随机有限元法分析混凝土中氯离子随机扩散规律.pdf

2 0 1 2 年 第 6期 (总 第 2 7 2 期 ) Nu mb e r 6 i n 2 0 1 2 ( T o t a l No 2 7 2 ) 混 凝 土 Co n c r e t e 理论研究 T HEORE TI CAL RES EARCH d o i ： 1 0 3 9 6 9 j i s s n 1 0 0 2 3 5 5 0 2 0 1 2 0 6 0 1 3 随机有限元法分析混凝土中氯离子随机扩散规律 杨绿峰 1 2 ，洪斌 ，胡春燕 ，李冉 ，陈正 ，高钦 ( 1 广西大学 土木建筑工程学院 工程防灾与结构安全教育部重点实验室，广西 南宁 5 3 0 0 0 4 2 广西壮族 自治区住房和城 乡建设厅 ，广西 南宁 5 3 0 0 2 8 ) 摘要： 氯离子随机扩散分析是海洋混凝土结构 靠性和服役寿命的基础。 利用局部平均法 ， 将混凝土的氯离子扩散系数随机场离散为一 组 随机变 量 ， 利用 T a y l o r 级数将 氯离子分布矩阵 、 扩散矩阵和节点浓度 向量进行摄 动展开 ， 建 立了氯离子扩散分析 的随机有限元法递归 方程， 据此分析氯离子随机浓度的均值和变异系数， 并研究了氯离子在混凝土中随机扩散的规律。 通过算例比较分析， 表明了所建立的摄 动随机有限元方法具有较高的计算精度， 而且计算结果对随机场的相关结构不敏感 验证了氯离子扩散系数的变异性对氯离子扩散过程 具有显著影响 。 关键词 ： 混凝土 ；氯离子扩散 ；随机场 ；随机有 限元法 中图分 类号： T U5 2 8 0 1 文献标志码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 2 3 5 5 0 ( 2 0 1 2 ) 0 6 0 0 3 7 0 3 St oc ha s t i c f i ni t e elemen t me t h od f or c hl or i de di f f u si on i n c onc r et e Y A N GL u f e n g 1 ,2 H O N GB i n ， H UC h u n - y a n 1 ， L I R a n ， C H E NZ h e n ， G A OO in ( 1 Ke y L a b o r a t o r yo f Di s a s t e r P r e v e n t i o n a n d S t r u c t u r a l S a f e t yo f C h i n aMi n i s t r yo f E d u c a t i o n ， S c h o o l o f Ci v i l E n g i n e e ri n g a n d Ar c h i t e c t u r e ， Gua n g x i Un i v e r s i ty， Na n n i n g 5 3 0 0 0 4， Ch i n a；2 De pa r t me nt o f Ho u s i n g a n d Ur b a n Ru r a l De v e l o p me n t ， Gu a n g x i Z h u a n g Au t o n o mo u s R e g i o n ， N ann i n g 5 3 0 0 2 8 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： I n v e s t i g a t i o n o f r a n d o m d i f f u s i o n o f c h l o r i d e i o n i n c o n c r e t e i s o f s i g n i fi c a n c e f o r r e l i a b i l i ty ana l y s i s an d s e r v i c e l i f e p r e d i c t i o n o f ma r i n e e n g i n e e rin g s t r u c t u r e s Th e r an d o m fi e l d wa s d i s c r e d i t e d i n t o a s e t o f r an d o m v a r i a b l e s b y me an s o f t he l o c a l s pa t i a l a v e r a g e me t h o dTh e