数学思维训练教材四年级上册.pdf

目目 录录第 1 讲 平均数问题 1第 2 讲 速算与巧算 3 第 3 讲 找规律 5 第 4 讲 变化规律 7 第 5 讲 算式谜（一）9第 6 讲 算式谜（二）12第 7 讲 应用题15第 8 讲 逻辑推理17第 9 讲 数数图形21第 10 讲 容斥原理24第 11 讲 简单的统筹规划问题27 第 12 讲 图形问题31第 13 讲 错中求解34第 14 讲 数学开放题36第 15 讲 数数与计数40终结性测试题一 44终结性测试题二 461第第 1 讲讲 平均数问题平均数问题专题简析：专题简析：我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量总数量总份数总份数=平均数平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。例例 1：二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，共植树 80 棵；第二组有 6 人，共植树 66 棵；第三组有 6 人，共植树 54 棵。平均每人植树多少棵？分析与解答：分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200 棵，总人数为：8+6+6=20 人，所以平均每人植树 20020=10 棵。随堂练习：随堂练习：电视机厂四月份前 10 天共生产电视机 3300 台，后 20 天共生产电视机 6300 台。这个月平均每天生产电视机多少台？例例 2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 153 厘米，一个同学身高 152 厘米，有两个同学身高 149 厘米，还有两个同学身高 147 厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在 150 厘米左右，可以假设平均身高为 150 厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”。（153215214921472）（2122）=150 厘米或：150（3221232）（2122）=150 厘米随堂练习：随堂练习：五（1）班有 7 个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了 99 分，还有三个同学得了 96 分，另外两个同学分别得了 97、89 分。这 7 个同学的平均成绩是多少？例例 3：从山顶到山脚的路长 36 千米，一辆汽车上山，需要 4 小时到达山顶，下山沿原路返回，只用 2 小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。分析与解答分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是 362=72 千米，往返的时间是 4+2=6 小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行 726=12 千米。随堂练习：随堂练习：小强家离学校有 1200 米，早上上学，他家到学校用了 15 分钟，从学校到家用了 102分钟。求小强往返的平均速度。例例 4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是 85 分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是 83 分。李华投掷得了多少他？分析与解答分析与解答：先求出五项的总得分：855=425 分，再算出四项的总分：834=332 分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425332=93分。随堂练习：随堂练习：小军参加了 3 次数学竞赛，平均分是 84 分。已知前两次平均分是 82 分，他第三次得了多少分？例例 5：如果四个人的平均年龄是 23 岁，四个人中没有小于 18 岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？分析与解答分析与解答：因为四个人的平均年龄是 23 岁，那么四个人的年龄和是 234=92岁；又知道四个人中没有小于 18 岁的，如果四个人中三个人的年龄都是 18 岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是 92183=38 岁。随堂练习：随堂练习：如果三个人的平均年龄是 22 岁，且没有小于 18 岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？拓展训练拓展训练1、小明参加数学考试，前两次的平均分是 85 分，后三次的总分是 270 分。求小明这五次考试的平均分数是多少。2、二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，平均每人植树 10 棵；第二组有 6人，平均每人植树 11 棵；第三组有 6 人，平均每人植树 9 棵。二（1）班平均每人植树多少棵？3、气象小组每天早上 8 点测得的一周气温如下：13、13、13、14、15、14、16。求一周的平均气温。4、敬老院有 8 个老人，他们的年龄分别是 78 岁、76 岁、77 岁、81 岁、78 岁、78岁、76 岁、80 岁。求这 8 个老人的平均年龄。5、李大伯上山采药，上山时他每分钟走 50 米，18 分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走 75 米。求李大伯上下山的平均速度。6、小亮上山时的速度是每小时走 2 千米，下山时的速度是每小时走 6 千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？7、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是 92 分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了 1 分。小丽的数学考了多少分？