高一数学平面向量知识点和典型例题解析.pdf

.高一数学高一数学 第八章第八章 平面向量平面向量第一第一讲讲 向量的概念与向量的概念与线线性运算性运算一【要点精讲】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。几何表示法ABuuu r，ar；坐标表示法),(yxjyi xar。向量的模（长度），记作|ABuuu r|.即向量的大小，记作ar|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为 0 的向量，记为0r，其方向是任意的，规定0r平行于任何向量。（与 0 的区别）单位向量 0ar1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作arbr相等向量记为barr。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx2向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量 a，b，奎 奎奎 奎 奎奎 奎在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做 a 与 b 的和，AAB uuu rBC uuu rAC记作 a+b，即 a+bABBCACuuu ruuu ruuu r特殊情况：ababa+bbaa+b(1)三 三 三 三 三 三 三三 三 三 三 三CBDCBAAaabbba ba AABBCC)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRARuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rL，但这时必须“首尾相连”。.向量减法：同一个图中画出 ab abrr rr、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积3两个向量共线定理：向量br与非零向量ar共线有且只有一个实数，使得br=ar。二【典例解析】题题型一：型一：向量及与向量相关的基本概念概念向量及与向量相关的基本概念概念例 1 判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若baba则,(3)单位向量都相等 (4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；barrcbrrcarr(7)若，则 (8)的充要条件是且；barr/cbrr/carr/barr|barrbarr/(9)若四边形 ABCD 是平行四边形,则DABCCDB,A练习.(四川省成都市一诊)在四边形 ABCD 中，“”是“四边形 ABCD 为梯形”的AB 2DC A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题题型二型二:考考查查加法、减法运算及相关运算律加法、减法运算及相关运算律例 2 化简=)()(BDACCDAB练习 1.下列命题中正确的是 A BOAOBABuu u ruuu ruuu r0ABBAuuu ruu u rC D00ABr uuu rrABBCCDADuuu ruuu ruuu ruuu r2.化简得 AC uuu rBDuuu rCDuuu rABuuu rA B C DABuuu rDABC0r3如图，D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，则().A.0 B.0AD BE CF BD CF DF C.0 D.0AD CE CF BD BE FC 题题型三型三:结结合合图图型考型考查查向量加、减法向量加、减法例 3 在所在的平面上有一点，满足，则与的面ABCPPAPBPCABuu u ruu u ruuu ruuu rPBCABC积之比是()A B C D13122334例 4 重心、垂心、外心性质练习:1如图，在 ABC 中，D、E 为边 AB 的两个三等分点，=3a，CA=2b，求，CB CD CE 2 已知求证ababrrrr=abrr3 若为的内心，且满足，则的形状为（OABC()(2)0OBOCOBOCOAuuu ruuu ruuu ruuu ruu u rABC）A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形4已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 20，则()AC CB OC A2 B2 C.DOA OB OA OB 23OA 13OB 13OA 23OB 5已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若320，则等于_OA OB OC|AB|BC|6已知平面内有一点 P 及一个ABC，若，则()PA PB PC AB A点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上 C点 P 在线段 BC 上 D点 P 在线段 AC 上ABCDE.7在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若2，则 等于()AD DB CD 13CA CB A.B.C D23131323题题型四型四:三点共三点共线问题线问题例 4 设是不共线的向量,已知向量,若21,ee2121212,3,2eeCDeeCBekeABA,B,D 三点共线,求 k 的值例 5 已知 A、B、C、P 为平面内四点，A、B、C 三点在一条直线上 =m+n，求证：PC PA PB m+n=1练习：1已知：，则下列关系一定成立的是2121212CD ,BC ),(3eeeeeeAB（）A、A，B，C 三点共线 B、A，B，D 三点共线C、C，A，D 三点共线 D、B，C，D 三点共线2(原创题)设 a，b 是两个不共线的向量，若2akb，ab，2ab，且 A，B，DAB CB CD 三点共线，则实数 k 的值等于_第第 2 讲讲 平面向量的基本定理与坐平面向量的基本定理与坐标标表示表示一一【要点精要点精讲讲】1平面向量的基本定理如果21,eerr是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量ar，有且只有一对实数21,使：2211eearrr其中不共线的向量21,eerr叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的_单位xy向量_、作为基底奎 