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专题一：等腰三角形的存在性问题

专题训练一 等腰三角形的存在性问题
专题攻略
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况。
已知腰长（两定一动）：分别以两腰的顶点为圆心，腰长为半径画圆；
已知底边（两定一动：）画底边的垂直平分线。
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。
几何法一般分三步：分类、画图、计算。
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。
针对训练
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标。

2、 如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0).
(1)、求A、B的坐标;
(2)、求抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的Q点坐标；若不存在,请说明理由.

3、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动。在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值。

4、如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

A
B
C
D
P
E

5、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，
使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）个。
A、2 B、3 C、4 D、5

6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

7、如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图26．（10南通27）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

两年模拟
7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

8．（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）
如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝，直线y＝经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线y＝上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
自编原创
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．
（1）当D为BC的中点时，求CE的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．

备用图 备用图

参考答案:
1．因为D（3，4），所以OD＝5，．
①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．
在Rt△OPE中，，，所以．
此时点P的坐标为．
②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．
③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．

第1题图1 第1题图2 第1题图3
2．在Rt△ABC中，.因此.
在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.

第2题图1 第2题图2 第2题图3
①如图1，当时，，解得(秒).
②如图2，当时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝.
在Rt△QMC中，，解得(秒).
③如图3，当时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝.
在Rt△PNC中，，解得(秒).
综上所述，当t为时，△PQC为等腰三角形.

3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．
如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．
设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．
因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．
①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合条件的点P不存在．
②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．
③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．

第3题图

4．（12临沂26）
（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．
所以点B的坐标为．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B，．解得．
所以抛物线的解析式为．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为．

第4题图

5．（11湖州24）（1）因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．
（2）在△APD中，，，．
①当AP＝AD时，．解得（如图1）．
②当PA＝PD时，．
解得（如图2）或（不合题意，舍去）．
③当DA＝DP时，．
解得（如图3）或（不合题意，舍去）．
综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．

第5题图1 第5题图2 第5题图3
[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．
所以．因此，．
②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．
所以DA＝2PO．因此．解得．
（3）点H所经过的路径长为．思路是这样的：
如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

第5题图4 第5题图
6．（10南通27）
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．
又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．
因此，即．
整理，得y关于x的函数关系为．
(2)如图1，当m＝8时，．
因此当x＝4时，y取得最大值为2．
(3) 若，那么．整理，得．
解得x＝2或x＝6．
要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．
因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．
将x＝y ＝2代入，得m＝6（如图2）；
将x＝y ＝6代入，得m＝2（如图3）．

第6题图1 第6题图2 第6题图3

7．（1），．
（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是确定的．
①如图1，当DE＝DF时，，即．解得．
②如图2，当ED＝EF时，．解得．
③如图3，当FD＝FE时，，即．解得，即D与B重合．

第7题图1 第7题图2 第7题图3
（3）MN是△FDE的中位线，MN//DE，MN＝2，MN扫过的形状是平行四边形．
如图4，运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3；
如图5，运动开始，D与B重合，M到BC的距离为．
所以平行四边形的高为，面积为．

第7题图4 第7题图5

8．（1），．
（2）顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为，代入直线y＝，得．
设抛物线的解析式为，代入点，可得．
所以物线的解析式为．
（3）由顶点E在直线y＝上， 可知点G的坐标为，直线与y轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF＝30°．
设点E的坐标为，那么EG＝2m，平移后的抛物线为．所以点F的坐标为．
①如图1，当GE＝GF时，yF－yG＝GE＝2m，所以．
解得m＝0或．m＝0时顶点E在y轴上，不符合题意．
此时抛物线的解析式为．
②如图2，当EF＝EG时，FG＝，所以．解得m＝0或．
此时抛物线的解析式为．
③当顶点E在y轴右侧时，∠FEG为钝角，因此不存在FE＝FG的情况．

第8题图1 第8题图2

9．（1）当D为BC的中点时，AD⊥BC，DE⊥AC，CE．
（2）如图1，由于∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，
所以∠1＝∠2．
又因为AB＝AC，所以∠C＝∠B．
所以△DCE∽△ABD．因此，即．
整理，得．x的取值范围是0≤x≤8．
（3）①如图1，当DA＝DE时，△DCE≌△ABD．因此DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．
②如图2，当AD＝AE时，D与B重合，E与C重合，此时x＝0．
③如图3，当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．因此．解得．

第9题图1 第9题图2 第9题图3