电磁场与电磁波（第4版）教学指导书 第6章 反射与透射.doc

第6章 反射与透射
6.1基本内容概述
本章讨论均匀平面波在不同媒质分界面上的反射与透射，主要内容为：均匀平面波对两种不同媒质（包括：理想介质、一般导电媒质、理想导体）分界平面的垂直入射，均匀平面波对理想介质分界面的斜入射和均匀平面波对理想导体表面的斜入射。
6.1.1 电磁波对分界面的垂直入射
1．对导电媒质分界面的垂直入射
反射系数
(6.1)
透射系数
(6.2)
且
(6.3)
在一般情况下，为复数，故和一般也为复数，这表明在分界面上的反射和透射将引入附加的相位移。
2．对理想导体平面的垂直入射
媒质1为理想介质，媒质2为理想导体，则，、，即产生全反射，媒质1中的合成波为驻波。
（6.4）
（6.5）
合成波的特点：处为合成波电场的波节点和合成波磁场的波腹点；处为合成波电场的波腹点和合成波磁场的波节点；的驻波在时间上有的相移，在空间分布上错开。
3．对理想介质分界面的垂直入射
反射系数和透射系数为实数，媒质1中的合成波的电场为
（6.6）
合成波的电场最大值
（6.7）
出现位置
（n=0,1,2,3,…） (6.8)
合成波的电场最小值
（6.9）
出现位置
（n=0,1,2,3,…） (6.10)

驻波系数(驻波比)
(6.11)
6.1.2 对三层介质分界平面的垂直入射
分界面1处的等效波阻抗
(6.12)
分界面1处的反射系数
(6.13)
四分之一波长匹配层：在两种不同介质之间插入一层厚度的介质，当时，有。
半波长介质窗：如果介质1和介质3是相同的介质，即，当介质2的厚度时，有。
6.1.3平面波对介质分界面的斜入射
1．反射定律与折射定律
斯涅尔反射定律
（6.14)
斯涅尔反射定律
（6.15)
式中：、分别为介质1和介质2的折射率。
2．反射系数与折射系数
① 垂直极化入射
（6.16)
（6.17)
且
（6.18)
② 平行极化入射
（6.19)
（6.20)
且
（6.21)
3．全反射
临界角
（6.22)
发生全反射的条件： 且 。
产生全反射时，，透射波沿分界面方向传播，透射波的振幅在垂直于分界面的方向上呈指数衰减，形成表面波。
4．无反射
布儒斯特角
（6.23)
发生无反射的条件：在的情况下，当时，平行极化波无反射。
任意极化波以布儒斯特角入射到两种介质（）分界面时，平行极化分量已全部透射了，反射波中只包含垂直极化分量。
图 6.1 垂直极化波对理想导体平面的斜入射
图 6.2 平行极化波对理想导体平面的斜入射
6.1.4 平面波对对理想导体平面的斜入射

1．垂直极化入射
媒质1中的合成波电场和磁场
（6.24)
（6.25)
合成波的特点：
① 合成波是沿平行于分界面的方向传播的TE波
② 合成波是非均匀平面波，其振幅在垂直于导体表面的方向（即方向）上呈驻波分布，而且合成波电场在处为零。
2．平行极化入射
媒质1中的合成波
（6.26)
（6.27)
合成波的特点：
① 合成波是沿平行于分界面的方向传播的TM波
② 合成波是非均匀平面波，其振幅在垂直于导体表面的方向（即方向）上呈驻波分布，而且合成波磁场在处达到最大值。
6.2教学基本要求及重点、难点讨论
6.2.1 教学基本要求
均匀平面波对理想导体平面和对理想介质平面的垂直入射，是讨论反射和折射问题的最基本、也是最简单的情形，应掌握其分析方法和过程，理解所得结果表征的物理意义；
了解均匀平面波对多层媒质分界面垂直入射的分析方法，掌握四分之一波长匹配层和半波长介质窗的意义及其应用；
了解均匀平面波对分界面的斜入射问题的分析方法，理解斯涅尔反射定律和折射定律以及反射系数、透射系数的意义；理解全反射现象和无反射现象的概念，掌握其产生的条件，了解其应用。
6.2.2 重点、难点讨论
1．均匀平面波的反射和透射
电磁波在不同媒质分界面上的反射和透射是普遍而重要的现象。简单的均匀平面波经反射后，将会出现波的叠加，形成驻波、混合波、表面波等，引入了许多新概念，是教学中的难点，特别是斜入射问题。
重点是掌握对分界面的垂直入射问题。关于对分界面的斜入射问题，重点掌握反射与透射的分析方法以及反射系数和透射系数的概念。
均匀平面波入射到无限大理想介质和理想导体平面的基本分析方法是根据电场强度、磁场强度和波矢量三者之间的关系，写出入射波、反射波和透射波的数学表达式，然后利用分界面上电场强度切向分量和磁场强度切向分量的边界条件，以入射波的场强分量表达反射波场强分量和透射波场强分量，包括反射波、透射波的传播方向和反射波、透射波的振幅，即反射系数与透射系数。
在分析均匀平面波对分界面的斜入射问题时，将入射波分为垂直极化入射波和平行极化入射波两种情况来讨论，这是因为入射波为垂直极化波时，反射波和透射波也只有垂直极化分量，而不可能产生平行极化分量；同样，入射波为平行极化波时，反射波和透射波也只有平行极化分量，而不可能产生垂直极化分量。也就是说，这两种极化波之间互不影响。任意极化波则分解为两种极化波的叠加。
对于平行极化波的反射系数和透射系数的定义在不同的教材可能有差异。在本教材中是按反射波的总电场强度、透射波的总电场强度与入射波的总电场强度来定义的，即

