东海高级中学高三实验班数学期末模拟试题一.doc

东海高级中学高三实验班数学期末模拟试题一

班级：高三（ ）班 姓名： 得分：
东海高级中学高三实验班数学期末模拟试题一
（命题人：唐春兵）
必答题部分（共160分，时间120分钟）
一、填空题（每小题5分，共70分，请将正确答案填到答题纸中的指定的空白处）
1、若复数为纯虚数，则 ▲ .
2、p：“”和q：“”，则是q的 ▲ 条件.
3、设直线的倾斜角为，若，则角的取值范围是___▲__.
4、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 ▲ .

5、我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 ▲ .（填变大或变小或不变） 不变
6、设O是△ABC内部一点，且的面积之比为 ▲ .
7、若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为 ▲ .
8、为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了89名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，根据独立性假设检验的方法， ▲ 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）

晕机
不晕机
合计
男性
23
32
55
女性
9
25
34
合计
32
57
89
9、在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_____▲_____．
10、设是等差数列的前项和，若以点为顶点的四边形(其中)中，则之间的等量关系式经化简后为___▲___.
11、在平面直角坐标系中已知△的顶点和，顶点B在双曲线的左支上，则= ▲ .
12、已知O为坐标原点, 集合
且 ▲ .
13、已知是以2为周期的偶函数，当时，，且在内，关于 的方程有四个根，则得取值范围是 ▲ .
14、已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法
（1）
（2）时，有最小值，无最大值
（3）恒成立
（4）,, 则的取值范围为（-
其中正确的是 ▲ （把你认为所有正确的命题的序号都填上）.
二、解答题（请将正确且必要的解题过程规范地书写到答题纸的指定位置处）

15（ 14分）在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（I）若，求A、B、C的大小；
（II）已知向量的取值范围.

16（15分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
C1
D1
A
B
D
E
F
A1
B1
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

C

17（14分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元.
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船. 问哪种方案最合算？

18（15分）已知⊙由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足
（1）求实数a,b间满足的等量关系； （2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。

19（16分）设函数，已知 ，且（a∈R，且a≠0），函数（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。
（1）试求a、b的值；（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。

20(16分) 已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前n项和。
（1）求函数的表达式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的整数I的个数称为这个数列的变号数。令（n为正整数），求数列的变号数.

高三实验班数学期末模拟试题一答题纸

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案填在题中横线上
1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程
15、

16、

17.

18.

19、

20、
附加题部分（共40分，时间30分钟）
1（10分）、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.
(1) 求油罐被引爆的概率.
(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望

2（10分）、已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点，
（1）求实数a的值； （2）求矩阵A的特征值及特征向量

3（10分）、⊙和⊙的极坐标方程分别为．
（1）把⊙和⊙的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过⊙和⊙交点的直线的直角坐标方程．

4（10分）、如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，， 为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.

答 案

文理必答题：
一、填空题
1、 2、必要不充分 3、 4、 5、不变 6、 7、 8、不能 9、 10、 11， 12、46 13、 14、（3）（4）.
二、解答题
15．解：由已知
…………………4分
（I）由已知
…………8分
（II）|3m－2n|2=9 m 2+4n2－12 m·n =13－12（sinAcos B +cosAsin B）
=13－12sin(A+B)=13－12sin（2 B +）.………………………11分
∵△ABC为锐角三角形，A－B=，∴C=π－A－B<，A=+B<.
…………2分
∴|3m－2n|2=∈（1，7）.∴|3m－2n|的取值范围是（1，）.…………………14分

16. （15分）证明：（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，则 …5分
（Ⅱ）

……10分
（Ⅲ） 且
，
∴ 即
=
=………………………………………………15分
17.解：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列。
设纯收入与年数的关系为f（n），则

（1）由f（n）＞0得
又∵n∈N*，∴n=3，4，……17。即从第3年开始获利. …………………………7分
（2）①年平均收入为
当且仅当n=7时，年平均获利最大，总收益为12×7+26=110（万元）
②f（n）=－2（n－10）2+102 ∵当n=10时，，总收益为102+8=110（万元）
但7＜10 ∴第一种方案更合算。………………………………14分
18，解：（1）连OP，
为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有

又由已知
即：
化简得实数a、b间满足的等量关系为：
………5分
（2）由，得b=－2a+3 。

故当，即线段PQ长的最小值为………………10分
（3）设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，

而
故当
得半径取最小值⊙P的方程为 …………………15分
19、（1），∴ ①
又，∴，即 ②
由①②得，.又时，①、②不成立，故.------2分
∴，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，，
∴x1+x2=，又∵ A、O、B三点共线， =，
∴=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0. ----------------7分
（2）时，，
由得，可知在上单调递增，在
上单调递减， .
①由得的值为1或2.（∵为正整数）
②时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，
则由得，依题意得，
得与矛盾.
（或构造函数在上恒正）
综上，所求的值为1或2. -----------------------16分

20，解（1）的解集有且只有一个元素，

当a=4时，函数上递减
故存在，使得不等式成立
当a=0时，函数上递增
故不存在，使得不等式成立
综上，得a=4，…………………………5分
（2）由（1）可知
当n=1时，
当时，
…………………………11分
（3）由题设，

递增，
即时，有且只有1个变号数；又
∴此处变号数有2个。
综上得数列的变号数为3。 ………………16分

理科附加题部分：
1、（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C
∴P(A)=1- 答：油罐被引爆的概率为
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，
P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C

ξ
2
3
4
5
P

故ξ的分布列为：

Eξ=2×+3×+4×+5×=.
2、解：（1）由 =，得
（2）由（1）知 ，则矩阵A的特征多项式为

令，得矩阵A的特征值为-1或3
当时 二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为
当时，二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为
3、解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1），，由得．
所以．
即为⊙的直角坐标方程．
同理为⊙的直角坐标方程．
（2）由解得．
即⊙，⊙交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
4、解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.