c h l o rid e d i s t r i b u t i o n and d i ffus i o n ma t r i c e s and t he c o n c e n t r a t i o n v e c t o r a r e e x p and e d e mp l o y i n g the p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e S O tha t t h e r e c u r s i v e e q u a t i o n s o f s t o c h a s t i c fin i t e e l e me nt me t h od wc r c d e v e l o pe d for c h l o r i de i o n d i flu s i o n a n d a c c u mu l a t i o n i n c o n c r e t e 1 h e me an an d t h e t o e 衢 c i e n t o fv a fii o n ( C0V)o f t h e c h l o rid e c o n t e n t a r e d e fin e dAn e x a mpl e i S c o n s i d e r e d for d i flu s i o n o f c h l o r i d e i o n i n c o nc r e t e wi t h r ando m c o e ffic i e n t s u s ing the p r e s e n t e d me t ho d i n t h i s pa p e r Th e r e s ul t s r e n d e r e d b y t h e p r o p o s e d me tho d we r e c o mp a r e d wi t h t h o s e b y t h e M o n t e Carl o s i mu l a t i o n， wh i c h d e m o ns t r a t e s t h a t t h e p r o po s e d m e t h o d i S e f f e c t i v e a c c u r a t e a n d i n s e n s i t i v e t O t h e c o r r e l a t i o n s t r u c t ur e o f t h e r a n d o m fi e l d I t i s a l s o c o n c l u d e d t h a t the COV o f 恤e d i fl us i o n c o e f fic i e n t a f f e c t s s i g n i fic a n t l y t h e d i f il l s i o n p r o c e s s o f c h l o r i d e i o n i n c o nc r e t e Ke yw o r ds ： c o n c r e t e ； c h l o r i ded i f f u s i o n； r a n d o m fie l d； s t o c h a s t i cfi ni t e e l e me n t me t h o d 0 引 言 2 1 世纪最主要的工程结构形式之一为钢筋混凝土结构， 暴 露于富含氯离子环境下的钢筋混凝土结构， 常常会因为氯离子 通过毛细管作用、 渗透作用、 扩散作用、 电化学迁移作用【 1 _ ， 发生 严重的混凝土剥落以及钢筋锈蚀等现象， 从而导致结构的使用 性能和耐久性受到极大的影响。 通常用 F i c k第二扩散定律来描 述氯离子在混凝土中的扩散过程。 尽管试验和解析理论是研究 混凝土中氯离子扩散的重要手段， 但数值方法因为具有很强的 适应性而受到了学术界的广泛重视。 A b a b n e h t 2 运用有限差分法 研究了氯离子渗透问题。 Ha n 基于修正的扩散系数运用有限元 法分析阻滞氯离子扩散的途径。 杨绿峰等人提出了混凝土中氯 离子扩散场的补偿长度理论， 并据此建立了混凝土中氯离子扩 散的边界元法网 以及有限元法嘲 等数值分析方法。 由于混凝土自身材料性能和环境条件的随机变异性， 氯离 子在混凝土中扩散和积聚过程必然是一个随机过程， 因而模拟 随机扩散过程显得尤为重要。 