此时，反射系数和透射系数的关系为

另一种定义是按电场强度在分界面上的切向分量来定义平行极化入射的反射系数和透射系数，即

此时，反射系数和透射系数的关系为

这与垂直极化入射时与的关系相同。
应当强调的是，无论采用哪种定义，反射系数和透射系数都只是描述了入射波、反射波和透射波的电场强度在不同媒质分界面上的相互关系。不同定义的差异只是形式上的，并不会影响最终的场分布结果。
2．波的全反射现象
平面电磁波斜入射到理想导体表面上会发生全反射。在一定条件下，平面电磁波斜入射到理想介质分界面时也会发生全反射。这种全反射现象有重要意义和实用价值，例如光纤通信就是根据全反射的原理实现的。
平面电磁波在理想介质分界面上的全反射与在理想导体表面上的全反射有所不同。在理想导体表面上发生的全反射，只有反射波，没有透射波；而在理想介质分界面上发生全反射时，不仅有反射波，还存在透射波。那么应怎样理解平面电磁波在理想介质分界面上的全反射呢?
平面电磁波在理想介质分界面上的全反射是反射系数的模等于1的一种反射与透射现象。当发生全反射时，透射波是只存在于分界面的第二种介质一侧的薄层内、沿分界面方向传播的所谓表面波。因此，从某种意义上说，这时并不存在通常意义上的透射波。
当平面波从稠密媒质（介电常数相对较大的介质）入射到稀疏媒质（介电常数相对较小的介质），且入射角等于临界角，即=时，，有

即产生全反射。
而当>，即时，平行极化入射波的反射系数

式中

垂直极化入射波的反射系数

式中

可见，当时，无论入射波是平行极化还是垂直极化，反射系数的模都等于1，表明发生了全反射，只是反射系数的幅角不相等，即。
对于垂直极化入射波，当发生全反射时，透射波电场强度为

则透射波磁场强度为

则透射波的平均坡印廷矢量

因此，折射波平均能流密度只有分量，沿方向透入媒质2中的平均能流密度为零。但其瞬时值并不为零，说明这时媒质2起着吞吐电磁能量的作用。在前半个周期内，电磁能量透入媒质2，在界面附近薄层内储存起来，在后半个周期内，该能量被释放出来变为反射波能量。这就使得透射波成为衰减波的原因。这种衰减不同于导电媒质中存在的衰减，导电媒质中存在着传导电流，必然有电磁能量损耗，从而造成波的衰减。在全反射时，媒质2中不存在传导电流，所以波的衰减只是由于透入的电磁能流不断有所返回造成的．两者有本质的区别。
6.3 习题解答
6.1 有一频率为100MHz、沿方向极化的均匀平面波从空气（区域）中垂直入射到位于的理想导体板上。设入射波电场的振幅为，试求：
（1）入射波电场和磁场的复矢量；
（2）反射波电场和磁场的复矢量；
（3）合成波电场和磁场的复矢量；
（4）距离导体平面最近的合成波电场为零的位置；
（5）距离导体平面最近的合成波磁场为零的位置。
解 （1）

