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一次函数图象的平移变换问题探究

一次函数图象的平移变换问题的探究

所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P（x，y）平移规律如下：
（1）将点P（x，y）向左平移a个单位，得到P1（x－a，y）
（2）将点P（x，y）向右平移a个单位，得到P2（x+a，y）
（3）将点P（x，y）向下平移a个单位，得到P3（x，y－a）
（4）将点P（x，y）向上平移a个单位，得到P4（x，y+a）反之也成立.
下面我们来探索直线的平移问题.
【引例1】探究一次函数：y=x与：y=x+2，：y=x－2的关系.
图1
-1
1
-1
1

【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3个函数的图象（如图1），观察这3个函数的图象：从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k值相同）；从数量上看，对于同一自变量的取值（不妨取x=0即直线与y轴的交点），可以看出直线在直线的上方2个单位处，直线在直线的下方2个单位处，因此，一次函数：y=x+2的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿y轴向上平移2个单位得到的；一次函数：y=x－2的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿y轴向下平移2个单位得到的.
【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移个单位长度得到的一条直线.
【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．
O
1
2
3
4
A
x
y
图2
1
2
分析：观察图像发现直线OA是正比例函数的图象，可设直线OA的解析式为y=kx，又点A（2，4）在函数图像上，所以4=2 k即 k=2，又一次函数的图像是由直线向上平移1个单位得到，故这个一次函数的解析式为y=2x+1.
【引例2】探究一次函数：y=x与：y=（x+3），：y=（x－3）的关系.
【探究】观察引例1与引例2中的3个函数的解析式，经过变形我们可以发现他们是完全相同的，因而，画出3个函数的图象仍然是图1的情况.从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k值相同）；从数量上看，对于同一因变量的取值（不妨取y=0，即直线与x轴的交点），可以看出直线在直线的左方3个单位处，直线在直线的右方3个单位处，因此，一次函数：y=（x+3）的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿x轴向左平移3个单位得到的；一次函数：y=（x－3）的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿x轴向右平移3个单位得到的.
【拓广】：一般地由正比例函数y=kx的图象沿x轴向左平移m（m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k（x+m）=kx+km；沿x轴向右平移m（m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k（x－m）=kx－km；
综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y值的变化，直线左右平移时影响x值的变化.
O
C
B
A
A

【应用】：（08年武汉市）⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线向下平移2个单位后的解析式是 ；
⑵直线向右平移2个单位后的解析式是 ；
⑶如图，已知点C为直线上在第一象限内一点，直线交轴于点A，交轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式．
分析：⑴点（0，1）向下平移2个单位，横坐标不变，纵坐标减去2，故为（0，－1）.
根据上面拓广的规律直线向下平移2个单位后的解析式应为－2，即；
⑵直线向右平移2个单位后的解析式应为y=2(x-2)+1即；
⑶解法1：点C为直线上在第一象限内一点，OC=可知点C（3，3），将直线AB沿射线OC方向平移个单位，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，根据拓广规律，解析式变为y=2(x-3)+1+3即；
解法2：点C为直线上在第一象限内一点，OC=可知点C（3，3），将直线AB沿射线OC方向平移个单位，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，从而点A（0，1）平移到（3，4），设平移后的直线的解析式为y=2x+b，则有4=6+b所以b=-2，所以所求直线的解析式为y=2x-2.

赏析一道函数图象探究题

函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的丰富的有价值的信息.为考查同学们获取和应用图象信息的能力,函数图象探究题便成了近年来各地中考的新亮点,解答这类题的关键是从图象中获取信息,,正确地进行“形”和“数”的转换.现就08年中考有关一次函数图象探究题精选一例,浅析如下,供同学们鉴赏：

例(2008江苏南京)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
分析 (1)图中折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系,从折线中可以看出,当=0,即两车即将出发时,=900(),这说明甲、乙两地之间的距离为900km；
(2)当=4,即慢车行驶4小时, =0(),这说明两车之间的距离为0,即两车相遇;
(3)两车相遇后继续行驶,快车至乙地停止行驶(折线上为点C),慢车继续向甲地行驶,直至=12,即慢车行驶了12小时到达甲地(折线上为点D).点D的纵坐标为900(),这说明慢车12小时行驶的路程为900,从而可求得慢车的速度,再由两车4小时相遇,即4小时共走了900,则快车速度可求.
(4) 求线段所表示的与之间的函数关系式，关键是要确定B、C两点的坐标,由图象可知,点B的坐标为(4,0),点C的横坐标为快车到达乙地的时间,由快车行驶路程÷快车行驶速度可得,而纵坐标则为此时两车之间的距离,可由慢车行驶时间×慢车行驶速度求得,再用待定系数法可求得线段所表示的与之间的函数关系式.
(5) 慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车行驶的时间是4.5h．代入线段所表示函数关系式,可以求得此时慢车与第一列快车之间的距离, 而这也正是两列快车之间的距离,再由快车行驶速度,则可求得两列快车发车的间隔时间,从而问题可解.
解：（1）900；
（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h．
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．
设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得
解得
所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．
自变量的取值范围是．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把代入，得．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．

点评 本例确实是一道难得的函数图象探究题,从列意布局,信息读取,图象理解,问题解决,环环相扣,步步紧逼,既给了同学们解决问题的方法,又给了同学们广阔的思维空间和探索空间,既考查了同学们获取图象信息的能力,又考查了同学们探究学习的过程,还充分渗透了运动变化的观点.可以看得出命题者的构思巧妙,匠心独运.不得不令人耳目一新,拍案叫绝.

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