随机分析可分为两类： 一类是抽样 分析方法， 通过随机抽样技术获得结构随机参数的样本序列 ， 然 后通过结构分析的确定性有限元方法获得与每一组样本相应 的结构响应量序列， 最后直接利用统计方法( 如 Mo n t e C a r l o 法) 或通过多项式拟合的方法( 如响应面法) 获得响应量的概率分 布和统计特征； 另一类以随机有限元法为代表， 属随机数值方 法， 通过级数展开的方法将随机刚度方程转化为确定性方程 ， 求 得到结构响应量的统计参数的表达式， 从而避免了第一类方法 中所需的样本试验和统计分析。 由于摄动随机有限元法( P e r t u r b a t i o n S t o c h a s t i c F i n i t e E l e m e n t Me t h o d ， 简记为 s F E M) 对随机场的信息要求低， 通常只需一至 二阶统计量即可得到足够精度的解， 所以在随机数值分析中得 收稿 日期：2 0 1 I 一 1 2 _ 0 1 基金项 目：国家 自然科学基金 ( 5 1 1 6 8 0 0 3 ) ； 广西科技计划主席基金项 目( 2 0 1 0 GxN S F D1 6 9 0 0 8 ) ； 广西 自然科学 基金项 目( 2 0 1 1 GXNS F B 0 l 8 0 1 3 ) ； 广 西研究 生教育创新计划资助项 目( GX U1 1 T 3 1 0 8 2， T 3 1 0 5 9 ) 37 到广泛应用。 2 0 世纪 7 0年代初， C o l l i n s t6 1 、 S h i n o z u k a t7 1 ：J J U 独立地 运用摄动技术研究了随机系统的特征值问题， Ha n d a t 8 、 H i s a d a t g 对摄动随机有限元法进行了系统研究 ， 发展了摄动随机有限元 格式。 本研究推导了混凝土中氯离子扩散和集聚分析的摄动随 机有限元法， 建立了相应的数值模型， 并利用蒙特卡罗法( Mo n t e C a r l o S i mu l a t i o n ， 简记为 MC S ) 验证 S F E M结果的正确性。 结合 算例分析， 表明本研究建立的 S F E M 在氯离子扩散问题中具有 较高的计算效率和计算精度。 1 混凝土的氯 离子扩散随机 系统及随机场 离散 氯离子在混凝土中的扩散问题可以通过 F i c k第二定律： 堕 ( 1 ) m a 式中： c 氯离子浓度( 即氯离子占混凝土质量的百分比， 下同) ； 混凝士结构暴露于氯离子环境中的时间， 年； 距离混凝土表面的深度， m m； D氯离子的扩散系数， mm2 年； c 。 氯离子的初始浓度， ； e混凝土表面的氯离子浓度， 。 、 及其边界条件 c ( o ， ) = c 。 、 C ( L ， ) = c 。 和初始条件 C ( x ， O ) = c 。 来描述 。 当考虑氯离子扩散系数 D的随机性时， 式( 1 ) 定义了一个 混凝土中氯离子随机扩散系统， 是随机偏微分方程。 为了能准确 反映扩散系数在空间上的随机变异性 ， 通常将 D模型化为随机 场 ， 这里假定其为广义平稳且均匀的随机场 D ( x ， 0 ) ， 其中， 表 示随机场坐标 ； 0代表随机特性。 随机场 D( x ， 0 ) 的均值和标准 离散差分别为D和1 7 。 ， 相关长度为l 。 。 将随机场 D沿坐标 离散为个随机场单元， 在每个单元 上随机场 D都可以按照局部平均方法定义为一个随机变量： 1 ， 厶 X ( ) = _1 1 D ( x ， ) d r( 1 ， 2 ， ， N ) ( 2 ) L ” 式中： 厶随机场单元 i 的长度。 根据式( 2 ) 可将随机场 9 ( x ， ) 离散成为一组随机变量 ： ， X ， ， ( 3 ) 根据式( 2 ) 容易证明， 对于广义平稳且均匀的随机场 D( x ， 0 ) ， 离散随机变量 置的均值、 方差和协方差分别为： 】 J ( ( 4 ) ( 蔷 (_ l ) 式中： ( ) 随机场的方差折减函数。 反映了局部平均特性的方差相对于点特性方差的衰减程 度 ， 对于均匀随机场， 有： ( L o ) ： 1 L -) d r - 一 ) d r( 5 ) T in ( m = 0 ， l ， 2 ， 3 ) 表示两个离散单元 i 和j 之间的位置关系， 如图 1 所示 。 图 1 长度分别为 厶和 厶的两个局部平均单元之间的位置关 系 38 随机场的相关结构在不同的激励条件下可能发生改变。 根 据随机场的相关函数 ( r ) 可以求得不同相关结构随机场的方 差折减函数 y dL 。 ) 。 