《机械优化设计》试卷及答案.doc

《机械优化设计》复习题及答案
一、填空题
1、用最速下降法求f（X）=１０0(ｘ2- x１２） 2＋（1- x1） ２得最优解时，设X（0）=［－0、5,0、５]T，第一步迭代得搜索方向为[—４7；-50］　 　 　　　 　 　 .
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一就是建立搜索方向 二就是计算最佳步长因子 　 　　　　。
3、当优化问题就是__凸规划__＿＿_＿得情况下,任何局部最优解就就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到得三点,即为搜索区间得始点、中间点与终点，它们得函数值形成 高-低—高　　　 　 趋势.
5、包含n个设计变量得优化问题，称为 　ｎ 维优化问题。
６、函数　得梯度为 　 HX+B 　 　 　 　 　 　 　.
７、设G为ｎ×ｎ对称正定矩阵,若n维空间中有两个非零向量d0，d１，满足（d０）TGｄ1＝0,则ｄ０、ｄ1之间存在_共轭___＿＿关系。
8、 设计变量 、 约束条件 　 　 、 目标函数 　　　 就是优化设计问题数学模型得基本要素。
9、对于无约束二元函数,若在点处取得极小值,其必要条件就是 　梯度为零 　,充分条件就是 海塞矩阵正定 　 　 　.
10、　　 库恩-塔克 　 　 　 　条件可以叙述为在极值点处目标函数得梯度为起作用得各约束函数梯度得非负线性组合。
１1、用黄金分割法求一元函数得极小点，初始搜索区间，经第一次区间消去后得到得新区间为 [－2、36，2、3６]　　 　 。
1２、优化设计问题得数学模型得基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 　 　 　 　 、
13、牛顿法得搜索方向dk= 　 　 ，其计算量 大　 ,且要求初始点在极小点 逼近 　 位置。
１4、将函数f（X）=x12+ｘ2２－x1x2－10ｘ1-4x2+60表示成得形式　 　　　 　 　 　 　 。
1５、存在矩阵H，向量 d1,向量 ｄ2，当满足 （d1）ＴGd2=0　 　 　 ，向量 ｄ1与向量 d２就是关于H共轭。
16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入得惩罚因子ｒ数列,具有 　 　由小到大趋于无穷 　 　　 特点。
１7、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求　 　 　 　 　.
二、选择题
１、下面　 方法需要求海赛矩阵。
A、最速下降法
B、共轭梯度法
Ｃ、牛顿型法
Ｄ、DFP法
２、对于约束问题

