电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第3章 静态电磁场及其边值问题的解.doc

第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 基本内容概述
静态电磁场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。本章分别讨论了它们的基本方程和边界条件，位函数，能量和力，电容、电阻和电感，最后介绍静态场边值问题的几种解法（镜像法、分离变量法和有限差分法）。
3.1.1静电场
1.基本方程和边界条件
基本方程的微分形式

基本方程的积分形式

边界条件
或 （3.5）
或 （3.6）
2.电位函数
（1）电位函数及其微分方程
根据电场的无旋性（），引入电位函数，使
（3.7）
电位函数与电场强度E的积分关系是
（3.8）
在均匀、线性和各向同性电介质中，已知电荷分布求解位函数
点电荷 （3.9）
体密度分布电荷 （3.10）
面密度分布电荷 （3.11）
线密度分布电荷 （3.12）
在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程
（3.13）
或拉普拉斯方程（时）
（3.14）
（2）电位的边界条件
（3.15a）
（3.15b）
3. 电场能量和电场力
（1）能量及能量密度
分布电荷的电场能量 （3.16）
多导体系统电场能量 （3.17）
能量密度为 （3.18）
（2）电场力
用虚位移法求电场力
（3.19a） （3.19b）
4.电容及部分电容
在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为

多导体系统，每个导体的电位不仅与本身所带的带有关，还与其它导体所带电荷有关。为表征这种关联性，引入部分电容的概念，分为自有部分电容和互有部分电容。
3.1.2 恒定电场
1.基本方程和边界条件
基本方程的微分形式

基本方程的积分形式

边界条件：
或 （3.22a）
或 （3.22b）
用电位表示为
（3.23a）
（3.23b）
2.静电比拟法
均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部区域）与均匀电介质中的静电场（的区域）可以相互比拟。根据这种可比拟性，可以利用已经得到的静电场的解来比拟地得到对应的恒定电场的解。
3.电导
导电媒质中两电极间的电导为

3.1.3 恒定磁场
1.基本方程和边界条件
基本方程
微分形式

积分形式

边界条件
或 （3.26a）
或 （3.26b）
2.矢量磁位
（1）矢量磁位及其微分方程
根据恒定磁场的无源性（），引入矢量磁位A，使得
（3.27）
在均匀、线性和各向同性磁介质中，已知电流求解矢量磁位
体分布电流 （3.28）
面分布电流 （3.29）
线电流 （3.30）
在均匀、线性和各向同性磁介质中，矢量磁位满足泊松方程
（3.31）
或拉普拉斯方程（时）
（3.32）
（2）矢量磁位的边界条件
（3.33a）
（3.33b）
3.标量磁位
在没有传导电流的区域（）由于，可引入标量磁位，使得
（3.34）
在均匀、线性和各向同性磁介质中，标量磁位满足拉普拉斯方程
（3.35）
在两种磁介质的分界面上，标量磁位的边界条件是
（3.36a）
（3.36b）
4.磁场能量和磁场力
（1）能量和能量密度
多个电流回路的能量 （3.37）
分布电流的能量 （3.38）
能量密度 （3.39）
（2）磁场力
用虚位移法求磁场力
（3.40a）
（3.40b）
5.电感
回路的自感 （3.41）
回路的互感 ， （3.42）
纽曼公式 （3.43）
3.1.4 边值问题及其解的惟一性
1.边值问题的类型
第一类边值问题：已知位函数在场域边界上的值。
第二类边值问题：已知位函数在场域边界上的法向导数。
第三类边值问题：已知在部分场域边界上的位函数值和另一部分场域边界上的位函数法向导数。
2 .惟一性定理
在场域V的边界面S上给定位函数或的值，则位函数的泊松方程或拉普拉斯
方程在场域V内有惟一解。
3.1.5 镜像法
1.点电荷（或线电荷）对无限大接地导体平面的镜像法
， （3.44）
2.点电荷对导体球面的镜像法
（1）导体球接地
（3.45）
（2）导体球不接地
（3.46）
3.线电荷对接地导体圆柱面的镜像法
（3.47）
4.介质分界平面的镜像法
（1）点电荷对电介质分界平面的镜像
（场点在介质1内） （3.48a）
（场点在介质2内） （3.48b）
（2）线电流对磁介质分界平面的镜像
（3.49a）
（3.49b）
3.1.6 分离变量法
1.直角坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程

