2013年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案word解析版.pdf

2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版1/1620132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷辽宁卷)第卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的1(2013 辽宁，理 1)复数的模为()1i 1z A B C D2122222(2013 辽宁，理 2)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB()A(0,1)B(0,2 C(1,2)D(1,23(2013 辽宁，理 3)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()ABuuu rA B C D34,5543,553 4,5 54 3,5 54(2013 辽宁，理 4)下面是关于公差d0 的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；nanp4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p45(2013 辽宁，理 5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是()A45 B50 C55 D606(2013 辽宁，理 6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos A，且ab，则B()12bA B C D6323567(2013 辽宁，理 7)使(nN N)的展开式中含有常数项的最13nxx x小的n为()A4 B5 C6 D78(2013 辽宁，理 8)执行如图所示的程序框图，若输入n10，则输出S()2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版2/16A B C D5111011365572559(2013 辽宁，理 9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3 B31baaC D331()0babaa3310babaa10(2013 辽宁，理 10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A B C D3 1722 101323 1011(2013 辽宁，理 11)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16 Ca22a16 Da22a1612(2013 辽宁，理 12)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0 时，f(x)(exx2e8)A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分13(2013 辽宁，理 13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_14(2013 辽宁，理 14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40 的两个根，则S6_.15(2013 辽宁，理 15)已知椭圆 C：(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于2222=1xyabA，B 两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.4516(2013 辽宁，理 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版3/16三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 辽宁，理 17)(本小题满分 12 分)设向量a a(，sin x)，b b(cos x，sin x)，x3sin x.0,2(1)若|a a|b b|，求x的值；(2)设函数f(x)a ab b，求f(x)的最大值18(2013 辽宁，理 18)(本小题满分 12 分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版4/1619(2013 辽宁，理 19)(本小题满分 12 分)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对35每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和45数学期望20(2013 辽宁，理 20)(本小题满分 12 分)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.212(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版5/1621(2013 辽宁，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos 32xx当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；11x(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版6/16请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B2B 铅笔在铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22(2013 辽宁，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.23(2013 辽宁，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin，.cos=2 24(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR R 为参33,12xtabyt 数)，求a，b的值2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版7/1624(2013 辽宁，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2 时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求a的值2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版8/1620132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷辽宁卷)第卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的1答案：答案：B解析：解析：，1i 111ii 1(i 1)(i 1)22z|z|，故选 B.22112222 2答案：答案：D解析：解析：0log4x1log41log4xlog441x4，即Ax|1x4，ABx|1x2故选 D.3答案：答案：A解析：解析：与同方向的单位向量为，故选 A.ABuuu rABABuuu ruuu r223,434,5534 4答案：答案：D解析：解析：如数列为2，1,0,1，则 1a12a2，故p2是假命题；如数列为1,2,3，则1，故p3是假命题故选 D.nan5答案：答案：B解析：解析：由频率分布直方图，低于 60 分的同学所占频率为(0.0050.01)200.3，故该班的学生人数为50.故选 B.150.36答案：答案：A解析：解析：根据正弦定理：asin Bcos Ccsin Bcos A等价于 sin Acos Csin Ccos A，12b12即 sin(AC).12又ab，AC，B.故选 A.5667答案：答案：B解析：解析：展开式中的第r1 项为(3x)nr，若展开式中含常数项，则13nxx xCrn32rx52C 3nrrn rnx存在nN N，rN N，使0，52nr故最小的n值为 5，故选 B.8 A B C D511101136557255答案：答案：A解析：解析：当n10 时，由程序运行得到222221111121416181101S 111111 33 55 77 99 112013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版9/161 11111111112 13355779911.故选 A.1105211119答案：答案：C解析：解析：若B为直角，则，0OB ABuuu r uuu r即a2a3(a3b)0，又a0，故；31baa若A为直角，则，即b(a3b)0，得ba3；0OA ABuu u r uuu r若O为直角，则不可能故ba30 或ba30，故选 C.1a10 答案：答案：C解析：解析：过C点作AB的平行线，过B点作AC的平行线，交点为D，同理过C1作A1B1的平行线，过B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCDA1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r.故选 C.2223412132211答案：答案：B解析：解析：f(x)g(x)2x24ax2a282x(a2)x(a2)，1(),(,2,(),(2,2,(),(2,f x xaHxg x xaaf x xa 2(),(,2,(),(2,2,(),(2,g x xaHxf x xaag x xa 可求得H1(x)的最小值Af(a2)4a4，H2(x)的最大值Bg(a2)4a12，AB16.故选 B.12答案：答案：D解析：解析：令F(x)x2f(x)，则F(x)x2f(x)2xf(x)，exxF(2)4f(2).2e2由x2f(x)2xf(x)，exx得x2f(x)2xf(x)，exx2e2xx f xx f(x).3e2xF xx 令(x)ex2F(x)，2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版10/16则(x)ex2F(x).2ee(2)exxxxxx(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22F(2)0.(x)0.又x0，f(x)0.f(x)在(0，)单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选 D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 答案：答案：1616解析：解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为 2 的正四棱柱，故体积为 2242241616.14答案：答案：63解析：解析：因为x25x40 的两根为 1 和 4，又数列an是递增数列，所以a11，a34，所以q2.