奎奎 奎 奎奎 奎任作一个向量，有且只有一对实数、，使得irjrarxy，把叫做向量的（直角）坐标，记作axiyjr 1),(yxar.BCAOMD 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量向量(,)ax yr 2xarxyary 2的坐的坐标标表示表示奎 奎奎 奎 奎奎 奎与与相等的向量的坐相等的向量的坐标标也也为为奎 奎奎 奎 奎奎 奎特别地，奎 奎奎 奎 奎奎 奎ar),(yx(1,0)i r(0,1)j r0(0,0)r特特别别提醒：提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标yjxiOAOA),(yxAA也就是向量的坐标奎 奎奎 奎 奎奎 奎因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实),(yxOA数唯一表示奎 奎奎 奎 奎奎 奎3平面向量的坐标运算（1）若，则=，=11(,)ax yr22(,)bxyrabrr1212(,)xxyyabrr1212(,)xxyy（2）若，则 （3）若和实数，则),(11yxA),(22yxBAB uuu r(,)ax yrar(,)xy4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,y1)，=(x2,y2)其中arbrbrar()的充要条件是arbrbr012210 x yx y二二【典例解析典例解析】题题型一型一.利用一利用一组组基底表示平面内的任一向量基底表示平面内的任一向量例 1 在OAB 中，AD 与 BC 交于点 M，OBODOAOC21,41设=，=，用,表示.OAarOBbrarbrOM练习:1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()1e2e A与 B3与 2 C与 D与 21e2e1e2e1e2e1e2e1e1e2在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若，其中AC AE AF、R，则 _.题题型二型二:向量加、减、数乘的坐向量加、减、数乘的坐标标运算运算 例 3 已知 A（2,4）、B（3,1）、C（3,4）且,CACM3,求点 M、N 的坐标及向量的坐标.CBCN2MN.练习:1.(2008 年高考辽宁卷)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点 D 的坐标为()BC AD A(2，)B(2，)C(3,2)D(1,3)7212 2若 M(3,-2)N(-5,-1)且,求 P 点的坐标；12MP uuu rMN 3若 M(3,-2)N(-5,-1)，点 P 在 MN 的延长线上，且,12MPMNuuu ruuu u r 求 P 点的坐标；4.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a=,1x（），b=2,x x（），则向量ab()A 平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形 ABC 中，已知 A(2,3)，B(8，4)，点 G(2，1)在中线 AD 上，且2，AG GD 则点 C 的坐标是()A(4,2)B(4，2)C(4，2)D(4,2)6设向量 a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量 4a、4b2c、2(ac)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为()A(2,6)B(2,6)C(2，6)D(2，6)7已知 A(7,1)、B(1,4)，直线 y ax 与线段 AB 交于 C，且2，则实数 a 等于()12AC CB A2 B1 C.D.4553题题型三型三:平行、共平行、共线问题线问题 例 4 已知向量，若，则锐角等于（）(1 sin,1)a1(,1 sin)2bab A B C D30456075.例 5（2009 北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kR dab，如果/cd那么()A1k 且c与d同向 B1k 且c与d反向 C1k 且c与d同向 D1k 且c与d反向 练习：1若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同，求 xarbr 2已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，ABtOAOP 求(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限。(2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由。3已知向量 a(1,2)，b(0,1)，设 uakb，v2ab，若 uv，则实数 k 的值为()A1 B C.D11212 4已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则 等于()mnA B2 C.D212125已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点 A、B、C 能构成三角形，则OA OB OC 实数 m 应满足的条件是()Am2 Bm Cm1 Dm1126已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。题型四：平面向量综合问题例 6 已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量(,)ma bu r，.(sin,sin)nBAr，(2,2)pbau r.1若mu r/nr，求证：ABC 为等腰三角形；2若mu rpu r，边长 c=2，角 C=3，求 ABC 的面积.