电磁场与电磁波（第4版）教学指导书 第4章 时变电磁场.doc

第4章 时变电磁场
4.1基本内容概述
这一章主要讨论时变电磁场的普遍规律，内容包括：电磁场的波动方程，动态矢量位和标量位，坡印廷定理与坡印廷矢量，时谐电磁场。
4.1.1波动方程
在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电场E和磁场H满足波动方程
（4.1）
（4.2）
4.1.2 动态矢量位和标量位
在时变电磁场中，动态矢量位和动态标量位的定义为
（4.3）
（4.4）
应用洛仑兹条件
（4.5）
可得到和的微分方程为
（4.6）
（4.7）
4.1.3 坡印廷定理和坡印廷矢量
1．坡印廷定理
坡印廷定理表征了电磁场能量守恒关系，其微分形式为
（4.8）
积分形式为
（4.9）
坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面进入体积的电磁能量等于单位时间内体积中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
2．坡印廷矢量
坡印廷矢量是描述电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为
（） （4.10）
它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量传输的方向。
4.1.4 时谐电磁场
1．时谐电磁场的复数表示法
以一定角频率作时谐变化的电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
时谐电磁场可用复数形式来表示
（4.10）
其中
（4.11）
称为电场强度的复数形式或复矢量。
2．麦克斯韦方程的复数形式
时谐电磁场的复矢量满足的麦克斯韦方程为
（4.12）
（4.13）
（4.14）
（4.15）
3．复电容率和复磁导率
在时谐电磁场中，对于存在电极化损耗的电介质，表征其电极化特性的参数是复介电常数（即复电容率）
（4.16）
对于存在磁化损耗的磁介质，表征其磁化特性的参数是复磁导率
（4.17）
对于介电常数为、电导率为的导电媒质，其损耗特性可用等效复介电常数来描述
（4.18）
4．波动方程的复数形式
在无源空间中，电场E和磁场H的复矢量满足的波动方程为
（4.19）
（4.20）
称为亥姆霍兹方程，其中
（4.21）
5．动态矢量位和标量位的复矢量
在时谐电磁场中，动态矢量位和动态标量位的复矢量为
（4.22）
（4.23）
洛仑兹条件为
（4.24）
可得到和的微分方程为
（4.25）
（4.26）
5．平均坡印廷矢量
在时谐电磁场中，一个周期内的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）为
（4.27）
用复矢量来计算，则为
（4.28）
4.2 教学基本要求及重点、难点讨论
4.2.1 教学基本要求
掌握电磁场的波动方程，理解动态矢量位和标量位的概念以及其满足的微分方程。
坡印廷定理是电磁场的能量转换与守恒定律，应深刻理解其物理意义。坡印廷矢量描述了电磁能量的传输，是电磁场中的一个重要概念，必须深刻理解其物理意义并应用它分析计算电磁能量的传输。
惟一性定理是电磁场的重要定理之一，它揭示了电磁场具有惟一确定分布的条件，应很好地理解惟一性定理及其重要意义。
掌握正弦电磁场的复数表示方法及其意义，掌握复数形式的麦克斯韦方程和波动方程，掌握有耗媒质特性参数的描述，掌握平均坡印廷矢量。
4.2.2 重点、难点讨论
1．时变场中的位函数
时变场的位函数是本章的教学重点之一，它讨论电磁辐射和天线的基本出发点。关于时变场的位函数，在教学中应明确以下几个问题：
（1）为什么要用位函数来描述时变场？在无源的问题中，电磁场的波动方程比较简单，通常直接求解场矢量。但在有源的问题中，电磁场的波动方程是非齐次波动方程，场与源的关系较为复杂，直接求解场矢量往往很困难，引入位函数来描述场矢量能简化求解过程。
(2) 位函数具有不确定性。满足下列变换关系

的两组位函数（，）和（，）能描述同一个电磁场问题。也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。
（3）位函数的规范条件。造成位函数的不确定性的原因就是没有规定，可利用位函数的不确定性，通过规范和的条件，也就是规定，使位函数满足的方程进一步简化。在电磁场中，通常采用洛伦兹条件

