惯性矩、静矩-形心坐标公式.doc

§I−1 截面得静矩与形心位置
dA

C

Zz

y

y

yC

Zc

O

图I−1

Z

如图I−1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分
(I−1)
分别定义为该截面对于z轴与y轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。由静力学中确定物体重心得公式可得

利用公式(I−1),上式可写成
(I−2)
或
(I−3)
(I−4)
如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。即:
(I−5)
式中Ai、yci与zci分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n为简单图形得个数。
将式(I−5)代入式(I−4),得到组合图形形心坐标得计算公式为
(I−6)
yC

0.12m

0.4m

yⅡ

yⅠⅠ

0.6m

0.2m

O

y

z

Ⅰ

Ⅱ

CⅠⅠ

CⅡ

C

例题I−1图

例题I−1 图a所示为对称T型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy,其中y为截面得对称轴。因图形相对于y轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此zC=0,只需计算yC值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则
AⅠ=0.072m2,AⅡ=0.08m2
yⅠ=0.46m,yⅡ=0.2m

§I−2 惯性矩、惯性积与极惯性矩
dA

ρ

y

y

O

图I−2

z

z

如图I−2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积dA,dA得形心在坐标系zOy中得坐标为y与z,到坐标原点得距离为ρ。现定义y2dA与z2dA为微面积dA对z轴与y轴得惯性矩,ρ2dA为微面积dA对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分
(I−7)
分别定义为该截面对于z轴与y轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I−2)可见,,所以有
(I−8)
即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积dA与它到两轴距离得乘积zydA称为微面积dA对y、z轴得惯性积,而积分
(I−9)
定义为该截面对于y、z轴得惯性积。
从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴得惯性矩与惯性积一般就是不同得。惯性矩得数值恒为正值,而惯性积则可能为正,可能为负,也可能等于零。惯性矩与惯性积得常用单位就是m4或mm4。
§I−3 惯性矩、惯性积得平行移轴与转轴公式
z

dA

C

z1

y1

y1

a

b

O

图I−3

z1

y

z

y

一、惯性矩、惯性积得平行移轴公式
图I−3所示为一任意截面,z、y为通过截面形心得一对正交轴,z1、y1为与z、y平行得坐标轴,截面形心C在坐标系z1O y1中得坐标为(b,a),已知截面对z、y轴惯性矩与惯性积为Iz、Iy、Iyz,下面求截面对z1、y1轴惯性矩与惯性积Iz1、Iy1、Iy1z1。
(I−10)
同理可得
(I−11)
式(I−10)、(I−11)称为惯性矩得平行移轴公式。
下面求截面对y1、z1轴得惯性积。根据定义

由于z、y轴就是截面得形心轴,所以Sz=Sy=0,即
(I−12)
式(I−12)称为惯性积得平行移轴公式。
二、惯性矩、惯性积得转轴公式
图(I−4)所示为一任意截面,z、y为过任一点O得一对正交轴,截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy与惯性积Iyz已知。现将z、y轴绕O点旋转α角(以逆时针方向为正)得到另一对正交轴z1、y1轴,下面求截面对z1、y1轴惯性矩与惯性积、、。
y1

y

z1

z

α

α

α

dA

z1

z

y

y1

O

图I−4

(I−13)
同理可得
(I−14)
(I−15)
式(I−13)、(I−14)称为惯性矩得转轴公式,式(I−15)称为惯性积得转轴公式。
§I−4 形心主轴与形心主惯性矩
一、主惯性轴、主惯性矩
由式(I−15)可以发现,当α=0o,即两坐标轴互相重合时,;当α=90o时,,因此必定有这样得一对坐标轴,使截面对它得惯性积为零。通常把这样得一对坐标轴称为截面得主惯性轴,简称主轴,截面对主轴得惯性矩叫做主惯性矩。
假设将z、y轴绕O点旋转α0角得到主轴z0、y0,由主轴得定义

从而得
(I−16)
上式就就是确定主轴得公式,式中负号放在分子上,为得就是与下面两式相符。这样确定得α0角就使得等于。
由式(I−16)及三角公式可得

将此二式代入到式(I−13)、(I−14)便可得到截面对主轴z0、y0得主惯性矩
(I−17)
二、形心主轴、形心主惯性矩
通过截面上得任何一点均可找到一对主轴。通过截面形心得主轴叫做形心主轴,截面对形心主轴得惯性矩叫做形心主惯性矩。
例题I−5 求例I−1中截面得形心主惯性矩。
解:在例题I−1中已求出形心位置为
,
过形心得主轴z0、y0如图所示,z0轴到两个矩形形心得距离分别为
,
截面对z0轴得惯性矩为两个矩形对z0轴得惯性矩之与,即

截面对y0轴惯性矩为