练习已知点 A(1,2)，B(2,8)以及，求点 C、D 的坐标和的坐标AC 13AB DA 13BA CD 第三第三讲讲 平面向量的数量平面向量的数量积积及及应应用用一 【要点精要点精讲讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a，作OAa，OBb，则AA（）叫a与b的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围 0180。（2）数量积的概念非零向量ar与br，arbr=arbrcos叫做ar与br的数量积（或内积）。规定00arr；向量的投影：brcos=|a barrrR，称为向量br在ar方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义：arbr等于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积.注意：只要就有=0，而不必=或=aba ba0b0由=及0 却不能推出=得|cos1=|cos2a bacabcabacC12bca.及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)abcbcabc()()，向量的数量积是不满足结合律的a bca bc对于向量、，有|，等号当且仅当时成立aba baba b（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：22|a aaar rrr。乘法公式成立2222ababababrrrrrrrr；2222abaa bbrrrrrr222aa bbrrrr；向量的夹角：cos=cos,a ba babrrrrrr=222221212121yxyxyyxx。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)ax ybxyrr，则arbr=1212x xy y。（6）垂直：如果ar与br的夹角为 900则称ar与br垂直，记作arbr。两个非零向量垂直的充要条件：arbrarbrO02121yyxx（7）平面内两点间的距离公式 设),(yxa，则222|yxa或22|yxa。221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式).二【典例解析】题型一：数量积的概念例 1判断下列各命题正确与否：（1）00ar；（2）00arr；（3）若0,aa ba crrrr r，则bcrr；（4）若a ba crrr r，则bcrr当且仅当0a rr时成立；（5）()()a bcab crrrrrr对任意,a b crrr向量都成立；题型二.求数量积、求模、求夹角的简单应用例 2 23120oababrrrr已知，与的夹角为，求；2212323a babababr rrrrrrr（）；（）；（）（）（）4 abrr（）.题型三：向量垂直、平行的判定例 3已知向量)3,2(a，)6,(xb，且ba/，则x 。例 4已知4,3a r，1,2b r，,mabrrr2nabrrr，按下列条件求实数的值。（1）mnrr；（2）/mnrr；(3)mnrr。例 5已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）abca1若|，且，求的坐标；c52ac/c（2）若|=且与垂直，求与的夹角.b,25ba2ba 2ab练习 1 若非零向量、满足，证明:u ru ru ru ru ru ru ru r2 在ABC 中，=(2,3)，=(1,k)，且ABC 的一个内角为直角，ABAC 求 k 值奎 奎奎 奎 奎奎 奎3已知向量，若，则（）)1 ,1(a),2(nb baba|n A B C D31134.12ababaabrrrrrrr已知，且与垂直，求与的夹角。5知为的三个内角的对边，向量abc，ABCABC，若，且，则角的(31)(cossin)AA，mnmncoscossinaBbAcCAB，.大小分别为（）AB C D 6 3，2 36，3 6，3 3，题型四：向量的夹角例 6 已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，求ba 与ba 的夹角练习 1 已知两单位向量ar与br的夹角为0120，若2,3cab dbar rrrrr，试求cr与dr的夹角。2|a|=1，|b|=2，c=a+b，且ca，则向量a与b的夹角为（）A30B60C120 D1503设非零向量 a、b、c 满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150 B120 C60 D304已知向量 a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则 a 与 c 的夹角为()552A30或 150 B60或 120 C120 D1505.过ABC 的重心任作一直线分别交 AB，AC 于点 D、E若ADxABuuu ruuu r，AEyACuuu ruuu r，0 xy，则11xy的值为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC 为正三角形易得11xy3选 B4.设向量av与bv的夹角为，)3,3(av，)1,1(2 abvv，则cos.5在ABC 中，()|2，则三角形 ABC 的形状一定是()BC BA AC AC A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形.6 已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值 题题型五：求型五：求夹夹角范角范围围例 7 已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值|2|0abrrx2|0 xa xa brr rarbr范围是 A.0,B.C.D.6,32,33,6练习 1设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围axx 2,b2,3xabx2已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是 )2,(a)2,3(bab3设两个向量、，满足，、的夹角为 60，若向量与向量1er2er2|1er1|2er1er2er2172ee trr 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.21e terrt4如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与.