=4.15x105 片10-20 图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的反向载荷厂作用。已知圆环 轴线的半径为尺截面的直径为火材料的许用应力为试根据第三强度理论确定载荷厂 的许用值。题10-20图解：1.分析内力本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图10-20o12由图可得图 10-20|A/(0)|=F7?sin0,|T(0)|=F7?(lcos0)2.求相当应力根据第三强度理论，截面。危险点处的相当应力为,71/2(0)+72(0)FRyI sin27+(1-cos)2 F7?j2 2cos0%3=-而-=-而-=而3.求凡3的最大值由四二0 d(p得极值位置为(a)9=180进一步分析可知，该极值位置使3取得极大值，即截面力为危险截面，危险点处的相当应力为=2FR=64FR0r3,max r万/13W nd(c)4.确定方的许用值 将式代入强度条件r3,max 1得载荷方的许用值为F=7id3a_d3a d3a 647?一 20.47?20R10-21图示结构，由轴与梁s组成，并在截面。承受集中载荷厂作用。已知载荷厂=1 kN,弹性模量E=210 GPa,切变模量G=0.4瓦 试:(1)根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力；(2)计算截面。的转角与挠度。13F题10-21图解：1.计算相当应力此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。将载荷尸向轴48的轴线简化，得力尸和矩为此的力偶，示如图10-21a。图 10-21根据叠加原理，可将方和 队 分开考虑。仅考虑分时，利用对称性，可在截面。处解除 多余内约束，得相当系统如图 b 所示（图中只画了左边一半）。由变形协调条件（勺。2%=0,-2=0EI 2EI得入.FQ据此，并利用对称性，可画出图（见图c。14仅考虑e时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于此的一半，即入/Me FaMAX=MBX=据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画7图如图d所示。由图C与d容易判断，民4。_和C+四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值（均指绝 对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为VM2+T2 32F4ZV12+22 8xlxlO3 X0.300XV5NW471d37ix0.0403m2=2.67x107 Pa=26.7 MPa2.计算转角和挠度截面。的转角由轴45的扭转变形和梁CD的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得Fa9。=c+9。(尸)H G/pFa25Fa2 1 Fa22EI 44 2EI=1X103X0.3002-210 xl095x32124x7ix0.0404+2x0.020 x0.0603)rad=2.73xlO-3 rad截面。的挠度由轴45的弯曲变形、扭转变形和梁CD的弯曲变形三部分提供，由叠加法 可得_ Fa3 5Fa3 Fa3WQ-+cpa+r)(I ID c D(F)24EJ 4风 3EIIxlOOJOO3 210 xl09645x3212-T-T-T24x71x0.04()4 4x71x0.04()4 3x0.020 x0.0603)m=8.0 x10-4 m=0.80mm10-22 图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体4和B组成。设在该刚体上作用 一对方向相反、其矩均为M的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条 件。杆的长度/、直径d、材料的弹性模量、切变模量G以及许用应力b均为已知，且1=20/G=0AEoA题10-22图解：1.内力分析此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图10-22a所示。15图 10-22静力学方面(见图a)Z%=。，2T+4。-g0 几何方面(见图a和b)由于刚体5只能绕结构水平中轴线相对于刚体/作刚性转动，故有变形协调条件%二。4=o(一)Z 八 1(/物理方面9二2二.