方程的通解

（3.50a）
或

（3.50b）
2.圆柱坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程

方程的通解
（3.51）
3.球面坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程

方程的通解
（3.52）
3.1.7 有限差分法
有限差分法的基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布，用求解网格节点上离散的数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似替代场域内的偏微分方程来求解。
采用正方形网格划分时，二维拉普拉斯方程的差分格式为
（3.53）
3.2 教学基本要求及重点、难点讨论
3.2.1 教学基本要求
掌握静电场的基本方程和边界条件，掌握静电场中的电位函数及其微分方程，掌握电位的边界条件；理解电场能量和能量密度的概念，会计算一些典型场的能量，会计算典型双导体的电容。
掌握恒定电场的基本方程和边界条件，了解静电比拟法，会计算典型导体的电阻。
掌握恒定磁场的基本方程和边界条件，理解矢量磁位及其微分方程，了解标量磁位的概念。理解磁场能量和能量密度，会计算一些典型场的磁场能量，会计算典型回路的电感。
理解静电场的惟一性定理及其重要意义。
掌握镜像法的基本原理，会用镜像法求解一些典型问题。
了解分离变量法的基本思想和解题步骤，能够用分离变量法求解直角坐标系中的一些简单的二维问题。
3.2.2 重点、难点讨论
1.静电场的基本方程
静电场的基本方程揭示了静电场的基本性质，是分析计算静电场问题的基础。
（1）静电场的基本方程有积分形式和微分形式两种表示。积分形式的基本方程描述某个区域内静电场的整体性质，例如表示穿过任一闭合面S的电位移矢量D的通量等于该闭合面包围的自由电荷的总量，与束缚电荷无关。微分形式的基本方程描述场中每一点的性质例如表明场中某点D的散度等于该点的自由体电荷密度。
（2）高斯定律及其微分形式表明静电场是有源场（有通量源），电荷是产生静电场的源；电力线从正电荷出发，终止于负电荷。环路定理及其微分形式表明静电场是无旋场（无旋涡源），是保守场。
（3）在不同媒质的边界面上，场矢量E和D一般是不连续的，和失去意义。所以，微分形式的基本方程在边界面上不再适用，而积分形式的基本方程仍然适用。
2.电位
电位是静电场中的一个重要概念。在课程教学中，应注意以下几点：
（1）电位的定义虽然是从静电场的无旋性引入的，但它有明确的物理意义，它表示在电场中，将单位正电荷从P点移动到参考点Q时电场力所作的功。表示为

