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专题三---反比例函数试题的解题思路

专题三 反比例函数试题的解题思路
一、方法简述
初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。
二、常用方法
1.求反比例函数解析式的方法：①求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；②利用几何图形的数量关系来确定；③利用实际问题中的数量关系来确定；
2.从反比例函数的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为；
3.反比例函数图象上的两个点（，）、（，），则。

三、典例分析
例1：如图，直线与双曲线相交于两点．
（1）当为何值时？ ；
（2）把直线平移，使平移后的直线与坐标轴
围成的三角形面积为2，求平移后得到的直线解析式.
解：（1）根据图象，当或时，
（2）∵ ∴
∴(1，-2)根据题意得：…解得：
直线与坐标轴的交点分别为（0，-1）、（-1，0)
方法一：
设把直线向上平移个单位长度，所得到的直线为
该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）
∵∥ ∴ ∴=
解得：， 所以平移后所得到的直线为或
方法二：
设把直线向右平移个单位长度，所得到的直线为
即
该直线与轴相交于，于轴相交于,则（0，）
∵∥ ∴
∴=
解得：，
所以平移后所得到的直线为或
评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量的取值范围，所以要先求出点的坐标，然后根据图象就可以直接写出自变量的取值范围；
第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离之间的关系。

例2：探索发现：如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）

图4
图3
图2
图1
O
D
C
B
A
x
y
y
x
C
O
B
A
y
x
O
C
B
A
D
C
B
A
h
a

应用求值：
（1）如图，、是直线上的两个动点，横坐标分别为、，，且，点（，）.求：的面积；
（2）如图，直线与双曲线（）相交于、两点，与轴相交于点，的面积为6，求：的值；
（3）如图，、是双曲线（）在第一象限上的两点，⊥轴于交于点，，，求：的值及的面积.
解：（1）过作∥轴交直线于如图：
当时，
（2），当时，
记点的横坐标为，点的横坐标为. ∵ ∴ ∴ 设点的横坐标为，则点的横坐标为
∴(，)，
∴ 解方程得：
∴(，)
（3）∵，, ∴
∴
∵
∴ ∴ ∴
∴(，) ∴
直线为， 设点（，），则，
或（不合题意舍去） 所以的水平宽为3.
评析：“探索发现----应用求值”与“阅读理解----创新应用”类似，解题时，要认真阅读“阅读理解”部分的内容，确实理解所用的知识、方法，并作为应用中的借鉴；把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中，、两点横坐标之差，就是水平宽，、（或、）两点纵坐标之差便为铅垂高。
四、强化训练
1.如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形（阴影部分）的面积是，与反比例函数的图形相交于点（,）和（，），
求的值.

y
x
O
A
B
C
E
D
2.如图，已知直线与轴交于点，与双曲线交于（，）、（，）两点.轴于点，∥轴且与轴交于点.
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）判断四边形的形状，并说明理由.

3.已知反比例函数 (为常数)的图象经过点(，）．
（1）求的值；
（2）如图，过点作直线与函数的图象交于点，与x轴交于点，
且，求点的坐标．

4.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的．两点，与轴交于点，点的坐标为（,)，点的坐标为（，），。（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在轴上有一点（点除外），使得与的面积相等，求出点的坐标．

5.如图，在矩形中，、两边分别在轴、轴的正半轴上，，，过边上的点，沿着翻折，点恰好落在边上的点处，反比例函数在第一象限上的图象经过点与相交于点.
（1）求证：四边形是正方形；
（2）点是否为正方形的中心？请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，(，)、（，），四边形是矩形，、分别是、边上的点，沿着折叠矩形，点恰好落在轴上的点处，点落在点处．
（1）求、两点的坐标；
（2）反比例函数在第一象限内的图象经过点，判断点是否在这个反比例函数的图象上？并说明理由；
（3）点是（2）中反比例函数的图象与原矩形的边的交点，点在平面直角坐标系中，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。

7.探索发现：如图1，过的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫做的“水平宽（）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高（）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）

应用求值：
（1）如图2，在直角坐标系中，(，)、（，）,点在第一象限，轴于点，交于点，，.求：
（2）①如图3，、是反比例函数的图象在第一象限上的两点，过作轴于，交于，，连接，，点的横作标为，求点的坐标及的值.
②如图3，、是①中反比例函数图象上两个动点，、的横作标分别为、（），，求：的值.

8.如图，等边△和等边△的一边都在轴上，双曲线经过边的中点和的中点，已知等边△的边长为．
(1)求该双曲线所表示的函数解析式；
(2)求等边△的边长．

9.如图，点是反比例函数在第一象限的图象上一个动点，过点作∥轴交反比例函数的图象于点（），分别过点、作轴的垂线，垂足为、，连接交反比例函数的图象于点.
（1）求：矩形的面积（用含的代数式表示）；
（2）若点恰好是矩形的中心.
①求：的值
②若，其它的条件不变，判断的形状，并说明理由.