8、某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是 95 分，第二天他的补考成绩是 65 分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是 94 分。这个班有多少人？9、如果四个人的平均年龄是 28 岁，且没有大于 30 岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？10、如果四个人的平均年龄是 25 岁，四个人中没有小于 16 岁的，且这四个人的年3龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？第第 2 2 讲讲 速算与巧算速算与巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例例 1 1计算：300-73-27 1000-90-80-20-10解：解：式=300-（73 27）300-100=200式=1000-（90802010）1000-200800随堂练习：随堂练习：计算：500-124-56 210-48-522.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例例 2 2计算：4723-（723189）2356-159-256解：解：式=4723-723-1894000-189=3811式=2356-256-1592100-159=1941随堂练习：随堂练习：计算：368-124-168 721-59-2213.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。例例 3 3 计算：506-397 467997解：解：式=5006-400+3（把多减的 3 再加上）=109式=4671000-3（把多加的 3 再减去）1464随堂练习：随堂练习：计算：323-189 543198拓展训练拓展训练1、用简便方法求差。1870-280-520 4995-（995-480）4250-29494 1272-9952、用简便方法计算。4 890-198 365-296 28497 3421986、计算 1032+1028+1033+1029+1031+10307、计算 19998+39996+49995+699968、计算 12085692089、计算 283+6918310、计算 2318+6251318+37551265208430830125963第第 3 讲讲 找规律找规律专题简析：专题简析：对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；2、对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。3、对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。例例 1：根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。12 18 6 8 15 7 4 8分析与解答分析与解答：经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。随堂练习：随堂练习：找规律，在空格里填上适当的数。916781754129162151011962449121673530例例 2：根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？分析与解答分析与解答：经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：51210=6 42010=8根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：83010=24随堂练习：随堂练习：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么6310数。（1）例例 3：先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。123456799=1234567918=1234567954=1234567981=分析与解答分析与解答：题中每个算式的第一个因数都是 12345679，它是有趣的“缺 8 数”，与 9 相乘，结果是由九个 1 组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个 9，乘积中就包含几个 111111111。因为：123456799=111111111所以：1234567918=1234567992=222222222 1234567954=1234567996=666666666 1234567981=1234567999=999999999随堂练习：随堂练习：找规律，写得数。1+09=2+19=3+129=4+1239=9+123456789=例例 4：找规律计算。（1）8118=（81）9=79=63（2）7227=（72）9=59=45（3）6336=（）9=9=分析与解答分析与解答：经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘 9，所得的积就是这两个数的差。6336=（63）9=39=27随堂练习：随堂练习：利用规律计算。（1）5335 （2）8228 例例 5：计算（1）2611 （2）3811分析：一个两位数与 11 相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1）2611=2（2+6）6=286（2）3811=3（3+8）8=418注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。随堂练习：随堂练习：计算下面各题。（1）2711 （2）3211拓展训练拓展训练745911381312369164812151、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1）（2）2、找规律，写得数。（1）11=1111=111111=111111111111111111=（2）19+99=118+989=1117+9879=11116+98769=111115+987659=3、利用规律计算。