特殊地， 当L o = 0 时， y ( L 。 ) = 1 ； 当 。 一 时 ， y ( L 。 ) 一0 。 为了便于处理， 通常将非零均值随机变量置用零均值随机 变量 表示如下： 。 ( 6 ) 所以有 ： C o v ( D i ,C o y D J ( 7 ) l ) = E 】 2 氯离子扩散的摄动随机有限元法 根据常规有限元法， 在忽略氯离子扩散系统中各参数的随 机性基础上， 可得系统确定性分析的有限元方程嘲 ： 嗍 C + 】 C = 0 ( 8 ) 式中： c 卜 氯离子的节点浓度向量； 卜一 氯离子节点浓度向量对时间的一阶导数； 【 氯离子分布矩阵； 豳氯离子扩散矩阵。 且有 ： 嗍 = j TI，v ( 9 ) 】 ： I 】7 I D 】 ( 1 0 ) 式中： 【 D 系数矩阵， 由扩散系数形成； 川形函数矩阵； 【 明形函数的一阶导数矩阵。 且有 ： D 0 1 【 o D J 】 = I N ( 1 1 ) 在式( 8 ) 中引人扩散系数 D的随机性， 则 D 】 、 K 】 、 C ) 都是 随机矩阵， 可以根据泰勒级数展开： D = 】 + O ti o tla iD ( 1 2 ) D = 】 + () = 】 + 啦 】 f 卜 啦 a jK ( 1 3 ) c = + O i c q c ( 1 4 ) 式中： 】 、 】 、 一C 、 z ) 、 网 、 c 、 D 、 】 、 】 分别表示 D 】 、 】 、 c 的均值及其对随机变量的一阶导数、 对随机变量 x 、 的二阶混合偏导数在随机场均值处之值， 且有： c= L n 】d n 】 J B l e D B d O ( 1 5 ) L B d O 将式( 1 3 ) 、 ( 1 4 ) 代入式( 8 ) ， 并舍去高于二阶的级数展开 项， 整理可得氯离子随机扩散分析的摄动随机有限元法( 简记 为 S F E M) 的递归方程： + 】 = 0 ( 1 6 ) c 卜 c 卜 c = 0 ( 1 7 ) M C + 【 K 】 C + P ) n = 0 ( 1 8 ) 其 中： c = C iS a 嘲 ( 1 9 ) Z i =1 1 P ) = 2 l c 厂 卜 K 】 C E E a ( 2 0 ) Z i =I J ； 1 进而在忽略随机场高阶矩的基础上， 可以得到氯离子浓度 的均值和方差分别为： 研 C = C C u ( 2 1 ) c = c c 啊 【 a t ( 2 2 ) i = I J 1 3 算例分析 算例： 制作 鼹土 血c 1 牛， 尺寸为 1 5 0 m mx l 5 0 mmx l 5 0 r n l T l ， 养护 2 8 d后将五个面用环氧树脂封闭， 只留下一个 1 5 0 mm 1 5 0 r n l n的面暴露于海水中， 考虑混凝土中氯离子扩散系数的随 机性， 其相关长度为 1 0 mn l ， 均值D = 2 9 1 7 6 m m2 年， 试件中氯离 子初始浓度 C o = O ， 试件表面氯离子浓度为 C s = 0 7 5 0 ( 氯离子 占 混凝土质量百分比) 。 利用摄动随机有限元法( S F E M) 计算暴露 时间分别为 1 0年 、 3 0年 、 5 0年时试件 内部的氯离子分布浓度 均值和变异系数， 并将计算结果和蒙特卡罗法( MC S ) 相 比较， 如图 2 、 3所示 ， 其中单元长度取 1 0 m m， 时间步长为 0 1 年。 可 以看出， 氯离子扩散分析的 S F E M 与 MC S计算结果吻合很好， 由此验证了本研究所建立方法的精度和有效性。 芝 趔 霸 键 8 1 0 71 0 O l 4 7 10 l 3 1 6 l9 22 25 28 31 34 37 40 43 46 扩散 度 ， l 0mm 图 2氯离子浓度均值 扩散 度 1 0mm 图 3氯离子浓度变异 系数 从图 2可以看出， 随着扩散时间的增加 ， 混凝土中氯离子 浓度增大； 随着扩散深度增加， 氯离子分布浓度迅速减小。 由图3 可知， 随着扩散时间的增加， 氯离子浓度提高 ， 变异系数减小 ； 扩散深度加大， 氯离子浓度降低， 变异性增大。 当氯离子扩散系数取不同的变异系数时， 本方法得到的氯 离子分布浓度的均值及其变异系数如图 4 、 5所示。 可以看出， 堡 趔 霜 越 褪 期 i 8 1 O 7 1 O 1 1 0 一 l 4 7 l 0 l 3 l 6 I 9 22 25 28 31 34 3，4U 43 46 扩 散度 1 0 mm 图 5 随机场变异 系数与氯离子浓度变异 系数 随机场变异系数的改变对氯离子浓度的均值影响不是很大 ； 但 是当随机场变异系数增大时， 氯离子浓度的变异系数随着增大。 