二且G/p(0.4)(2/)EIA二地MJz 3EI 2EIy EI 2EI将式(d)(f)代入式(b)和(c),得补充方程2My=0 及8FSzl-12My=3T(b)(d)(e)(f)(g)(h)联解方程(g),(h)和(a),得=-,T=一M,M、,二一Ms 23/23 卜 462.画内力图16上杆的内力图示如图8-22ce。下杆的7图与上杆一样，而7图及图与上杆仅差符号，最大内力值（绝对值）与上 杆相同，故可省画其内力图。3.建立强度条件由于/=20d,属于细长杆，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三 强度理论，杆的强度条件为%3片+/%/需）*争4手W17第十一章压杆稳定问题11-1 图示两端较支刚杆一蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，。代表使蝶形弹 簧产生单位转角所需之力偶矩。题11-1图解：系统的临界状态(微偏斜状态)如图11-1所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为2。,由右段刚杆的力矩平衡方程。（2夕）-尸）=0图 11-111-2 图示刚杆一弹簧系统，图中的。，与。2均为弹簧常数，试求系统的临界载荷。一(b)一题11-2图(a)解：设系统微偏转如图ll-2a(l)所示，较链。的铅垂位移用法示，于是得杆5C(连带 钱链。的受力如图H-2a(2)所示，由平衡方程Z%,=0,1-F3=o得系统的临界载荷为1(b)解：设系统微偏转如图ll-2b(l)所示，钱链/与5的铅垂位移分别用在与不表示，于 是得杆45的受力如图11-2b所示，杆的平衡方程为%=。，(?2 2-Ci=0(a)由式(b)得F=L(C)河+2由式(a)得2=也。2代入式(C),于是得系统的临界载荷为11-3 图示结构，为刚性杆，5C为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为/。在刚性杆 顶端承受铅垂载荷尸作用，试求其临界值。2解：结构的临界状态示如图11-3。使梁B端截面产生转角eB的力矩应为,/3EI 口而Me=F-M由此得口 3EIF=-al即口 3EI 卜=-cr al11-4 图示刚性杆AB,下端与圆截面钢轴BC相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持稳定平衡，试确定轴5C的直径乩 已知尸=42 kN,切变模量G=79 GPa。3F F题11-4图解：刚性杆45在微偏斜（设偏斜角为0,见图H-4 状态下处于平衡，此时加给轴 的扭力矩为MB=Fa(p而0=2 G/p注意到7=以，于是得G/p尸二/al即cr al 32a I由此得(题中给出厂=42kN)d 二,32 叫=4 132x0.500 x0.300 x42xl()3-V 71G 79x109巾a(P4图 11-4m=0.030m=30 mm411-6 图示细长压杆，弯曲刚度/为常数，试按11-2所述方法确定杆的临界载荷。题11-6图解：设自由端的挠度为5则M(x)=F(6-w)挠曲轴近似微分方程为EIwf,+Fw=FS 或w+kw=kS 式中，左 2=(a)EI上述微分方程的通解为w=CcosAx+Z)sinAx+(b)位移边界条件为 当户0时，“0；当x=0时，M=0；当x=/时，由式(b)与上述边界条件，得D=0C=-3 coskl=0 由上式得kl=-5=0,12)(c)将式代入式(a),得心=1(=2)由上式并取片1,即得压杆的临界载荷为Fcr=-rr4111-7 试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度/为常数。1 nr ir i题11-7图解:相当长度为5eq临界载荷为(b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图11-7b中的虚线所示。韭图 11-7b半个正弦波的长度为q,即由此得临界载荷为11-8 图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为/,且均为细长杆。试问当载荷 厂为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷厂的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷厂 又为何值？题11-8图解：1.当方向外时竖向杆CD受压，其余四根杆受拉。设杆CD编号为5,则有FN5=F由此得TIZEI MEI(V2/)2-2/22.当方向内时此时杆5受拉，其余各杆(编号1,2,3,4)受压。