（1）9229 （2）6116 （3）95594、找规律计算。（1）62+26=（6+2）11=811=88（2）87+78=（8+7）11=1511=165（3）54+45=（+）11=11=5、计算下面各题。（1）3911 （2）4611（3）9211 （4）981145978第第 4 讲讲 变化规律变化规律例例 1：两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？分析与解答：分析与解答：一个加数增加 9，假如另一个加数不变，和就增加 9；假如一个加数不变，另一个加数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接着又减少 9，所以不发生变化。随堂练习：随堂练习：1，两个数相加，一个数减 8，另一个数加 8，和是否变化？2，两个数相加，一个数加 3，另一个数也加 3，和起什么变化？例例 2：两个数相加，如果一个加数增加 10，要使和增加 6，那么另一个加数应有什么变化？分析与解答：分析与解答：一个加数增加 10，假如另一个加数不变，和就增加 10。现在要使和增加 6，那么另一个加数应减少 106=4。随堂练习：随堂练习：两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和增加 15，另一个加数应有什么变化？例例 3：两数相减，如果被减数增加 8，减数也增加 8，差是否起变化？分析与解答：分析与解答：被减数增加 8，假如减数不变，差就增加 8；假如被减数不变，减数增加 8，差就减少 8。两个数的差先增加 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。随堂练习：随堂练习：两数相减，被减数减少 6，减数也减少 6，差是否起变化？例例 4：两数相乘，如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数缩小 2 倍，积将有什么变化？分析与解答：分析与解答：如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大 8 倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小 2 倍，积将缩小 2 倍。积先扩大 8 倍又缩小 2 倍，因此，积扩大了82=4 倍。随堂练习：随堂练习：两数相乘，如果一个因数缩小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和是否起变化？例例 5：两数相除，如果被除数扩大 4 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？分析与解答：分析与解答：如果被除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除数缩小 2 倍，商就扩大 2 倍。商先扩大 4 倍，接着又扩大 2 倍，商将扩大 42=8 倍。随堂练习：随堂练习：9两数相除，被除数扩大 30 倍，除数缩小 5 倍，商将怎样变化？拓展训练拓展训练1、两个数相加，一个数减 6，另一个数减 2，和起什么变化？2、两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和减少 15，另一个加数应有什么变化？3、两个数相加，如果一个加数减少 8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？4、两数相减，被减数增加 12，减数减少 12，差起什么变化？5、两数相减，被减数减少 10，减数增加 10，差起什么变化？6、两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 12 倍，积将有什么变化？7、两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？8、两数相除，被除数缩小 12 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？9、两数相除，除数扩大 6 倍，要使商扩大 3 倍，被除数应怎样变化?10第第 5 讲讲 算式谜（一）算式谜（一）专题简析：专题简析：“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。例例 1：在下面算式的括号里填上合适的数。分析与解答：分析与解答：根据题目特点，先看个位：75=12，在和的个位（）中填 2，并向十位进一；再看十位，（）+4+1 的和个位是 1，因此，第一个加数的（）中只能填 6，并向百位进 1；最后来看百位、千位，6+（）+1 的和的个位是 2，第二个加数的（）中只能填 5，并向千位进 1；因此，和的千位（）中应填 8。随堂练习：随堂练习：（1）在括号里填上合适的数。（2）在方框里填上合适的数。例例 2：下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。分析与解答：分析与解答：先看个位，3 个“飞”相加的和的个位数字是 1，可推知“飞”代表 7；再看十位，3 个“腾”相加，再加上个位进来的 2，所得的和的个位是 0，可推知“腾”代表 6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的 2，所得和的个位是 0，“龙”可能是 4 或119，考虑到千位上的“巨”不可能为 0，所以“龙”只能代表 4，“巨”只能代表 1。随堂练习：随堂练习：例例 3：下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表 09 这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？分析与解答：分析与解答：这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是 0。确定“卒”是 0 后，所有是“卒”的地方，都是 0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是 5，“车”是 1；再由十位上的情况可推知“马”是 4，进而推得“炮”是 2。