从而导出达朗贝尔方程。
除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件

在库仑条件下，和满足的方程为（见习题4.6）

应用洛仑兹条件的特点在于：①位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；②解的物理意义非常清楚，明确地反映出电磁场具有有限的传递速度；③矢量位A只决定于J，标量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A，而无需解出，就可得到待求的电场和磁场。
应用库仑条件的特点是：标量位满足泊松方程，容易求解；②但矢量位A方程的形式较为复杂。
必须强调的是，电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位A和标量位满足的方程不同，得到的和的解也不相同，但最终得到的和是相同的。
2．时谐电磁场的复数表示法
在研究时谐电磁场时，常采用复数表达式。一是数学处理带来很大的方便，当场量用复数表示时，所满足的方程中不再出现对时间的偏导数，对问题的分析求解得以简化；二是在物理上，用复数来描述某些物理现象要比实数方便。例如，平面波在有耗媒质中传播时，波的振幅会衰减当采用复数表示时，媒质的损耗特性可用复介电常数或复磁导率来描述，波的传播可由复波矢量来描述。
关于时谐场的复数表示法，应注意以下几点：
（1）客观物理量都是实数，虽然采用了复数表达式，但并不是说实际物理量是复数，而只是用复数来表示实际物理量，其复数表达式的实部或虚部才代表真实物理量。在本教材中，规定取复数表达式的实部代表实际物理量。
（2）在场量的复数表达式中，通常省去时间因子。因此，将场量的复数表达式写成瞬时值形式(即实数表达式)时，应乘上时间因子后再取实部。
（3）由于正弦电磁场可采用复数表示和实数表示两种形式，麦克斯韦方程组也相应有复数形式和实数形式。这两种形式之间有明显的区别，实数形式具有普遍性，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它宏观电磁现象。在实数形式中，场量为实数表达式而复数形式中，场量为复数表达式，故只适用于复数表示的正弦电磁场，切不可将两者混为一谈。
（4）在本教材中，采用来定义复矢量，这里的是复振幅矢量。在有的教材中，采用来定义复矢量为其中的为复有效值矢量。采用复有效值矢量表示方式时，平均坡印廷矢量。此外，也有教材中用来定义复矢量。
（5）在电磁场的书籍中，时间因子的选择有两种形式：在工程技术书籍中一般采用，在电动力学书籍中多采用。时间因子的选择不同，场量的复数表达式就有差异。例如，表示一个沿方向传播的右旋旋圆极化波，若时间因子为，则电场强度的复数表达式为

若时间因子为，则电场强度的复数表达式为

两种表达方式的复矢量不相同，但瞬时场量是相同的。这两种表示之间存在互换关系，也就是说，将前一种表达式中的换成即为后一种表达式，反之亦然。
3．坡印廷矢量和平均坡印廷矢量
坡印廷定理与坡印廷矢量是本章的教学重点之一。坡印廷定理描述了电磁能量守恒与转换规律，它从理论上揭示了电磁场的物质属性，是电磁场的重要定理之一。坡印廷矢量描述了电磁能量的传输状况，它表明S的方向总是与该点处的E、H垂直，E、H、S三者构成右手螺旋关系；S的方向表明该点电磁能量流动的方向，S的值等于穿过与它垂直的单位面积上的电磁功率。坡印廷矢量S既是空间坐标的函数，又是时间的函数，因此，坡印廷矢量的时空分布形象地描绘出电磁能量流动的情况。
需要指出的是坡印廷矢量包含了场量的平方关系，是二次式。二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。当场量用复数形式给出时，必须先取实部再代入，即

例如，一正弦电磁场的电磁强度和磁场强度分别为
和
则坡印廷矢量为

将电磁强度和磁场强度用复数表示，即有
和
则

在正弦电磁场中，常常计算坡印廷矢量在一个周期内的时间平均值，即平均坡印廷矢量

平均坡印廷矢量可以直接用场量的复数形式计算

关于和应注意以下几点：
（1）具有普遍意义。不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它时变电磁场。而只适用于正弦电磁场；
（2） 中的和都是实数形式且是时间的函数，所以也是时间的函数。而中的和都是复矢量，而且与时间无关，所以也与时间无关。
（3）利用，可由计算，但不能直接由计算，也就是说

4.3 习题解答
4.1 证明：在无源的真空中，以下矢量函数满足波动方程，其中，为常数。
（1）；（2）；
（3）
解 （1）

故

即矢量函数满足波动方程。
（2）

故

即矢量函数满足波动方程。
（3）

故

即矢量函数满足波动方程。
4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度的波动方程为

已知矢量函数，其中和是常矢量。试证明满足波动方程的条件是，这里。
解 在直角坐标中

设

则

故

代入方程，得

故

4.3 已知无源的空气中的磁场强度为

利用波动方程求常数的值。
解 在无源的空气中的磁场强度满足波动方程

而

代入方程，得

于是有

故得到

4.4 证明：在无源的真空中，矢量函数满足波动方程，但不满足麦克斯韦方程组。
解

所以

即矢量函数满足波动方程。
另一方面

而在无源的真空中应满足的麦克斯韦方程为

故矢量函数不满足麦克斯韦方程组。
以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。
4.5 证明：在有电荷密度和电流密度的均匀无损耗媒质中，电场强度和磁场强度满足的波动方程
，
解 在有电荷密度和电流密度的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为
（1）
（2）
（3）
（4）
对式（1）两边取旋度，得