所以S663.61 1 21 2 15答案：答案：57解析：解析：如图所示根据余弦定理|AF|2|BF|2|AB|22|AB|BF|cosABF，即|BF|216|BF|640，得|BF|8.又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cos ABF，得|OF|5.根据椭圆的对称性|AF|BF|2a14，得a7.又|OF|c5，故离心率e.5716答案：答案：10解析：解析：设 5 个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则，1234575xxxxx2222212345777775xxxxx 4，即 5 个整数平方和为 20，最大的数比 7 大不能超过 3，否则方差超过 4，故最大值为 10，最小值为 4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由|a a|2(sin x)24sin2x，23sin x2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版11/16|b b|2(cos x)2(sin x)21，及|a a|b b|，得 4sin2x1.又x，从而 sin x，0,212所以.6x(2)f(x)a ab bcos xsin2x3sin x311sin2cos2222xx，1sin 262x当时，取最大值 1.0,32xsin 26x所以f(x)的最大值为.3218(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)解法一：过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系因为AB2，AC1，所以BC.3因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)3故(，0,0)，(0,1,1)CBuu u r3CPuu u r设平面BCP的法向量为n n1(x，y，z)，则110,0,CBCPuu u ruu u rnn所以30,0,xyz不妨令y1，则n n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)APuuu rABuuu r3设平面ABP的法向量为n n2(x，y，z)，2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版12/16则所以220,0,APABuuu ruuu rnn0,30,zxy不妨令x1，则n n2(1，0)，3于是 cosn n1，n n2.3642 2所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.64解法二：过C作CMAB于M，因为PA平面ABC，CM平面ABC，所以PACM，故CM平面PAB.过M作MNPB于N，连接NC，由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角CPBA的平面角在 RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM，33232在 RtPAB中，由AB2，PA1，得PB.5因为 RtBNMRtBAP，所以，故MN.3215MN3 510又在 RtCNM中，CN，故 cosCNM.30564所以二面角CPBA的余弦值为.6419解：(1)设事件A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”，则有“张同学所取的 3 道题都是甲类题”A因为P()，A36310C1C6所以P(A)1P().A56(2)X所有的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)；02023214C555125P(X1)；0202102232132428C+C5555551252013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版13/16P(X2)；2011212232132457C+C555555125 P(X3).202232436C555125所以X的分布列为：X0123P4125281255712536125所以E(X)01232.412528125571253612520解：(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以=2xy12A点坐标为，故切线MA的方程为.11,411(1)24yx 因为点M(，y0)在切线MA及抛物线C2上，12于是，01132 2(22)244y .20(12)32 222ypp 由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，211,4xx222,4xx122xxx.22128xxy切线MA，MB的方程为，2111()24xxyxx.2222()24xxyxx由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为，.1202xxx1204x xy 因为点M(x0，y0)在C2上，即4y0，20 x所以.2212126xxx x 由得，x0.243xy当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足.243xy因此AB中点N的轨迹方程为.243xy212013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版14/16(1)证明：要证x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)，当x(0,1)时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0.所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，11x只需证明 exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,111x综上，1xf(x)，x0,111x(2)解法一：f(x)g(x)(1x)e2x312 cos2xaxxx 1xax12xcos x32xx(a12cos x)22x设G(x)2cos x，则G(x)x2sin x.22x记H(x)x2sin x，则H(x)12cos x，当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0,1上是减函数于是G(x)G(0)2，从而a1G(x)a3.所以，当a3 时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明当a3 时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)3112 cos 12xaxxxx 32 cos 12xxaxxxx，212cos12xxaxx记I(x)，2112cos()121xaxaG xxx则I(x)，21()(1)G xx当x(0,1)时，I(x)0，故I(x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域为a12cos 1，a3因为当a3 时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，32013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版15/16解法二：先证当x0,1时，1x2cos x1x2.1214记F(x)cos x1x2，12则F(x)sin xx.记G(x)sin xx，则G(x)cos x1，当x(0,1)时，G(x)0，于是G(x)在0,1上是增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)0，从而F(x)在0,1上是增函数因此F(x)F(0)0，所以当x0,1时，1x2cos x.12同理可证，当x0,1时，cos x1x2.14综上，当x0,1时，1x2cos x1x2.1214因为当x0,1时，f(x)g(x)(1x)e2x312 cos2xaxxx 321(1)1 2124xxaxxx(a3)x.所以当a3 时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明当a3 时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x312 cos2xaxxx 3211121122xaxxxx 23(3)12xxaxx，32(3)23x xa所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足f(x0)g(x0)33a12即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22证明：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而 EABEBF；2又EFAB，得FEBEBF，2从而FEBEAB.2013 年高考理科数学辽宁卷考试试题与答案 word 解析版16/16故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得 RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在 RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.23解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得2224,40 xyxy 110,4,xy222,2.xy所以C1与C2交点的极坐标为，.4,22 2,4注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得.122babyx所以1,212,2bab 解得a1，b2.24解：(1)当a2 时，f(x)|x4|26,2,2,24,26,4.xxxxx当x2 时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当 2x4 时，f(x)4|x4|无解；当x4 时，由f(x)4|x4|得 2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1 或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则2,0,()42,0,2,.a xh xxaxaa xa由|h(x)|2，解得.1122aax又已知|h(x)|2 的解集为x|1x2，所以于是a3.11,212.2aa