随堂练习：随堂练习：例例 4：将 0、1、2、3、4、5、6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。=分析与解答：分析与解答：要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位数。显然，方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。0 和 1 不能填入乘法算式，也不能做除数。由于 26=12（2 将出现两次），25=10（经试验不合题意），24=8（7 个数字中没有 8），23=6（6 不能成为商）。因此，0、1、2 只能用来组成两位数。经试验可得：34=12=6=5随堂练习：随堂练习：（1）将 0、1、3、5、6、8、9 这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。=例例 5：把“、”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。36015=15 2135=分析与解答：分析与解答：先从第一个等式入手，等式右边是 15，与等式左边最后一个数 15 相同，因为0+15=15，所以，只要使 36 与 0 的运算结果为 0 就行。显然，360+15=15因为第一个等式已填“”、“+”，在第二个等式中只有“”、“”可以填，题目12要求在方框中填整数，已知 3 不能被 5 整除，所以“”只能填在 21 与 3 之间，而 3与 5 之间填“”。随堂练习：随堂练习：把“、”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成立。9137=100 1425=1762=100 5147=拓展训练拓展训练1、下面的竖式里，有 4 个数字被遮住了，求竖式中被盖住的 4 个数字的和。2、3、4、（1）填入 1、2、3、4、7、9，使等式成立。=（2）用 1、2、3、7、8 这五个数字可以列成一个算式：（1+3）7=28。请你用0、1、2、3、4、6 这六个数字列成一个算式。5、将 1 9 这九个数字填入中（每个数字只能用一次），组成三个等式。=13第第 6 讲讲 算式谜（二）算式谜（二）专题简析：专题简析：解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4算式谜解出后，要验算一遍。例例 1：在下面的方框中填上合适的数字。分析与解答：分析与解答：由积的末尾是 0，可推出第二个因数的个位是 5；由第二个因数的个位是 5，并结合第一个因数与 5 相乘的积的情况考虑，可推出第一个因数的百位是 3；由第一个因数为376 与积为 310，可推出第二个因数的十数上是 8。题中别的数字就容易填了。随堂练习：随堂练习：在里填上适当的数。例例 2：在下面方框中填上适合的数字。分析与解答：分析与解答：由商的十位是 1，以及 1 与除数的乘积的最高位是 1 可推知除数的十位是 1。由第一14次除后余下的数是 1，可推知被除数的十位只可能是 7、8、9。如果是 7，除数的个位是 0，那么最后必有余数；如果被除数是 8，除数的个位就是 1，也不能除尽；只有当被除数的十位是 9 时，除数的个位是 2 时，商的个位为 6，正好除尽。完整的竖式是：随堂练习：随堂练习：在内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。例例 3：下面算式中的 a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字？分析与解答：分析与解答：因为四位数 abcd 乘 9 的积是四位数，可知 a 是 1；d 和 9 相乘的积的个位是 1，可知 d 只能是 9；因为第二个因数 9 与第一个因数百位上的数 b 相乘的积不能进位，所以b 只能是 0（1 已经用过）；再由 b=0，可推知 c=8。随堂练习：随堂练习：求下列各题中每个汉字所代表的数字。例例 4：在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中间加上“、”两种运算符号，使其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。151 2 3 4 5 6 7 8 9=100分析与解答：分析与解答：先凑出与 100 比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。比如：123 与 100 比较接近，所以把前三个数字组成 123，后面的数字凑出 23 就行。因为 45 与 67 相差 22，8 与 9 相差 1，所以得到一种解法：123456789=100再比如：89 与 100 比较接近，78 与 67 正好相差 11，所此可得另一种解法：123456789=100随堂练习：随堂练习：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于 99（数字的顺序不能改变）。9 8 7 6 5 4 3 2 1=99例例 5：在下面的式子里添上括号，使等式成立。791232=23分析与解答：分析与解答：采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减 2，那么前面式子的运算结果应等 25，又因为 253=75，而前面 7912 又正好等于75，所以，应给前面两步运算加括号。（7912）32=23随堂练习：随堂练习：在下面的式子里添上括号，使等式成立。791232=75拓展训练拓展训练1、在里填上适当的数。2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。3、（1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于 100（数16字的顺序不能改变）。1 2 3 4 5 6 7 8 9=100（2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。1 2 3 4 5=1004、在下面的式子里添上括号，使等式成立。（1）791232=47（2）883311112=5第第 7 讲讲 应用题应用题专题简析：专题简析：大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周，我们来学习一些需要较高解题技巧的应用题，它们的解题思路往往比较独特，并且容易做错。