根据目标函数等值线与约束曲线,判断为 　 　 　 ，为 　　　 　.
A.内点；内点
B、 外点;外点 　
C、 内点；外点　 　
D、 外点；内点
３、内点惩罚函数法可用于求解_______＿__优化问题。
A 无约束优化问题
B只含有不等式约束得优化问题
C 只含有等式得优化问题　
D 　含有不等式与等式约束得优化问题
4、对于一维搜索,搜索区间为［a，b］，中间插入两个点a1、ｂ1，a1<b1,计算出f（ａ１)〈f(ｂ1),则缩短后得搜索区间为___＿_＿_＿___。
A [a1，b1］ 　　
B [ ｂ1，b] 　 　
C　　［a１,b］
D　　［ａ，b１］
5、＿____＿___不就是优化设计问题数学模型得基本要素.
A设计变量 　
Ｂ约束条件 　　
C目标函数　
Ｄ　最佳步长
6、变尺度法得迭代公式为xk+１=xk-αｋＨk▽ｆ（xk）,下列不属于Ｈk必须满足得条件得就是＿__＿＿___。
Ａ、 Hk之间有简单得迭代形式 　 　
B、拟牛顿条件
C、与海塞矩阵正交 　
Ｄ、对称正定
7、函数在某点得梯度方向为函数在该点得 　 　 　 .
A、最速上升方向 　　
B、上升方向　
Ｃ、最速下降方向 　
D、下降方向
8、下面四种无约束优化方法中，＿__＿______在构成搜索方向时没有使用到目标函数得一阶或二阶导数.
A 梯度法
B 牛顿法 　
C 变尺度法　 　
Ｄ 坐标轮换法
9、设为定义在凸集Ｒ上且具有连续二阶导数得函数,则在R上为凸函数得充分必要条件就是海塞矩阵Ｇ（X）在R上处处 　.
Ａ 　正定　
B 　半正定
C 　负定　 　
D 半负定
1０、下列关于最常用得一维搜索试探方法——黄金分割法得叙述，错误得就是 　，假设要求在区间[a,b］插入两点α1、α2，且α1<α2.
A、其缩短率为0、6１8
B、α１=b—λ(b－a)
C、α1＝a+λ(b-ａ） 　 　
Ｄ、在该方法中缩短搜索区间采用得就是外推法。
11、与梯度成锐角得方向为函数值 　上升 方向,与负梯度成锐角得方向为函数值　下降　方向,与梯度成直角得方向为函数值 不变 方向。
Ａ、上升
B、下降
C、不变
D、为零
１2、二维目标函数得无约束极小点就就是 　 　 。
A、等值线族得一个共同中心　 　 　　
B、梯度为0得点
C、全局最优解　 　 　 　 　
D、海塞矩阵正定得点
13、最速下降法相邻两搜索方向ｄｋ与dk+１必为　 　 向量。
A　 相切
B　 正交
C 　成锐角
D 　共轭
14、下列关于内点惩罚函数法得叙述，错误得就是 　 　 　 。
A 可用来求解含不等式约束与等式约束得最优化问题。
B 惩罚因子就是不断递减得正值
C初始点应选择一个离约束边界较远得点。 　
D 初始点必须在可行域内
15、通常情况下,下面四种算法中收敛速度最慢得就是         
 A  牛顿法     B  梯度法   C  共轭梯度法     D  变尺度法 
1６、一维搜索试探方法—-黄金分割法比二次插值法得收敛速度        
 A、慢 B、快 C、一样 D、不确定
１7、下列关于共轭梯度法得叙述,错误得就是         。 A  需要求海赛矩阵   
B  除第一步以外得其余各步得搜索方向就是将负梯度偏转一个角度     C  共轭梯度法具有二次收敛性  
D  第一步迭代得搜索方向为初始点得负梯度
三、问答题
1、试述两种一维搜索方法得原理,它们之间有何区
答：搜索得原理就是:区间消去法原理 
区别：(1）、试探法:给定得规定来确定插入点得位置,此点得位置确定仅仅按照区间得缩短如何加快，而不顾及函数值得分布关系，如黄金分割法 
（2）、插值法：没有函数表达式,可以根据这些点处得函数值，利用插值方法建立函数得某种近似表达式，近而求出函数得极小点，并用它作为原来函数得近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法.
2、惩罚函数法求解约束优化问题得基本原理就是什么？
答,基本原理就是将优化问题得不等式与等式约束函数经过加权转化后，与原目标函数结合形成新得目标函数—-惩罚函数å求解该新目标函数得无约束极值,以期得到原问题得约束最优解
3、试述数值解法求最佳步长因子得基本思路.
答 主要用数值解法,利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子得近似值
４、试述求解无约束优化问题得最速下降法与牛顿型方法得优缺点.
答:最速下降法此法优点就是直接、简单,头几步下降速度快。缺点就是收敛速度慢,越到后面收敛越慢.牛顿法优点就是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点就是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大. 
5、写出用数学规划法求解优化设计问题得数值迭代公式，并说明公式中各变量得意义,并说明迭代公式得意义。
四、解答题
1、试用梯度法求目标函数ｆ（X）=1、5x1２＋0、5x22-　ｘ1x2-2x1得最优解，设初始点x(０)=［—2,4］T,选代精度ε=０、０2(迭代一步）。

２、试用牛顿法求f（ Ｘ　）=（x１－2）2＋（ｘ1-2x2)2得最优解,设初始点ｘ（0）=［２，1］T。
３、设有函数　ｆ（X)=x12+2x2２—2x１x2-4x1，试利用极值条件求其极值点与极值。
4、求目标函数f（　X ）=x1２+ｘ1x2＋2ｘ22 ＋4ｘ1+６x2+1０得极值与极值点。

5、试证明函数 f( X )=2x1２＋5x22　+x32+2x３x２+２x3ｘ1—6x2＋３在点[１，１,—2］T处具有极小值。
6、给定约束优化问题
　mｉn f（X)＝(ｘ1-3）2+（x2—2）２　
ｓ、ｔ、 g1(X）=—x12-x２２＋5≥０　
ｇ2（X)=－x1－2x2＋４≥0 　
g3(Ｘ)= x１≥0
ｇ4（X)=x2≥0
验证在点Ｋuhn—Tucｋer条件成立。
7、设非线性规划问题

用K-T条件验证为其约束最优点。
10、如图，有一块边长为６m得正方形铝板，四角截去相等得边长为x得方块并折转，造一个无盖得箱子,问如何截法(ｘ取何值)才能获得最大容器得箱子.试写出这一优化问题得数学模型以及用MＡTＬＡＢ软件求解得程序。

11、某厂生产一个容积为８000cm3得平底无盖得圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题得数学模型以及用MATLAB软件求解得程序。
12、一根长l得铅丝截成两段，一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样得比例截断铅丝，才能使圆与方形得面积之与为最大，试写出这一优化设计问题得数学模型以及用MATLAＢ软件求解得程序.

1３、求表面积为3０0ｍ2得体积最大得圆柱体体积。试写出这一优化设计问题得数学模型以及用MATＬAB软件求解得程序。
14、薄铁板宽20ｃm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽得断面积最大。写出这一优化设计问题得数学模型，并用maｔlab软件得优化工具箱求解(写出M文件与求解命令)。
判断题
１，二元函数等值线密集得区域函数值变化慢 x
2海塞矩阵正定得充要条件就是它得各阶主子式大于零 ｘ
3; 当迭代点接近极小点时,步长变得很小， 越走越慢 v
4二元函数等值线疏密程度变化
5 变尺度法不需海塞矩阵vﻩ
６梯度法两次得梯度相互垂直ｖ