则入射波电场和磁场的复矢量分别为

（2）反射波电场和磁场的复矢量分别为

（3）合成波电场和磁场的复矢量分别为

（4）对于，当时，。而在空气中，第一个零点发生在处，即

（5）对于，当，即时为磁场在空气中的第一个零点。
6.2 一均匀平面波沿方向传播，其电场强度矢量为
V/m
（1）应用麦克斯韦方程求相伴的磁场；
（2）若在波传播方向上处放置一无限大的理想导体板，求区域中的合成波电场和磁场；
（3）求理想导体板表面的电流密度。
解 （1）将已知的电场写成复数形式

由得

写成瞬时值表示式

（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为

即区域内的反射波电场为

与之相伴的反射波磁场为

至此，即可求出区域内的总电场和总磁场。

故

同样

故

（3）理想导体平面上的电流密度为

6.3 均匀平面波的频率为16GHz，在聚苯乙烯（、、）中沿方向传播，在cm处遇到理想导体，求：
（1）电场的位置；
（2）聚苯乙烯中和的比值。
解 （1）令，设电场振动方向为，则在聚苯乙烯中的电场为

故的位置为

即

将、、代入，则有

故

（2）聚苯乙烯中的磁场

所以

6.4 均匀平面波的电场振幅为100V/m，从空气中垂直入射到无损耗介质平面上（介质的、、），求反射波与透射波的电场振幅。
解

反射系数为

透射系数为

故反射波的电场振幅为

透射波的电场振幅为

题6.5图
6.5 设一电磁波，其电场沿方向、频率为1GHz、振幅为100V/m、初相位为零，垂直入射到一无损耗介质表面（），如题6.5图所示。
（1）求每一区域中的波阻抗和传播常数；
（2）分别求两区域中的电场、磁场的瞬时形式。
解 （1）波阻抗

得

对于无损耗介质

得

（2）区的入射波为

反射波为

故合成波为

Ⅱ区只有透射波

6.6 均匀平面波从媒质1入射到与媒质2的平面分界面上，已知、。求使入射波的平均功率的10%被反射时的的值。
解 由题意得下列关系

而

代入中，得
或
故
或
6.7 入射波电场 V/m，从空气（区域）中垂直入射到的分界面上，在区域中、、。求区域的电场和磁场。
解 区域，本征阻抗

透射系数

相位常数

故

6.8 已知区域中媒质1的、、，区域中媒质2的、、，角频率的均匀平面波从媒质1垂直入射到分界面上。设入射波是沿轴方向的线极化波，在、时，入射波电场振幅为2.4V/m。求：
(1) 和；
(2) 反射系数；
(3) 媒质1的电场；
(4) 媒质2的电场；
(5) ns时，媒质1中的磁场的值。
解 （1）

（2）

故
（3）电场方向为，则

故

或

（4）
式中

故

（5）

当、时

6.9 一圆极化波自空气中垂直入射于一介质板上，介质板的本征阻抗为。入射波电场为。求反射波与透射波的电场，它们的极化情况如何？
解 设媒质1为空气，其本征阻抗为，故分界面上的反射系数和透射系数分别为

式中

都是实数，故也是实数。
反射波的电场为

可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为

式中，是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
6.10 证明：均匀平面波从本征阻抗为的无耗媒质垂直入射至另一种本征阻抗为的无耗媒质的平面上，两种媒质中功率密度的时间平均值相等。
解 设磁场传播方向为，媒质1中的功率密度平均值为

媒质2中的功率密度平均值为

所以

将代入上式，可得到，故

6.11 均匀平面波垂直入射到两种无损耗电介质分界面上，当反射系数与透射系数的大小相等时，其驻波比等于多少？
解 由题意有下列关系

由此可得

即

故驻波系数

由，还可得到

若媒质得磁导率，则可得到

6.12 均匀平面波从空气垂直入射到某电介质平面时，空气中的驻波比为，介质平面上为驻波电场最小点，求电介质的介电常数。
解 根据题意有

由此求得

因介质平面上是驻波最小点，故应取

由反射系数

得

故电介质的介电常数

6.13 均匀平面波从空气中垂直入射到理想电介质（、、）表面上。测得空气中驻波比为2，电场振幅最大值相距，且第一个最大值距离介质表面。试确定电介质的相对介电常数。
解 由 ，得，所以电场振幅第一个最大值距离介质表面，故反射系数。
由，得到