当氯离子扩散系数随机场取不同的相关结构： 三角型、 指 数型、 二阶 A R型以及高斯型相关结构时 ， 利用本方法计算氯 离子浓度的均值和标准差， 如图 6 、 7所示 ， 从中可以看出， 不同 随机场相关结构下， 氯离子浓度均值和变异系数基本保持不变， 因此 S F E M计算结果对随机场的相关结构不敏感。 芝 灯 褪 扩散 度 ， 1 0 m i ll 图 6随机场相关结构与氯离子浓度均值 l 4 7 l 0 1 3 l 6 l 9 2 2 2 5 2 8 3 l 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 扩散 度 1 0 m m 图 7随机场相关结构 时的氯离子浓度变异系数 4结 论 针对混凝土中氯离子随机扩散问题 ， 本研究利用局部平均 下转 第 4 2页 3 9 O O O O 0 O 0 X 4 2 0 0 O 0 0 l 1 l 8 6 4 2 籁幅 球 0 0 0 O 0 O O 7 6 5 4 3 2 1 辍帐球 C S和 C A矿物成分改变， 粉煤灰高性能混凝土随粉煤灰掺量增 加， 其抗侵蚀性有所提高。 粉煤灰高性能混凝土接近高抗硫水泥 标准， 从实际侵蚀试验结果也可以看出这一点。 1 和2 试件主要 发生弯曲、 胀裂破坏。 分析原因是硫酸盐侵蚀的主要产物是结晶 膨胀值较大的针状钙矾石所致。 在相同配合比条件下 ， 质量变化 在腐蚀早期的质量变化率很接近， 质量变化仍然为正值。 随着侵 蚀龄期的增加 ， 可见 ， 粉煤灰高性能混凝土抗侵蚀性能均优于 普通水泥混凝土， 新拌混凝土受到的腐蚀比标准养护后的混凝 土更严重， 从实际侵蚀试验结果也可以看出这一点 ， 这与耐蚀 系数得出的结论基本上相吻合。 通过表 2发现整个侵蚀龄期内， 其质量在试验初期不断增 长， 在试验后期开始缓慢下降， 但试验后期 的质量仍然大于试 验初期， 即质量在整个侵蚀龄期内是增长的， 混凝土在试验后 期的质量均大于试验初期的质量， 而淡水养护后的混凝土在试 验后期的质量均小于试验初期的质量。 粉煤灰高性能混凝土加 入高掺量的粉煤灰， 改变混凝土的微观结构 ， 提高混凝土的抗 侵蚀性能。 在混凝土侵蚀试验研究中， 混凝土因侵蚀发生的宏观 物理力学性质变化， 宏观方法和微观方法都是不可缺少的。 这是 由于水泥石化学组成和微观结构变化， 在本试验侵蚀龄期内， 宏 观的物理力学性质变化是侵蚀的表现形式和结果一般的混凝 土灌注桩并不具有具有较好的抗硫酸盐腐蚀性， 而水泥石微观 结构变化是宏观发生变化的动力， 能够满足硫酸盐强腐蚀环境 下的使用要求。 4结 论 ( 1 ) 掺量粉煤灰高性能混凝土 ， 其可以抵抗硫酸盐和浓度 镁盐的双重强侵蚀 ， 完全能满足混凝土抗侵蚀要求。 掺粉煤灰 高性能混凝土胶凝材料中矿物成分 C S和 c 含量降低， 增加 抗侵蚀性有所提高。 ( 2 ) 在相同配合比条件下， 质量变化在腐蚀早期的质量变 化率很接近， 随着侵蚀龄期的增加 ， 粉煤灰高性能混凝土抗侵 上接 第 3 9页 方法将混凝土的氯离子扩散系数随机场离散为一组随机变量 ， 利用摄动技术建立了氯离子扩散分析的摄动随机有限元法， 分 析了氯离子浓度分布的均值和变异系数。 算例分析表明： 本研究所建立的氯离子随饥扩散分析的S F E M 具有较高的计算精度， 且计算结果对随机场的相关结构不敏感。 当随机场变异系数增加时，尽管对氯离子浓度均值影响不大 ， 但氯离子浓度的变异系数随之增大。 参考文献 ： 【 1 C HA T T E R S O n t h e a p p l i c a b i l i t y o f F i c k s s e c o n d l a w t o C h l o r i d e i o n m i g r a t i o n t h r o u g h P o r t l a n d c e me n t c o n c r e t e J C e me n t a n d C o n c r e t e R e s e a r c h ， 1 9 9 5 ， 2 5 ( 2 ) ： 2 9 9 3 0 3 【 2 1 A B A B N E H A， B E N B O UD J EMA F ， X I Y C h l o ri d e p e n e t r a t i o n i n n o n s - a t u r a t e d c o n c r e t e J J o u r n a l o f