（2）点电荷的电位计算公式为我们提供了对任何所要计算的场点r处电位的一种方法。对于点电荷系，利用公式（3.9）求得所有点电荷在场点r处产生的电位，再由求得电场矢量E。显然比直接计算各点电荷的电场矢量之和要容易些，这也是引入电位的优越性之一。
如果源电荷是连续分布的，则可以利用公式（3.10）、（3.11）和（3.12）来计算电位。
（3）计算电位的公式（3.9）～（3.12）中保留了一定程度的不确定性。也就是说，电位总是包含有一个任意的附加常数，且可以对该常数任意赋值，而不会改变原问题的基本性质。因为与有相同的结果。
（4）电位是一个相对量，在电场一定的情况下，空间各点的电位值，与参考点的选择密切相关。如何选择电位参考点？一般应考虑到以下几点：首先，电位参考点的选择有一定的任意性。因此可以选择适当的参考点，使电位表示式具有最简单的形式。例如，点电荷的电位，若选无限远处为参考点，则得；若选距离点电荷处为参考点，表达式则为。通常就是选择无限远处为电位参考点。其次，电位参考点的选择不是完全不受限制的。为了能应用电位来描述电场各点的特性，在选择参考点后，场中各点的电位应有确定的值。具体来说有以下四种限制：一是不能选择点电荷所在点为电位参考点，否则会使场中各点电位为无穷大，这是没有意义的。二是只有当电荷分布在有限区域时，才可以选择无限远处为电位参考点。三是对一些具有轴对称性的问题通常也不能选择无限远处为电位参考点，而是选择半径的圆柱面作为电位参考点。例如，对于同轴线问题可选择外导体作为电位参考点。四是同一问题只能选定一个电位参考点。
在实际的电位测量中，通常选择“地”作为电位参考点。
（5）在静电场中，电位相等的点组成的面称为等位面。一旦求得电位函数，就可得出等位面，这样就可应用等位面族形象地描述静电场。例如，点电荷产生的电场的等位面，是一个以点电荷所在点为中心的同心球面族。（以无限远处为电位参考点）。
（6）利用公式（3.10）、（3.11）或（3.12）计算电位，有时是困难的。我们可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程来得到电位解。
3.静电场能量
静电场的基本特性表现为它对静止电荷有作用力，说明静电场有能量。对于常用的静电场能量的几种表示式应注意以下几点：
（1）表示点电荷系的互有能，式中的是除外的其余点电荷在处产生的电位，这个互有能也是该点电荷系的总静电能。
（2）表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有电荷密度不为零的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只储存在有电荷区域。此公式只能应用于静电场。
（3）表示静电场能量储存在整个电场区域中，所有的区域都对积分有贡献，称为电场能量密度。公式既适用于静电场，也适用于时变电磁场。
4.静电场问题的求解
静电场问题可分为两大类：分布型问题和边值型问题。已知电荷分布，求场分布，或已知电场分布，求电荷分布，这属于分布型问题。求解的方法有：
（1）直接利用电场强度的计算公式（2.11）～（2.14），由已知的电荷分布求出电场强度。当然，只有对一些电荷分布较简单的情况，这种方法才易于进行。
（2）直接利用电位函数的计算公式（3.9）～（3.12），由已知的电荷分布求得电位，再由求得电场求得E。
（3）应用高斯定理求解对称分布的电场。
当电场分布具有某种空间对称性（譬如平面对称、轴对称、球对称等）时，就可找到一个高斯面，使该面上的电场等于常数，这样就很便捷地求得场分布。
对于一些非对称分布的场，有时可将其划分为若干个对称场分别利用高斯定理求解，然后再叠加。
a
b