且6N1=&2=网3=稣4=正由此得11-9 图a所示细长压杆，弯曲刚度/为常数，试证明压杆的临界载荷满足下述方程:sin 左/(sinH-2 左/co skl)=O式中，庐=自/(7)。题11-9图解：在临界载荷作用下，压杆可在图b所示微弯状态保持平衡。设横截面C的挠度为5则由平衡方程求得支座/与B的支反力为 FbFAy=FBy=-杆段43与BC的弯矩方程分别为FS 拉(修)=一(工2)=/3叫)相应的挠曲轴近似微分方程分别为“FSEW+厂”=-XETw；+FW2=F6上述微分方程的通解分别为%=4 sin 如+Bx co s-i H一xx(a)w2=A2 sinAx2+2 COSAX2+8(b)式中，除参数左外，积分常数小，A2,BT，屏与端点挠度她均为未知。压杆的位移边界条件与连续条件为：在工1=0处，叱=0(1)在它=0处，叱=3(2)在 X=/处，*=0(3)7在、1=%2=/处，/=叫(4)在 Xr=X2=1 处，=-用2(5)由式(a),(b)与条件,(2)可知，-B2=0由式(a),(b)与条件(3),(4),(5),得4sinH+5=04 sin kl-A2 sinkl=0 4 左 cosH+A2kcoskl+7=0 可见，Ai，出与游在非零解的条件为sin A;/0 1sinkl-sinkl 0=0 k co ski kcoskl Ml由此得sinH(sinH-2k/cos 左/)=0上述方程有两组可能的解，即：sinH=0 sink/2 k/cosH=0 由上述二方程的最小非零正根，分别得_712 EI“下1359EI*2/2显然，压杆的临界载荷为 1.35957卜 卜-cr cr,2,211-10 图示两端较支细长压杆，弯曲刚度/为常数，压杆中点用弹簧常量为。的 弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：.kl.kl klL 4k2El kl 八2 2 21 cl)2式中，k=F/(EI)o8 2 k-2 题1弯状态如图11-10月 2屹 勿1-10 图不示。/2/，*一 1r 59展开上列行列式，并注意到歹二石/好，得kl 1 1(sin-)4+0+()702 4F c%r，立柱处于微弯状态，FR=FC截面B的挠度由梁变形确定，即5遇 F/二384%4皿二 5x2.60 x1()4x4.001 62013x4.0(384X200X109X2.500X10-5 48X200X109 X2.500X10-5=7.97xl(T4m=o.797mm11-15 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长/=300 mm,截面宽度b=20 mm,高度=12 mm,弹性模量=70 GPa,4=50,=0,中柔度杆的临界应力公式为5 r=3 82MPa-(2.18MPa)2试计算它们的临界载荷，并进行比较。(a)解:题11-15图/=0.020 x0.0123m4=2.88x10-9 m4mn 12 12i=-=m=3.464xl03m V12 V12:以2x0.3003.464x10一 3=173.24此杆为大柔度杆，其临界载荷为F fEI cr-(217712x70 x1()9x2.88x109(2x0.300)2N=5.53xl03N=5.53kN(b)解:131x0.300一i-3.464义10一3=86.62p此杆为大柔度杆，其临界载荷为口 TI2EI 4r=-71 712x70 x1()9x2.88x1090.3002N=2.21xlO4N=22.1kN(c)解:/0.5x0.3004=-丁=43.3i 3.464x10-A)AAp,为中柔度杆。7cr=(382-2.182)MPa=(382-2.18x43.3)MPa=287.6MPa于是得r=7cr=287.6xl06x(0.020 x0.012)N=6.90 xl04N=69.0kN11-18 图示压杆，横截面为的矩形，试从稳定性方面考虑，乃为何值最佳。当压杆在犷2平面内失稳时，可取长度因数勺=0.7。解：由,hb3 T bM,12 z 12A=bh从稳定性方面考虑，的最佳值应使匕=4即史=应 0.7ZV12=/V12i、,t b h14由此得h b=1.4290.711-19 试检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量厂=120 kN,丝杠内径d=52 mm,丝杠总长/=600 mm,衬套高度=100 mm,稳定安全因数 st=4,丝杠用Q235钢制成，中柔度杆的临界应力公式为 g=235MPa-(0.006 69 MPa)22(2123)题11-19图解：该千斤顶丝杠的l1=l-h=(0.600-0.100)m=0.500m 4=让=&*0.0522m2=2.124x10-3 m?4 4入=处T 71d 41=-640.052m=0.013m2x0.500 0.013=76.9037x 105N=l03.7kN4方比尺大15.7%,该千斤顶丝杠稳定性不够。