如：书本的页码问题，较复杂的植树问题，以及其他智巧问题。这些智巧问题正是训练你成为“小高斯”的好题目。例例 1：第七册数学课本共 153 页，编印这本书的页码共要用多少个数字？分析与解答：分析与解答：从 1 到 153 按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数，它们分别由 1 个、2 个、3 个数字组成。从第 1 页到第 9 页，要用 9 个数字；从第 10 页到第 99 页，要用290=180 个数字；从第 100 页到 153 页，要用 354=162 个数字，所以，一共要用9180162=351 个数字。随堂练习：随堂练习：一本故事书共 131 页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字？例例 2：排一本辞典的页码共用了 2886 个数字，这本辞典共有多少页？分析与解答：分析与解答：排这本辞典的第 1 页到第 9 页的页码，要用 9 个数字；排第 10 页到 99 页的页码，要用 290=180 个数字；这样，剩下的页码要用 28869180=2697 个数字。26973=899 页，即页码是三位数的排了 899 页。这样，这本辞典共有 990899=998页。随堂练习：随堂练习：排一本科幻小说的页码共用了 270 个数字，这本科幻小说共有多少页？例例 3：两棵杨树相距 75 米，在中间又等距离地栽了 14 棵白玉兰树。第 9 棵与第1 棵之间相距多少米？分析与解答：分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了 14 棵白玉兰树，可知 75 米内共栽树 142=16棵，共有 161=15 段，每段长 7515=5 米。而第 1 棵到第 9 棵之间有 91=8 段，所以，第 9 棵到第 1 棵之间相距 58=40 棵。随堂练习：随堂练习：两棵树相隔 45 米，在中间以相等距离增加 8 棵树后，第 8 棵与第 1 棵相隔多少米？17例例 4：一个圆形花坛，绕着它走一圈是 90 米，如果沿着它的周围每隔 6 米栽一株丁香花，再在每相邻两株丁香花之间等距离地栽两株月季花。问丁香花和月季花各栽了多少株？分析与解答：分析与解答：在圆形花坛的周围栽花，栽丁香花的株数正好等于分成的段数，所以，丁香花栽了906=15 株。由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽两株月季花，所以月季花栽了215=30 株。随堂练习：随堂练习：一个圆形花坛的周长是 60 米，沿着它的周围每隔 3 米插一面红旗，每两面红旗中间插一面绿旗。红旗和绿旗各插了多少面？例例 5：有 80 个零件，分装成 8 袋，每袋装 10 个。在其中的 7 袋里面装的零件每个都是 50 克，有一袋里面的每个零件都是 49 克。这 8 袋混在一起，你能用秤称一次，就把装 49 克重的零件的那一袋找出来吗？分析与解答：分析与解答：将 8 袋零件依次编上序号：1、2、3、4、5、6、7、8。从第 1 袋中取出 1 个零件，从第 2 袋中取出 2 个零件，从第 8 袋中取出 8 个零件，共取出 1238=36个零件，总重量应少于 5036=1800 克。将这些零件放在秤上称一下，总重量比 1800克少几克，第几号袋中装的零件就是 49 克的。随堂练习：随堂练习：60 只橘子分装 6 袋，每袋装 10 只，其中 5 袋里装的橘子的重量都是 50 克，另一袋装的每只的重量都是 40 克。这 6 袋橘子混在一起，你能用秤称一次，就把装 40 克重的那一袋找出来吗？拓展训练拓展训练1、一本辞典共 1008 页，编印这本辞典的页码共要用多少个数字？2、一本小说共 320 页，数字 0 在页码中共出现了多少次？3、排一本学生词典的页码，共用了 3829 个数字。这本词典共有多少页？4、一本故事书的页码，用了 39 个 0，这本书共有多少页？5、两棵树相隔 92 米，在中间以相等距离增加 22 棵后，第 10 棵与第 1 棵间相隔多少米？6、两盆花相隔 12 米，在中间以相等距离增加 11 盆花后，第 9 盆与第 3 盆花之间相隔多少米？7、有一个圆形花圃，周长是 120 米，每隔 6 米栽一棵黄杨树，每两棵黄杨树之间等距离地栽 3 棵月季花。花圃周围栽了多少棵黄杨树？栽了多少棵月季花？8、有一条公路长 450 米，在两旁栽树，两端各栽一棵，每隔 18 米栽一棵柳树，每两棵柳树之间以相等的距离栽了 3 棵槐树。柳树、槐树各栽了多少棵？9、袋装的洗衣粉共有 10 堆（每堆不少于 10 袋），已知 9 堆是合格产品，每袋 1 千克，1 堆是不合格产品，每袋 0.9 千克，从外形看不出。能否只称一次找出不合格产品？1812310、有 9 只外形完全相同的乒乓球，其中 8 只是正品，另一只是次品，且正品与次品重量不相同。如果用天平（无砝码）称，至少几次可把次品找出来？第第 8 讲讲 逻辑推理逻辑推理专题简析：专题简析：解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。例例 1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？分析与解答分析与解答：我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。兰兰静静 冬冬静静 冬冬兰兰所以，冬冬兰兰静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。随堂练习随堂练习卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？例例 2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？19ABC分析与解答分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。随堂练习随堂练习下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？例例 3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？分析与解答分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。