图3.1
a
b

图3.2

当存在两种不同介质的分界面时，有两种情况也适合用高斯定律求解。第一种是在介
质分界面上，电场强度E只有法向分量，这时电位移矢量D呈对称分布，就可直接利用求得D，再由求得E。例如，图3.1所示的半径分别为a和b的同心球壳之间有两层介质，此时D具有球对称性，可直接利用据已知电荷分布求得D。第二种是在介质分界面上，E只有切向分量。根据电场边界条件应有，但，即E呈对称分布。此时，利用，，，将变为即可求得E。例如，图3.2所示的同心球壳之间，两种介质分别填充了一半的空间，此时有，即E呈球对称分布，应用上述转换即可求得E。
（4）已知电场或电位分布，求电荷分布，可利用或求得体电荷密度；利用求得极化电荷体密度。利用边界条件求得导体表面的自由电荷面密度或介质表面的极化电荷面密度。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位，这就是边值问题。求解边值型问题的方法有：
直接积分法——对于一维的拉普拉斯方程或泊松方程进行直接积分，根据已知边界条件确定积分常数。
分离变量法——求解二维、三维的的经典方法。
镜像法——一种间接求解法。
有限差分法、有限元法、矩量法、边界元法等——这一类属于数值法。
5.静电比拟
电荷的流动形成电流。在多数情况下，电荷流动是由于空间存在电场，该电场对电荷的作用力引起电荷的宏观运动。当电荷流动不随时间变化时，称为恒定电流，对应的电场称为恒定电场。欲在导体中形成恒定电流，必须在导体两端施加恒定电源。
当我们将研究的范围限于电源外部的导体中时，恒定电场也是保守场，可用电位梯度来表示。根据惟一性定理，均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部）与均匀电介质中的静电场（的区域）在满足一定条件时是可以相互比拟的。有两方面的应用：其一，恒定电场问题可转化为相应的静电场问题求解，或直接利用静电场问题的结果，比拟地得出对应的恒定电场的解。其二，静电场问题可通过相应的恒定电流场模型来进行实验研究。这是因为恒定电流场模型更易于建立和便于测量。
6.恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程揭示了恒定磁场的基本性质，是分析计算恒定磁场问题的基础。
（1）恒定磁场的基本方程有积分形式和微分形式两种表示。磁通连续性原理及其微分形式表明恒定磁场是无源场（无通量源），磁感应线是无头无尾的闭合线。安培环路定理及其微分形式表明恒定磁场是有旋场（有漩涡源），恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
（2）恒定磁场基本方程适用于任何磁介质。对于线性和各向同性磁介质，有关系式。
7.矢量磁位
矢量磁位是为了简化恒定磁场分析而引入的一个辅助矢量，没有明确的物理意义。其定义的依据是恒定磁场的无源性（）
矢量恒等式表明任何矢量场的旋度的散度恒等于零。因此，我们选择

式中的A就称为矢量磁位，它自然满足磁感应强度B的散度等于零的基本方程，故A的定义具有普遍意义，即任何恒定磁场都可以用A矢量表示。
（1）只规定了A的旋度，为惟一地确定A还必须规定A的散度。在恒定磁场分析中，规定，这样就将A的微分方程最大限度地简化为泊松方程。
（2）在直角坐标系中，矢量拉普拉斯运算可以展开为三个分量的标量拉普拉斯运算的矢量和，即

上式右边的是标量拉普拉斯算符。但在其它坐标系中不存在这样比较简单的结果，在圆柱坐标系中仅只对z分量才有

（3）由电流源分布求矢量磁位的直接积分公式是（3.28）～（3.30），从这些公式可看出，电流元的矢量磁位都是与电流元平行的矢量。显然，通过矢量磁位A来求磁感应强度B，比直接求B来得简单，特别是在适当选择的坐标系下，A只有一个分量，而B却不只一个分量。
（4）矢量磁位的微分方程与静电位的泊松方程在形式上是相似的,但求解方程要复杂得多。对一些特殊的电流分布，则可将A满足的泊松方程化为标量方程。例如，电流沿z轴方向流动，即，若求解场域的界面是与z轴平行的柱面，则A也只有z方向的分量，且与z变量无关，即，则方程化为标量泊松方程。
（5）磁通也可以通过矢量磁位A来计算。