11-20 图示桁架，承受变向载荷厂作用，方位角e的变化范围为0690。已知 杆1与杆2的直径分别为di=20 mm与d?=30 mm,二杆材料相同，屈服应力as=240 MPa,比例极限bp=196 MPa,弹性模量=200 GPa,强度安全因数%=2.0,稳定安全因数的=2.5,试求载荷厂的许用值。15解：1.轴力分析设杆1与杆2的轴力均为拉力，则由节点B的平衡方程，得心1=g(cos9+Vising)(a)FNZ=_/sin9Vco(b)由式(a)，并令cLFde=O,得小i的极值为八 15min=1经分析，在oe9o范围内，入2无极值。由式(a)与(b)求得，当族0。时，当族90。时，Nl=一十根据上述分析，得(C(风2。)(N2,t)2.许用载荷计算杆1的柔度为_必_4必_Ai 一;一Z d、而F（压力）FN2=*F7,FN2T）max=/（。）max=y=e max 2 1，4X1X1-OOO=2OO0.020164=兀由于4,故杆1的临界载荷为片=2=兀2*2001()9 兀X0.02C/50 x04N=5.50kNe I；l.OOO2 64由式(c)得载荷厂的相应许用值为尸=雇=包处=6.20 kN为 2.5杆2的柔度为-二姐;4x1x1.732=231/2 z2 d2 0.030 临界载荷为 712EI2 7L2x200 xl09 71X0.03(/。F2C=-(N)=2.62X104N25cr ll 1.7322 64由式(d)得载荷厂的相应许用值为也上包心=20.9kN%2.5杆2的许用轴力为FN2=Kx0.03tf(240 xl0)(N)=848xl()4N4 4 4x2由式(e)得载荷厂的相应许用值为F3=272=2x8.48xl04N=169.6kN于是得结构的许用载荷为尸=尸i=6.20kN11-21 横截面如图所示之立柱，由四根80mmX80mmX6mm的角钢所组成，柱长/=6m。立柱两端为钱支，承受轴向压力尸=450kN作用。立柱用Q235钢制成，许用压应力 cr=l60MPa,试确定横截面的边宽或17题11-21图解：1.查角钢的有关数据由书中附录尸表1查得（参看图n-2i）（双对称截面）图 11-214=9.3 97cm2=9.397x10 4m2/1=57.35cm4=5.735xl0-7m4 尢=2.19cm=0.0219m2.计算惯性矩及横截面面积/z=4/i+4 以为)2=4*5.73510-7+(9.397乂10-4以0.0219)21114=9.397xl0-42-8.232xl0-5a+4.097xl0-6m4(a)/=4x9.397x10-4 m2=3.759xl0-3m23.计算折减系数450 x103o F(p-=-=-ri A(J 3.759X1 O-3xl 60X1 06=0.7484.查2值根据。值及所给材料，由0-2图查至44=79。5.确定边宽。依据柔度算式2=4/177,可得收=3.759x10 3（1x6*4-,如。相，A2 792注意到式 b 与式相等，由此得(9.397xl(TV8 232x107+4.097x106)=2.168x10-518化简后成为a1-8.76X1026Z-1.871X102=08.76*1。一2(8.76*10-2)2+4x1.871x1。-2 m=0.08760.2873m舍去增根，得a=0.1874m=187.4mm。11-23 图示压柱，由两根槽钢焊接而成，在其中点横截面。处，开有一直径为d=60 mm的圆孔，立柱用低碳钢Q275制成，许用压应力b=180 MPa,轴向压力厂=400 kN。试选择槽钢型号。6 mJC题11-23图解：1.第一次试算设取=0.5,得公扁=O.SxXlXa)=4444X10 3m2单根槽钢的横截面面积为4=2.222xl0-3m2。从书中附录F型钢表中查得NE6槽钢横截面的有 关数据为=25.162cm2=2.5162xl0-3m2,/z=935cm4=9.35xl0-6m4Iy=83.4cm4=8.34xl(T7m/j=65mm=6.5xl0-2mz0=1.75cm=1.75x10-2m由此可得立柱横截面的有关几何量为/=2x2.5162xl0-3 m2=5.032x103 m2 4=2x9.35x10-6 m4=1.87xl0-5m41丫=2 义8.34x 10-7+2.5162xl0-3x(6.5-1.75)2xl 0-4 m4=1.3 02x 10-5 m4 400 x103N 0.661x(180 xl06Pa)=3.36x10-3 m2单根槽钢的横截面面积为/=