又
故得到

6.14 的区域1和的区域2都是理想电介质，频率的均匀平面波沿方向传播，在两种电介质中的波长分别为和。（1）计算入射波能量被反射的百分比；（2）计算区域1中的驻波比。
解 （1）在理想电介质中
由
得

反射系数

故入射波能量被反射的百分比为

（2）区域1中的驻波比为

6.15 频率的均匀平面波由空气中垂直入射到海平面上，已知海水的、、。试确定入射功率被海平面反射的百分比。
解 ，可视为良导体，则

反射系数

故入射波功率被海平面反射的百分比为

6.16 均匀平面波的电场强度为，此波从空中垂直入射到、损耗角正切为的导电媒质表面上，如题6.16图所示。
（1）求反射波和透射波的电场与磁场的瞬时表达式；
（2）求空气中及损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。
解（1）根据已知条件求得如下参数。
在空气中

在导电耗媒质中

分界面上的反射系数为

透射系数为

故反射波的电场和磁场的复数表示式为

则其瞬时表示式为

而媒质2中的透射波电场和磁场为

故其瞬时表示式为

（2）

6.17 为自由空间，的区域中为导电媒质（、及）。均匀平面波垂直入射到分界面上，。求：
(1) 和；
(2) 分界上的反射系数；
(3) 反射波电场；
(4) 透射波电场。
解 （1）由题意1区为自由空间，2区为损耗媒质。则

（2）

反射系数

（3）

（4）

式中

所以

6.18 在自由空间（）中沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到处的导体平面上。导体的电导率、。自由空间电磁波的频率f=1.5MHz、电场振幅为1V/m。在分界面()处，E由下式给出

对于的区域，求。
解 在导体中

可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故

分界面上的透射系数为

入射波电场的复数表示式可写为

则z>0区域的透射波电场的复数形式为

与之相伴的磁场为

则

题6.19图
6.19 如题6.19图所示，区域的媒质介电常数为，在此媒质前置有厚度为、介电常数为的介质板。对于一个从左面垂直入射来的TEM波，证明当、时（为自由空间的波长），没有反射。
解 媒质1中的波阻抗为
（1）
媒质2中的波阻抗为
（2）
当时，由式（1）和（2）得
（3）
而分界面（即）处的等效波阻抗为

当、即时
（4）
分界面处的反射系数为
（5）
将式（3）和（4）代入式（5），则得

即时，分界面处无反射。
6.20 均匀平面波从空气中垂直入射到厚度的聚丙烯（、、）平板上。（1）计算入射波能量被反射的百分比；（2）计算空气中的驻波比。
解 （1），，
反射面处的等效波阻抗为

反射系数

故入射波能量被反射的百分比为

（2） 空气中的驻波比为

6.21 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？
解 通常天线罩的内、外都是空气，即，无反射的条件为

频率f0=3GHz时

则介质板的厚度应为

当频率偏移到f=3.1GHz时，

故

而

故此时的等效波阻抗为

反射系数为

反射功率密度与入射功率密度之比为

即频率偏移到3.1GHz时，反射功率将增大0.36%。
当频率偏移到f=2.9GHz时，

故

故此时的等效波阻抗为

反射系数为

反射功率密度与入射功率密度之比为

即频率下偏到时，反射功率将增加约0.25%。
6.22 题6.22图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。
解 题6.22图中，区域（1）为空气，其波阻抗为

区域（2）为良导体，其波阻抗为

区域（3）为理想介质，其波阻抗为

区域（4）为理想导体，其波阻抗为

分界面②上的等效波阻抗为

分界面①上的等效波阻抗为
（1）
式中的是良导体中波的传播常数，为双曲正切函数。
由于良导体涂层很薄，满足，故可取，则式（1）变为
（2）
分界面③上的反射系数为

欲使区域（1）中无反射，必须使

故由式（2）得
（3）
将良导体中的传播常数和波阻抗代入式（3），得

这样，只要取理想介质层的厚度，而良导体涂层的厚度，就可消除分界面①上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面③时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面（即分界面③上产生全反射，则在离该表面处（即分界面②出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。
6.23 均匀平面波从空气中以的入射角进入折射率为的玻璃中，试分别就下列两种情况计算入射波能量被反射的百分比：
（1）入射波为垂直极化波；
（2）入射波为平行极化波。
解 （1）入射波为垂直极化波时，反射系数