即穿过曲面S的磁通量等于A沿次曲面的周界的闭合线积分。通常，由A计算磁通量比由B计算要简单。
8.恒定磁场问题的求解
求解恒定磁场问题的思路与求解静电场问题有相同或相似之处。
（1）用直接积分法求解
对由已知的源电流分布，求磁场分布问题，可以利用公式（2.20）～（2.22）进行直接积分求得磁感应强度B，还可以利用公式（3.28）～（3.30）直接积分求得矢量磁位A，再由求得磁感应强度B。
（2）应用安培环路定律求解磁场
正像在静电场问题中应用高斯定律求解那样，如果问题具有足够的对称性，我们就可以利用安培环路定律来求得磁场分布。关键的问题是选择合适的闭合积分路径，所寻求的积分路径应该是H在其上具有恒定大小的曲线，以及H平行于（或垂直于）积分路径的横切方向的切线。例如，无限长直线电流的磁场、无限大平面电流层的磁场、均匀密绕环行线圈的磁场等，都可应用安培环路定律求磁场。
（3）求解A的泊松方程或拉普拉斯方程；或求解标量磁位满足的拉普拉斯方程。
（4）应用磁场的镜像法。
9.镜像法
镜像法是一种电场问题（也可用于磁场问题）的间接求解法。
（1）镜像法的基本思想是用位于场域边界外虚设的较为简单的镜像电荷来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将分界面移去，这样就把原来有分界面的非均匀媒质空间变换成无界的单一媒质空间来求解。
（2）镜像法的理论依据是静电场解的惟一性定理。在保持导体形状、尺寸、带电状态，以及媒质特性不变的情况下，满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件的解是惟一的。镜像法巧妙地应用这一原理，针对多种典型的电磁场问题，把复杂问题简单化，形成了一套有效的解法。
（3）应用镜像法的两个要点：一是正确找出镜像电荷的个数、位置以及电荷量的大小和符号，以满足边界条件不变为其准则。二是注意保持待求解的场域（称为有效区）内的电荷分布不变，即镜像电荷必须置于有效区之外。
（4）用镜像法解题时的几个注意点：
● 如果边界面不是单一的平面、球面或圆柱面，而是它们的组合边界面，此时设置一个镜像电荷就不可能满足边界条件而必须再设置镜像电荷的镜像。譬如下面几个典型例子：图3.3所示的在无限大接地导体平面上凸起一个半球面时的镜像法，应该有三个镜像电荷
，
，
d
q
x
z
a
图3.3(a)
d
q

z
x
a

图3.3(b)
，

q

图3.4(b)

图3.4所示的两无限大平行接地导体板之间有一点电荷q，用镜像法求解两板之间的场分布时，将构成一个连续镜像电荷系列。由于镜像电荷距有效区越来越远，当所要求的解答精确度一定时，可以只取有限个数的镜像电荷（譬如3～4个镜像电荷）来得到近似解。
d
q
图3.4(a)

● 两个半无限大导体平面相交构成的劈形区域，只有交角时，才能用镜像法求解，此时的镜像电荷数为（）个。譬如，时，，故有个镜像电荷，如图3.5所示。
● 若，则不能用镜像法求解。因为此时为满足边界面上电位为零的边界条件，所设置的镜像电荷必将进入有效区，这是违背镜像法的基本原理的。

q
图3.5(b)

q
图3.5(a)

10.分离变量法
分离变量法是求解边值问题的一种经典法。在应用分离变量法求解边值问题时，应注意以下几点：
（1）根据场域边界的几何特征，建立适合的坐标系。通常使坐标与场域边界面相吻合，例如具有球面边界的问题，应选择球坐标系；具有圆柱面边界的问题，应选择圆柱坐标系。另外，对一些具有对称性的问题，应结合对称性来确定坐标轴的取向，尽可能减少电位函数的自变量个数，从而降低方程的维数，以简化求解，例如，对于在均匀外电场放入一个导体球的问题，应以球心为坐标原点，极轴沿外场方向建立球坐标系。又如，对于导体球附近有一个点电荷的问题，则应以球心为坐标原点，极轴沿球心和点电荷q的连线建立球坐标系。
（2）正确写出电位函数的通解。当所求场域内存在不同媒质时，应将场域沿媒质分界面划分成几个区域，分别建立各个区域位函数的拉普拉斯方程，并分别写出其通解。
（3）正确写出边界条件。这里的边界条件通常包括：场域边界面上的已知条件、不同媒质分界面上的边界条件以及无界场域问题中的无限远处的边界条件。
3.3 习题解答

题3.1图
3.1 长度为的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场，并用核对。
解 （1）建立如题3.1图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点的电位为