的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.CQBP（以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）题型六：向量的模例 8已知向量ar与br的夹角为120o，3,13,aabrrr则br等于（）A5B4C3D1练习 1 平面向量 a 与 b 的夹角为060，a(2,0),|b|1，则|a2b|等于（）A.3 B.23 C.4 D.122已知平面上三个向量、的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120，arbrcr（1）求证：；（2）若，求的取值范围.)(barrcr1|cbakrrr)(Rk k3平面向量中，已知，且，则向量_.,a br r(4,3),|1abrr5a br rb r4已知|=|=2，与的夹角为 600，则+在上的投影为 。ababa ba5设向量满足，则 。,a br r|1,|32|3ababrrrr|3|abrr6已知向量的方向相同，且，则_ _。,a br r|3,|7abrr|2|abrr7、已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC，且PA PBPB PCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC的（)A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心ACa.题型七：向量的综合应用 例 9已知向量(2,2)，(4,1)，在 x 轴上一点 P，使有最小值，则 P 点的坐标是OA OB AP BP _练习 1已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120，若向量 cab，且 ac，则的值为()|a|b|A.B.C2 D.122 333 2已知圆 O 的半径为 a，A，B 是其圆周上的两个三等分点，则()OA AB A.a2 B a2 C.a2 Da2323232324(原创题)三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线，|3，2，则|_.AB AP BC AC 5在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 m(cos，sin)，n(cos，sin)，3A23A2A2A2且满足|mn|.3(1)求角 A 的大小；6在中，的面积是，若，则()ABC0 ACABABC4153|AB5|ACBAC ()A6()B32()C43()D657已知为原点，点的坐标分别为，其中常数，点在线段O,A B)0,(aA),0(aB0aP上，且有，则的最大值为（）ABABtAP)10(tOPOA ()Aa()Ba2()Ca3()D2a.8已知向量，。33(cos,sin)22axxr(cos,sin)22xxb r（1）当，求；2,0 x,|a b abr rrr（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围。|2)(bambaxfrrrr23xm9.若正方形ABCD边长为 1，点P在线段AC上运动，则)(PDPBAP的取值范围是 -2，4110.已知,a b是两个互相垂直的单位向量,且1c a,1c b,|2c,则对任意的正实数t,1|ttcab的最小值是 2 2.各区期末试题10.在矩形中，是上一点，且ABCD3AB 1BC ECD，则的值为（）1AE ABuuu r uuu rAE ACuuu r uuu r19.如图，点是以为直径的圆上动点，是点关于PABOP P的对称点，.AB2(0)ABa a （）当点是弧上靠近的三等分点时，求的值；PABBAP ABuuu r uuu rABCDEABPPO.（）求的最大值和最小值.AP OPuuu r uuu r（6）如图所示，点在线段上，且，则 （）CBD3BCCD=AD=uuu r（A）（B）32ACABuuu ruuu r43ACABuuu ruuu r（C）（D）4133ACABuuu ruuu r1233ACABuuu ruuu r(16)在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个xOy(3,3)A(5,1)B(2,1)PMOP动点.（）求的值；PBPA-uu u ruu u r（）若四边形是平行四边形，求点的坐标；APBMM（）求的最小值.MA MBuuu r uuu r3 已知、三点的坐标分别为、，且.ABC30A，03B，cossinC，322，2 若，求角的值；ACBCuuu ruuu r 若，求的值.1AC BC uuu r uuu r22sinsin21tan2 已知二次函数对任意，都有成立，设向量 f xxR11fxfx，当时，求不等式1sin22sincos21122axbxcxd，0 x，的解集.f a bf c dDCBA.2.若点是所在平面内一点，且满足，则等于（MABC3143AMABACuuuu ruuu ruuu r:ABMABCSS）A.B.C.D.121314156.已知为一平面上的定点，为此平面上不共线的三点，若OABC，则的形状是 .(2)0BCOBOCOAuuu ruuu ruuu ruu u rABC8.已知向量，.3(sin,)2xa(cos,1)xb（1）当时，求的值；ab2cossin2xx（2）设，为函数的两个零点，求的最小值1x2x2()()4f x abb12xx(5)如图，用向量 e1，e2表示向量 a-b 为 ()(A)-2e 2-4e 1(B)-4e 2-2e 1(C)e 2-3e 1(D)-e 2+3e1(12)已知=+，设=，那么实数 的值OMuuuu r23 OAuu u r13OBuuu rAMuuuu vABuuu r是_(16)已知向量 a=(1，)，b=(-2，0)3()求向量 a-b 的坐标以及 a-b 与 a 的夹角；()当 t-1，1时，求|a-tb|的取值范围欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！你的意见是我进步的动力，希望您提出您宝贵的意见！让我们共同学习共同进步！学无止境.更上一层楼。