入射波能量被反射的百分比为

（2）入射波为平行极化波时，反射系数

入射波能量被反射的百分比为

6.24 垂直极化的均匀平面波从水下以入射角投射到水与空气的分界面上，已知淡水的、、。试求：
（1）临界角；
（2）反射系数及透射系数；
（3）透射波在空气中传播一个波长的距离的衰减量（以dB表示）。
解 （1）临界角为

（2）反射系数为

透射系数为

（3）由于，故此时将产生全反射。由斯涅尔折射定律得

此时

故空气中的透射波电场的空间变化因子为

由上式即得透射波传播一个波长时的衰减量为

6.25 均匀平面波从、的理想电介质中斜入射到与空气的分界面上。试求：（1）希望在分界面上产生全反射，应该采取多大的入射角；（2）若入射波是圆极化波，而只希望反射波成为单一的直线极化波，应以什么入射角入射？
解 （1）均匀平面波是从稠密媒质（）入射到稀疏媒质（），若取入射角大于（或等于）临界角（），就可产生全反射。

故取时可产生全反射。
（2） 圆极化波可分解为平行极化和垂直极化两个分量，当入射角等于布儒斯特角时，平行极化分量就产生全透射，这样，反射波中只有单一的垂直极化分量。即

6.26 频率的均匀平面从媒质1（、、）斜入射到媒质2（、、）。（1）若入射波是垂直极化波，入射角，试问在空气中的透射波的传播方向如何？相速是多少？（2）若入射波是圆极化波，且入射角，试问反射波是什么极化波？
解 （1）先计算临界角

可见，，垂直极化波的入射波要产生全反射。据折射定律，得

可见，没有实数解，为虚数，即

透射波的波数为

透射波的波矢量为

故透射波的电场为

即透射波沿分界面方向传播（表面波），其相速为

（2）当入射波是圆极化波时，入射角临界角，故有，，即垂直极化分量和水平极化分量都产生全反射。但反射系数的幅角分别为

故反射波是椭圆极化波。
6.27 一垂直极化波从水中以角入射到水和空气的分界面上，设水的参数为：、、。若、时，入射波电场，试求空气中的电场值：（1）在分界面上；（2）离分界面处。
解 平面波从水（）中入射到空气（），临界角为

可见，入射角（）大于临界角（），将产生全反射。根据折射定律，得
（1）
可见，无实数解，为虚数，即
（2）
而垂直极化波斜入射时，透射波的电场为
（3）
将式（1）和（2）代入式（3），得
（4）
式（4）中的透射系数为

（1）分界面上的电场值为

（2）距分界面处的电场值为

6.28 一个线极化均匀平面波从自由空间斜入射到、、的理想介质分界面上，如果入射波的电场与入射面的夹角为45o。试求：
（1）入射角为何值时，反射波为垂直极化波；
（2）此时反射波的平均功率是入射波的百分之几？
解 （1）由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小相等，均为。当入射角等于布儒斯特角时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。所以

（2）当时，垂直极化分量的反射系数为

故反射波的平均能流密度为

而入射波的平均能流密度为

故得到反射波的平均功率与入射波的百分比

6.29 有一正弦均匀平面波由空气斜入射到位于的理想导体平面上，其电场强度的复数形式为 。求
（1）入射波的频率与波长；
（2）和的瞬时表达式
（3）入射角；
（4）反射波的和；
（5）总场的和。
解 （1）由已知条件知入射波的波矢量为

故波长为

频率为

（2）入射波传播方向的单位矢量为

入射波的磁场复数表示式为

则得其瞬时表示式

而电场的瞬时表示式为

（3）由，得
故
（4）据斯耐尔反射定律知，反射波的波矢量为

而垂直极化波 对理想导体平面斜入射时，反射系数。故反射波的电场为

与之相伴的磁场为

（5）合成波的电场为

合成波的磁场为

6.30 频率的平行极化正弦均匀平面波，在空气（的区域）中以入射角斜入射到处的理想导体表面。设入射波磁场的振幅为、方向为方向，如题6.30图所示。
（1）求出入射波、反射波的电场和磁场表达式；
（2）求理想导体表面上的感应电流密度和电荷密度；
（3）求空气中的平均功率密度。
解 （1）设入射波磁场为

其中

入射波的电场为

反射波的磁场为

（2）空气中合成波的磁场为

理想导体表面的电流密度为

空气中合成波的电场为

理想导体表面的电荷密度为

（3）
6－27.