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元在点的电场为

故长为的线电荷在点的电场为

由求，有

可见得到的结果相同。
3.2 一个点电荷位于点，另一点电荷位于点，求空间的零电位面。
解 两个点电荷和在空间产生的电位

令，则有

即
故得
此即零电位面方程，这是一个以点为球心、为半径的球面。
3.3 电场中有一半径为的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

（1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由，可得到
时，
时，

（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

3.4 已知的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
（1）；
（2）；
（3）
（4）。
解 在电荷体密度的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程
（1）
故此函数不是空间中的电位的解；
（2）
故此函数是空间中可能的电位的解；
（3）

故此函数不是空间中的电位的解；
（4）

故此函数不是空间中的电位的解。
3.5 一半径为的介质球，介电常数为，其内均匀分布自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为
解 根据高斯定理，得
时，
即 ，
时，
故 ，
则得中心点的电位为

3.6 电场中一半径为、介电常数为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上

故有
，
可见和满足球表面上的边界条件。
介质球表面的束缚电荷密度为

3.7 无限大导体平板分别置于x=0和x=d处，板间充满电荷，其体电荷密度为，极板的电位分别为0和，如题3.7图所示；求两极板之间的电位和电场强度。
解 两导体板之间的电位满足泊松方程，故得

x
题3.7图

解此方程，得

在处，，故
在处，，故
得

故

3.8 试证明：同轴线单位长度的静电储能。式中为单位长度上的电荷量，为单位长度上的电容。
解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

内外导体间的电压为

则同轴线单位长度的电容为

则得同轴线单位长度的静电储能为

3.9 有一半径为、带电量的导体球，其球心位于介电常数分别为和的两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。
解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到

即
所以
导体球的电位

故导体球的电容

（2） 总的静电能量为

3.10 两平行的金属板，板间距离为，竖直地插入介电常数为的液体中，两板间加电压，试证明液面升高

式中为液体的质量密度，g为重力加速度。
解 设液面上金属板的高度为，宽度为。如题3.10图所示。
当金属板之间的液面升高为时，其电容为
题3.10图

金属板间的静电能量为

液体受到竖直向上的静电力为

而液体所受重力

与相平衡，即

故得到液面上升的高度

3.11 同轴电缆的内导体半径为，外导体内半径为；内外导体之间填充两层损耗介质，其介电常数分别为和，电导率分布为和，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为。当外加电压为时，试求：（1）介质中的电流密度和电场强度分布；（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为，则由，得电流密度

介质中的电场

而

故

则得到两种介质中的电流密度和电场强度分别为

（3）同轴电缆单位长度的漏电阻为

由静电比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为

3.12 在电导率为的无限大均匀电介质内，有两个半径分别为和的理想导体小球，两球之间的距离为，试求两个小导体球面间的电阻。
解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设位于介电常数为的介质中的两个小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，两小球表面的电位为

所以两小导体球面间的电容为

由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为

故两个小导体球面间的电阻为

3.13 在一块厚度为的导电板上， 由两个半径分别为和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如题3.13图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；(3) 沿方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为。
解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为，则有
题3.13 图

故得到沿厚度方向的电阻为

（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为，则

故得到两圆弧面之间的电阻为

（3）设沿方向的两电极的电压为，则有

由于与无关，故得

故得到沿方向的电阻为

3.14 有用圆柱坐标系表示的电流分布，试求矢量磁位和磁感应强度。
解 由于电流只有分量，且仅为圆柱坐标的函数，故也只有分量，且仅为的函数，
即
（）
（）
由此可解得

式中可由和满足的边界条件确定：
① 时，为有限值，若令此有限值为零，故得
② 时，、
即

由此可解得
，
故
（）
（）
空间的磁感应强度为
（）
（）
3.15无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面，如题3.15图所示。试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度和；（2）磁化电流分布。