随堂练习随堂练习已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？例例 4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后：甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？分析与解答分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析。20 （1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。重新推理：（1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是第一名”是对的。（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。（3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。随堂练习随堂练习甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。”有的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？例例 5：A、B、C、D 与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A 赛了 4 盘，B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了一盘。问小强已经赛了几盘？分析与解答分析与解答：用五个点表示这 5 个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。现在 A 赛 4 盘，所以 A 应该与其余 4 个点都连线。B赛了 3 盘，由于 D 只赛了 1 盘，是和 A 赛的，所以 B 应该与 C 连。（B、A 已连线）C已连了 2 条线，小强也连了 2 条线，所以小强已赛了 2 盘。随堂练习随堂练习上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛了 3 场，辽宁队赛了 2 场，山东队赛了 1 场。问北京队赛了几场？拓展训练拓展训练21DAFACBCDE546523636451、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师？2、江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三个老师分别教什么科目？2，一个正方体，六个面分别写上 A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗？3，五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字 16，把木块叠成下图，那么，2 的对面是几？4 的对面是几？5 的对面是几？4、某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 A、B、C 三个学生。A 说：“是 B 做的。”B 说：“不是我做的。”C 说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？5、A、B、C、D 四个孩子踢球打碎了玻璃。A 说：“是 C 或 D 打碎的。”B 说：“是 D 打碎的。”C 说：“我没有打碎玻璃。”D 说：“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃？6、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二名蓝色，第四包红色。”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？7、张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码，这五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：22甲：2 是巢湖，3 是洞庭湖；乙：4 是鄱阳湖，2 是洪泽湖；丙：1 是鄱阳湖，5 是太湖；丁：4 是太湖，3 是洪泽湖；戌：2 是洞庭湖，5 是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊。8、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了 5 次手，冬冬握了 4 次手，兰兰握了 5 次手，静静握了 2 次，思思握了 1 次手。问毛毛握了几次手？9、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场？第第 9 讲讲 数数图形数数图形专题简析：专题简析：我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1、弄清被数图形的特征和变化规律。2、要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。例例 1：数一数下图中共有多少个三角形。DCBA分析与解答：分析与解答：图中 AD 边上的每一条线段与顶点 O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为 AD 上有 4 个点，共有 1+2+3=6 条线段，所以图中有6 个三角形。随堂练习：随堂练习：数一数下面图中各有多少个三角形。23DCBAFEO 例例 2 2：数一数下图中共有多少个三角形。分析与解答：分析与解答：与前一个例子相比，图中多了一条线段 EF，因此三角形的个数应是 AD 和 EF 上面的线段与点 O 所围成的三角形个数的和。显然，以 AD 上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6 个，所以图中共有 62=12 个三角形。随堂练习：随堂练习：数一数下面各图中各有多少个三角形。拓展训练拓展训练1、数数下图有多少条线段。2、下列各图中各有多少个锐角