Ma t e ri a l s i n C i v i l E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 3 ( 1 5 ) ： 1 8 3 1 91 ， 3 HA N S H I n f l u e n c e o f d i f f u s i o n c o e f fi c i e n t o n c h l o ri d e i o n p e n e t r a t i o n o f c o n c r e t e s t r u c t u r e J C o n s t r u c t i o n a n d B u i l d i n g Ma t e ri a l s ， 2 0 0 7 ( 2 1 ) ： 3 7 0 3 78 4 】 杨绿峰， 陈正， 王焱 ， 等 混凝土中氯离子二维扩散分析的边界元法们 硅酸盐学报， 2 0 0 9 ， 3 7 ( 7 ) ： 1 1 1 0 1 1 1 7 42 蚀性能均优于普通水泥混凝土， 这与耐蚀系数得出的结论基本 上相吻合。 参考文献 ： 【 1 】C AS T R O P， VE L E VA L ， B A L A N C A N M C o r r o s i o n o f r e i Mo me d c o n c r e t e i n a t r o p i c a l ma ri n e e n v i r o n me n t a n d i n a c c e l e r a t e d t e s t s J C o n - s t r u e t i o n a n d B u i l d i n gMa t e ri a l s ， 1 9 9 7， 1 1 ( 2 ) ： 7 5 8 1 【 2 12 ME H T A P KC o n c r e t e d u r a b i l i t y - fi ft y y e a r S p r o g r e s s C Ma l h o t r a ， V M P r o c e e d i n g s o f 2 n d I n t e r n a t i o n a l Co n f e r e n c e o n Co n c r e t e Du r a b i l i t y De t r o i t ： AC1 S P1 2 6 1 1 9 91 ： l - 3l _ 【 3 】汪林， 于福亮， 汪珊西北地区盐渍土及其开发利用中存在问题的对 策【 J 1 水利学报， 2 0 0 1 ( 6 ) ： 9 0 9 4 4 】A me ri c a n S o c i e t y f o r T e s t i n g a n d Ma t e ri a l s S t a n d a r d t e s t m e t h o d f o r p o t e n t i al e x p a n s i o n o f p o r t l a n d-c e me n t mo r t a r s e x p o s e d t o s u l f a t e ( As T MC 4 5 2 0 2 ) s 】 U S A 2 0 0 2 5 Am e ri c a n S o c i e t y for T e s t i n g a n d Ma t e ri als S t a n d a r d T e s t Me t h o d for L e n g t h Ch a n g e 【 6 ME H T A P K， MON T E I RO P J M C o n c ret e ： m i c rus t r u c t u r e ， p r o p e rt i e s a n d ma t e ri als ， 3 a e d i t i o n M N e w Y o r k ： Mc G r a w H i l 1 ， 2 0 0 6 【 7 】S AN T HA N A M M， C OH E N M D， O L E O J S u lf a t e a t t a c k r e s e arc h - w h i t h - e r n o w J C e me n t a n d C o n c r e t e R e s e arc h ， 2 0 0 1 ， 3 1 ( 6 ) ： 8 4 5 - 8 5 1 【 8 1 N E V I I 上 E A n 1 e c o nfu s e d w o r