题3.15图
解 （1）由安培环路定理，可得

故得

（2）磁介质的磁化强度

则磁化电流体密度

由看出，在处，具有奇异性，所以在磁介质中处存在磁化线电流。以轴为中心、为半径作一个圆形回路，由安培环路定理，有

题3.16图

故得到

在磁介质的表面上，磁化电流面密度为

3.16 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为，若此平面电流回路位于磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度和。
解 因为是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，故有。
在磁介质分界面两侧，作一个尺寸为小矩形回路，如题3.16图所示。根据安培环路定律，得
（1）
式中的是与小矩形回路交链的电流。
若平面电流回路两侧为真空，则有
（2）
由于和是分界面上任意两点，由式（1）和（2）可得到

即
题3.17图
媒质②

媒质①

于是

故

3.17 证明：在不同磁介质分界面上，矢量磁位的切向分量是连续的。
解 由得

在磁介质分界面上任取一点，围绕该点作一个跨越分界面的狭长矩形回路，其长为、宽为，且令如题3.17图所示。故得

由于为有限值，上式右端等于零，所以

因平行于分界面，故有

3.18 长直导线附近有一矩形回路，此回路与导线不共面，如题3.18图所示。试证明：直导线与矩形回路间的互感是

（a）

（b）
题3.18图

解 设长直导线中的电流为，则其产生的磁场为

由题3.18图可知，与矩形回路交链的磁通为

式中

故直导线与矩形回路间的互感为

3. 19 同轴线的内导体是半径为的圆柱，外导体是半径为的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为和两种不同的磁介质，如题3.19图所示。设同轴线中通过的电流为，试求：
（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；
（2）单位长度的自感。
解 同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度，但磁场强度。
（1）利用安培环路定律，当时，有
题3.19图

所以

在 区域内，有

即

故

同轴线中单位长度储存的磁场能量为

（2）由 ，得到单位长度的自感为

题3.20图
3.20 如题3.20图所示的长螺旋管，单位长度密绕匝线圈，通过电流，鉄心的磁导率为、截面积为，求作用在它上面的磁场力。
解 由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为

设铁心在磁场力的作用下有一位移，则螺旋管内改变的磁场能量为

则作用在鉄心上的磁场力为

可见，磁场力有将铁心拉进螺旋管的趋势。

题 3.21图

3.21 一个点电荷与无限大导体平面距离为，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？
解 利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为的点时，其像电荷，位于点处，如题3.21图所示。像电荷在点处产生的电场为

所以将点电荷移到无穷远处时，电场所作的功为

外力所作的功为

3.22 如题3.22图所示，一个点电荷放在的接地导体角域内的点处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点处的电位。

题 3.22图

解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，如题3.22图所示。

（2）点处电位

3.23 一个电荷量为、质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为。欲使带电小球受到的静电力恰好与重力相平衡，电荷的值应为多少？（设，）。
解 将小带电体视为点电荷，导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为，位于导体平面上方为处，则小带电体受到的静电力为

令的大小与重力相等，即

于是得到

3.24 一个半径为的导体球带有电荷量为，在球体外距离球心为处有一个点电荷。（1）求点电荷与导体球之间的静电力；（2）证明：当与同号，且成立时，表现为吸引力。

题 3.24图

解 用镜像法求解，像电荷和的大小和位置分别为
，
，
如题3.24图所示。
导体球自身所带的电荷则用位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为

（2）当与同号，且表现为吸引力，即时，则应有

题3.25图
由此可得出

3.25 一半径为的无限长金属圆柱薄壳，平行于地面，其轴线与地面相距为。在圆柱薄壳内距轴线为处，平行放置一根电荷线密度为的长直细导线，其横截面如题3.25图所示。设圆柱壳与地面间的电压为。求：金属圆柱薄壳内外的电位分布。
解 线电荷在金属圆柱薄壳内表面引起的感应电荷，用镜像电荷等效替代，如题3.25图(a)所示，图中，位于。圆柱薄壳内任一点的电位为

题3.25图(a)

其中

因，，故得

则

求圆柱薄壳外任一点的电位时，地面对圆柱薄壳的影响可用镜像圆柱等效替代，如题3.25图(b)所示，图中

题3.25图(b)