而

故
（5）
将式（2）和式（3）代入式（5），得

这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。
同样，对式（2）两边取旋度，得

即
（6）
将式（1）和式（4）代入式（6），得

此即E满足的波动方程。
4.6 在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹条件，而采用库仑规范，导出和所满足的微分方程。
解 将电磁矢量位A的关系式

和电磁标量位的关系式

代入麦克斯韦第一方程

得

利用矢量恒等式

得
（1）
又由

得

即
（2）
按库仑规范，令，将其代入式（1）和式（2）得
（3）
（4）
式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和所满足的微分方程。
4.7 证明：在无源空间（，）中，可以引入矢量位和标量位，定义为

并推导和的微分方程。
解 无源空间的麦克斯韦方程组为
（1）
（2）
（3）
（4）
据矢量恒等式和式（4），知D可表示为一个矢量的旋度，故令
（5）
将式（5）代入式（1），得

即
（6）
根据矢量恒等式和式（6），知可表示为一个标量的梯度，故令

即
（7）
将式（5）和式（7）代入式（2），得
（8）
而

故式（8）变为
（9）
又将式（7）代入式（3），得

即
（10）
令

将它代入式（9）和式（10），即得和的微分方程

4.8给定标量位及矢量位，式中。（1）试证明：；（2）求、、和；（3）证明上述结果满足自由空间的麦克斯韦方程。
解 （1）

故

则

（2）

而

（3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。
4.9 自由空间中的电磁场为

式中。求：
（1）瞬时坡印廷矢量；
（2）平均坡印廷矢量；
（3）任一时刻流入如题4. 9图所示的平行六面体（长、横截面积为）中的净功率。
解 （1）瞬时坡印廷矢量

（2）平均坡印廷矢量

（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体中的净功率为

4.10 已知某电磁场的复矢量为

式中，为真空中的光速，是波长。求：（1）、、各点处的瞬时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。
解 （1）和的瞬时矢量为

则瞬时坡印廷矢量为

故

（2）
4.11 在横截面为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为

式中、、和都是实常数。求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。
解 （1）和的瞬时矢量为

故瞬时坡印廷矢量

（2）平均坡印廷矢量

4.12 在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值

式中为常数，，。试计算通过以坐标原点为球心、为半径的球面的总功率。
解 将和表示为复数形式，有

于是得到平均坡印廷矢量

通过以原点为球心、为半径的球面的总功率

4.13 已知无源的真空中电磁波的电场

证明，其中是电磁场能量密度的时间平均值，为电磁波在真空中的传播速度。
解 电场复矢量为

由，得磁场强度复矢量

所以

另一方面

由于，故有

4.14设电场强度和磁场强度分别为

证明其坡印廷矢量的平均值为

解 坡印廷矢量的瞬时值为

故平均坡印廷矢量为

4.15 在半径为、电导率为的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度。
（1）导线表面外侧的坡印廷矢量；
（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
解：（1）当导线的电导率为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场

根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即。因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为

又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为

故导线表面外侧的电场为

利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为

故导线表面外侧的坡印廷矢量为

由此可见，由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。式中是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
4.16 由半径为的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为，两板间充满介电常数为、电导率为的媒质，如题4.16题所示。设两板间外加缓变电压，略去边缘效应，试求：
题4.16题
（1）电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；
（2）进入电容器的平均功率；
（3）电容器内损耗的瞬时功率和平均功率；
解 （1）电容器中的电场

位移电流密度和传导电流密度分别为

由于轴对称性，两板间的磁场只有分量，且在以轴为中心、为半径的圆周上处处相等。于是由

可得

所以

（2）损耗功率瞬时值为

平均损耗功率为

（3）进入电容器的平均功率为

由此可见有
4.17 已知真空中两个沿方向传播的电磁波的电磁场分别为
，
其中为常数、。证明总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印廷矢量之和。
解 由得磁场复矢量

所以平均坡印廷矢量

合成波电场和磁场复矢量

所以平均坡印廷矢量

由此可见

4.18 试证明电磁能量密度和坡印廷矢量在下列变换下都具有不变性：
，
其中为常数、。
解：（1）

由于，则及，故有

（2）

4－17