高中文科数学-不等式.pdf

第五讲、不等式第五讲、不等式十三、不等式 （一）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。（二）一元二次不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。3.会解一元二次不等式。（三）二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（四）基本不等式：(,0)2abab a b 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。不等式的概念与性质不等式的概念与性质 1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0baba0baba0baba2不等式的性质：（1），（反对称性）abbaabba（2），（传递性）cacbba,cacbba,（3），故（移项法则）cbcababcacba推论：（同向不等式相加）dbcadcba,（4），bcaccba0,bcaccba0,推论 1：bdacdcba0,0推论 2：推论 3：nnbaba0nnbaba0算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数1常用的基本不等式和重要的不等式（1）当且仅当0,0,2aaRa”不“,0a（2）（3），则abbaRba2,22不Rba,abba2（4）222)2(2baba2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头最值定理:设xyyxyx2,0.,不（1）如积PyxPxy2(不不不不不不不不不不（2）如积22(不不不不不不不不不不不不SxySyx即:积定和最小，和定积最大头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 均值不等式:两个正数的均值不等式：abba2三个正数的均值不等是：33abccban 个正数的均值不等式：nnnaaanaaaLL21214头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间ba、的关系是 2211222babaabba不等式的证明不等式的证明不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：BABA0作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（2）综合法：由因导果头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（3）分析法：执果索因头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（4）反证法：正难则反头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；aa12nnn)1(将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log22)1()1(nnnn利用常用结论：、；kkkkk21111、；（程度大）kkkkk111)1(112111)1(112kkkkk、；（程度小）)1111(21)1)(1(111122kkkkkk（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头如：已知，可设；222ayxsin,cosayax已知，可设()；122 yxsin,cosryrx10 r已知，可设；12222byaxsin,cosbyax已知，可设；12222byaxtan,secbyax（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；解不等式解不等式 1解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式 (2)解一元二次不等式 (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性(1)f(x)g(x)0 f(x)0 g(x)0 f(x)0 g(x)0 与或同解(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0 与或同解(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)与或同解(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)与或同解(5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x)与f(x)g(x)或 f(x)g(x)(其中 g(x)0)；g(x)0 同解(7)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02与或同解(8)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)02与同解(9)当 a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解，当 0a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解(10)a1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0aa当 时，与同解当 时，与同解0a1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0aa4头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法 步骤：形式：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头不不不不不不不不不不不不不 0)()(xQxP首项系数符号0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头判断或比较根的大小头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头绝对值不等式绝对值不等式 1解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头|a|b|a+b|a|+|b|;|a|b|ab|a|+|b|;并指出等号条件头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头3(1)头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x)头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（无论 g(x)是否为正）头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）bababa左边在时取得等号，右边在时取得等号头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头)0(0 ab)0(0 ab一不等式的性质一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；2左右同正不等式：同左右同正不等式：同向的不等式可以相乘向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除异向不等式可以相除，但不能相乘；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方；4若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。（1 1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab不，则0,0ab。其中正确的命题是_（2 2）已知 11xy ，13xy，则3xy的取值范围是_（3 3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是_二不等式大小比较的常用方法二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。（1 1）设0,10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小（2 2）设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（3 3）比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小三利用重要不等式求函数最值三利用重要不等式求函数最值时，注意：“一正二定三相等，和定积最大，一正二定三相等，和定积最大，积定和最小积定和最小”（1 1）下列命题中正确的是 A、1yxx的最小值是 2 B、2232xyx的最小值是 2C、42 3(0)yxxx的最大值是24 3 D、42 3(0)yxxx的最小值是24 3（2 2）若21xy，则24xy的最小值是_（3 3）正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为_4.4.常用不等式常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。例例、如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_五证明不等式的方法五证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).（1 1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；(2)(2)已知Rcba,，求证：)(222222cbaabcaccbba；（3 3）已知,a b x yR，且11,xyab，求证：xyxayb；(4)(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：lglglglglglg222abbccaabc；（5 5）已知Rcba,，求证：2222a bb c22()c aabc abc；(6)(6)若*nN，求证：2(1)1(1)nn 21nn；(7)(7)已知|ab，求证：|abababab；（8 8）求证：2221111223nL。六简单的一元高次不等式的解法六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。（1 1）解不等式2(1)(2)0 xx。（2 2）不等式2(2)230 xxx的解集是_（3 3）设函数()f x、()g x的定义域都是 R，且()0f x 的解集为|12xx，()0g x 的解集为，则不等式()()0f x g x g的解集为_（4 4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是_.七分式不等式的解法七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。（1 1）解不等式25123xxx（2 2）关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为_八绝对值不等式的解法八绝对值不等式的解法：1分段讨论法（最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集）：如如解不等式|21|2|432|xx（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如如解不等式|1|3xx（4）两边平方：如如若不等式|32|2|xxa对xR恒成立，则实数a的取值范围为_。九含参不等式的解法九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注注意意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.（1 1）若2log13a，则a的取值范围是_（2 2）解不等式2()1axx aRax提醒：（提醒：（1 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2 2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。关于x的不等式0bax 的解集为)1,(，则不等式02baxx的解集为_十一含绝对值不等式的性质十一含绝对值不等式的性质：ab、同号或有同号或有0|abab|abab；ab、异号或有异号或有0|abab|abab.设2()13f xxx，实数a满足|1xa，求证：|()()|2(|1)f xf aa十二不等式的恒成立十二不等式的恒成立,能成立能成立,恰成立等问题恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).1).恒成立问题恒成立问题若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB（1 1）设实数,x y满足22(1)1xy，当0 xyc时，c的取值范围是_（2 2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_（3 3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围_（4 4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（5 5）若不等式22210 xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.2).2).能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_3).3).恰成立问题恰成立问题若不等式 Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Axf的解集为D；若不等式 Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Bxf的解集为D.