l d o f s u l f a t e a t t a c k o n c o n c r e t e J C e me n t a n d C o n c r e t e R e s e arc h ， 2 0 0 4， 3 4 ( 8 ) ： 1 2 7 5 1 2 9 6 【 9 A S T M C1 0 1 2 -0 4， A me ri c a n S o c i e t y f o r T e s t i n g a n d Ma t e ri a l s S t a n d ard t e s t me t h o d f o r l e n g t h c h a n g e o f h y d r a ul i c -c e me n t mo rta m e x - p o s e d t o a s u l f a t e s o l u t i o n S U S A 2 0 0 4 作者简介： 联 系地址 联 系电话 ： 储王应( 1 9 6 6 一 ) ， 男， 高级工程师。 浙江嘉兴市禾兴南路 1 2 0 8 号 信息产业部电子综合勘察 研究院华东分院( 3 1 4 0 3 3 ) 1 3 6 0 6 8 3 3 5 2 9 【 5 李冉， 杨绿峰， 陈正 混凝土中氯离子扩散的二维有限元法数值模 拟 J 混凝土， 2 0 0 8 ( 1 ) ： 3 6 3 9 【 6 】C 0 L L I N S J D， T HO MP S O N W T T h e e i g e n v a l u e p r o b l e m for s t ruc t u r a l s y s t e ms w i t h u n c e rt Mn p a r a m e t e r s J A I A A， J ， 1 9 6 9 ， 7 ( 4 ) ： 6 4 2 - 6 4 8 【 7 S H I N O Z U K A M， A S T I L L J R a n d o m e i g e n v a l u e p r o b l e ms i n s t r u c t u r al me c h ani c s J A I A A， J ， 1 9 7 2 ， 1 0 ( 4 ) ： 4 5 6 - - 4 6 2 【 8 】HA N DA K， A N D E R S O N K A p p l i c a t i o n o f fi n i t e e l e m e n t me t h ods i n s t a t i s t i c a l ana l y s i s o f s t r u c t u r e s J P roc 3 r d I n t C o nf o n S t r u c t S a f e t y a n d Re l i a b i l i t y， T r o n d h e i m， No r wa y， 1 98 1： 4 0 9 41 7 9 9 H I S A D A T， N A K AG I RI S R o l e o f t h e s t o c h a s t i c fi n i t e e l e m e n t m e t h o d i n s t r u c t u r a l s afe t y a n d r e l i abi l i t y J P r o c 4 t h I n t C o n f o n S t r u c L S a f e t y a n d Re l i a b i l i t y Ko b e， 1 98 5： 21 3 - 21 9 【 1 0 K N A B E W， P R Z E WO C K I J ， ROZ YS K I G S p a t i a l a v e r a g e s for l i n e a r e l e me n t s f o r t w o - p a r a me t e r r a n d o m fi e l d J P r o b abi l i s t i c E n gi n e e ri n g Me c h a n i c s 1 9 9 8 1 3 ( 3 ) ： 1 4 7 1 6 7 作者简介 联系地址 联系电话 杨绿峰( 1 9 6 6 - ) ， 男， 工学博士， 教授， 博士生导师， 总工程师。 广西南宁市大学东路 1 0 0号 广西大学土木建筑工程学 1 3 2 信箱 ( 5 3 0 0 0 4 ) 1 3 6 6 7 8 8 2 7 2 2