10.如图，将—矩形放在直角坐际系中，为坐标原点．点在轴正半轴上．点是边上的—个动点(不与点、重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点。
（1）若、的而积分别为．且，求的值：
（2）若．．问当点运动到什么位置时．
四边形的面积最大．其最大值为多少?

专题三、反比例函数
1.解：直线与轴交点为（0，），与轴交点为（-1,0）
∴ ∴一次函数为： ∴、 又∵
所以
2．解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,
得. ∴点B的坐标是（-5，-4）.
设直线AB的解析式为，将 A（3，）、B（-5，-4）代入得，
， 解得：.∴直线AB的解析式为：.
（2）四边形CBED是菱形.理由如下:
点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.
∵ BE∥轴， ∴点E的坐标是（0,-4）.
而CD =5， BE=5， 且BE∥CD.
∴四边形CBED是平行四边形.
在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，
∴ ED＝＝5，∴ED＝CD.∴□CBED是菱形.

3.解：（1），
（2）分别过、作轴的垂线，垂足为、.
则∽，
∵ ∴
在中，当时，
∴ ∴
∴(-4,0)
4.解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，﹣2），∴BD=2，
在Rt△OBD在，tan∠BOC=，即=，解得OD=5，
又∵B点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2），
将B（﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10，
∴反比例函数解析式为y=，
将A（2，m）代入y=中，得m=5，∴A（2，5），
将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，
得，解得，
则一次函数解析式为y=x+3；
（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，
∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（﹣6，0）．
5.解：（1）∵四边形是矩形
∴、
∵是由沿着翻折得到的
∴，
∴四边形是正方形
（2）点是正方形的中心
理由：过作轴于，如图：
∵四边形是正方形 ∴，
∴(，) ∴
∵(，)、(，) ∴直线为
设（，），则，
解得：， （不合题意舍去）
∴（，），（，）
∵
∴，
∴
∴点是正方形的中心.
6. 解：（1）OA=16，OC=8，设OD=m，则CD=DA=16-m， 在Rt△COD中，∠COD=90
∵CD=OC+OD ∴(16-m) =8+m ，m=6 ∴D(6，0) ∵四边形OABC是矩形
∴OA∥CB，∴∠CED=∠EDA，又∵∠EDA=∠CDE，∴∠CED=∠CDE，∴CE=CD=10，
E(10，8)

（2）过B作BM⊥BC于M如图1. BC=AB=OC=8，
BE=BE=6，∠C BE=90，
BM=
CM= ， B（6.4，12.8）
k=10×8=80，y=，∵ 图1
∴点B不在这个反比例函数的图象上。
（3）当x=16时，y=5 F(16，5)，有三种情况如图2：
①把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5
个单位长度，端点E落在G处，G（20，13）；
②把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8
个单位长度，端点F落在G处，G（12，-3）；
③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3 图2
个单位长度，端点D落在G处，G（0，3）； 综上所述，在直角坐标系中存在：G（20，13）、G（12，-3）、G（0，3）使得以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形。

7. 解：（1）过A作AD⊥x轴于D.则AD=3，OD=2，DC=4

∵BF⊥x轴，AD⊥x轴 ∴AD∥EF
∴△CEF∽△CAD
∴ ∴ EF=1,
S==
(2) ①过B作BE⊥x轴于E。
设A（，）、B(6， 则CE=()，BE=
直线OB为： ∴D(a， )
∴=1…（Ⅰ）
∵AD=，
∴ ∴…（Ⅱ）
把（Ⅱ）代人（Ⅰ）解得 ∵ ∴
∴A(3，4)、B（6，2）
（3）过M作MA⊥x轴于A，过N作NB⊥x轴于B,连接
ON交MA于点C.
直线ON为： 当x=m时，y=
∴C() MC=- 又∵MC=
∴-= ∴
∴ ∵ ∴
8.解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC＝2，∠AOB＝60°，
∴OG＝1，CG＝，
∴点C的坐标是(1，)，
由＝，得：k＝，
∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝a．
∴点D的坐标为(4＋a，)，
∵点D是双曲线y＝上的点，
由xy＝，得(4＋a)＝，
即：a2＋4a－1＝0，
解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)，
∴AD＝2AH＝2－4，
∴等边△AEF的边长是2AD＝4－8．
9. 解：设A()，则B（）、C(0，)
（1）AB= AD=

（2）①过点F作FG⊥BC于G.
∵点F是矩形ABCD的中心
∴点F坐标为 （ ）
把点F（ ）代入得： 化简得： ∴
②△AEF是直角三角形
理由：由①得，∴A() ，在中，当y=时， AE=
∵∠ACB=30，∠ABC=90 ∴tan30= ∴ ∴
∴AB=AF= ∴
∵ ∴ 又∵∠EAF=∠CAD
∴△EAF∽△CAD ∴∠EFA=∠CDA =90 所以△AEF是直角三角形.
10. 解：（1）∵点E、F在函数的图象上，
∴设， ∴，
∵，∴，。
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设，
∴BE=，BF= ∴
∵，
∴
=
∴当时，，∴AE=2.
当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.