湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试卷和答案2020.12.28.docx

“大课改 大数据 大测评”2021 届高三联合测评
数学试卷
2020.12.28
本试题卷共 4 页,22 题。全卷满分 150 分。考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每 小题答案后 ,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改
动, 用橡皮擦干净后 ,再选涂其他 答案标号。回答非选择题 时,用签字笔或钢笔将 答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本 题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是 符合题
目要求的。
1.设集合 ={ | 2 - - 2 < 0}, ={ || |≤1},则 A∩B =
A. {x| -1<x<l}
A x x x B x x
B. {x|-1 < x≤l }
C. {x|-1≤x< l }
D. {x|-1≤x≤l }
D.1-2i
-1 +3i
1-i
2.
=
A.1 + 2i
B. 2-i
C. -2 + i
3. 已知向量a , b 满足|a - b | = 3, | a + 2b | =6, | a | = 2,则| b | =
A. 5 B. 6 C . 2 2
D. 2 3
4. 某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律,因而一年中的第n 月的从事旅游
np 2p
服务工作的人数f (n) 可以近似用函数f (n) = 3000cos( + )+ 4000 来刻画(其中正整数 n 表示一
6 3
年中的月份)．当该地区事从旅游服务工作人数在 5500 或 5500以上时,该地区也进人了一年中的
旅游“旺季”,那么一年中是“旺季”的月份总数有
A. 4 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 7 个
5. 已知等差数列{a }对任意正整数n 都有a -2a +3a =6n +8, 则 a =
n
n
n+1
n+2
2
A. 1
B. 8
C. 5
D. 4
5
A. 5
B. 10
C.15
D.2
2021 届高三联合测评数学试卷第 1 页(共4 页)

7. 党的十八大要求全面实施素质教育,培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人,劳动教
育受到全社会广泛关注．某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼,每
个村至少分 配一 位同学,则甲村恰好分配 2 位同学的概率为
3
2
5
1
5
4
A.5
B.
C.
D.5
x2 y2
8. 已知椭圆C :
+
=1(a > b > 0)的左 右顶点分别为A, B,过x轴上点M(-4,0) 作一直线 PQ与椭
a2 b2
圆交于 P ,Q 两点(异于A,B) ,若直线 AP 和 BQ 的交点为 N,记直线 MN 和AP 的斜率分别为k ,k ,则
1
2
k : k =
1
2
1
1
2
A.3
B. 3
C.
D.2
二 、选择题：本题 共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得3 分。
9. 设a >0, b>0, 则下面不等式中恒成立的是
A.a + b + 1 > a + b
B. | a - b |≥ a - b
2
2
2
1 1
4
C.
≤ ab
D. + ≤
a b a + b
1 1
+
a b
10.某一池塘里浮萍面积 y(单位:m )与时间t(单位:月)的关系为 y = 2 , 列说法中正确的说法是
2
t
A. 浮萍每月增长率为1
B. 第 5 个月时 ,浮萍面积就会超过30m2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍投延到 2m , 3 m , 6 m 所经过时间分别为 t ,t ,t ,则t +t =t
2
2
2
1 2
3
1
2
3
11.下列函数是奇函数,且在[ -1, l ] 上单调递增的是
A.f(x) =sinx
e - e
B.f(x)=-|x+1|
D. f(x) =sin(x + )cos(x + )
π
π
x
-x
C. f (x) =
2
6
3
12.如图,已知平行四边形 ABCD 中,ÐBAD= 60°, AB = 2AD, E 为边AB 的中点 ,将△ADE 沿直线DE
翻折成△A DE. 若M 为线段A C 的中点,则在△ADE 翻折的过程中,下列命题正确的有
1
1
A.异面直线 DE 与A C所成的角可以为90°
1
B.二面角 D-A E-C 可以为 90°
1
1
D. 线段BM的长为定值
三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
2 - x
13.函数f (x ) =
在点(0,f(0) )处的切线方程为
．
2 + x
1
3
x2 y2
14.已知直线 MN: y = x+ 2 和双曲线 C:
-
=1相交于 M, N两点,O为原点 ,则△OMN 面积
9
4
为
.
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2
2
MN 所围成的阴影部分的面积
．
1
e
16. 若 xÎ(0, )时 ,关于x不等式ax e + 2ln x≤0 恒成立,则实数a 的
3
ax
最大值是
.
四、解答题：本 题共 6 小题,共70 分。解 答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
17. (本题满分10 分)
9
4
在△ABC中 ,角 A , B , C 的对边分别 为a, b, c, 且B=2A,c= a,
.
在①a=2, ②b = 13,③△ABC的面积为9 39．这三个条件中任选一个,补 在上面条件中,若问题
16
中三角形存在 ,求△ABC 的周长；若问题中三角形不存在,说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
18. ( 本题满分 12 分)
设数列{a }的前 n 项和为S , 且S = 3a -2, ( nÎ N*)
n
n
n
n
(1) 求数列{a }的通项公式；
n
(2) 不等式S >31 , ( nÎ N*) ,求 n 的最小值.
n
19. ( 本题满分 12 分)
为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠,并将该疫苗首
次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制
成如下的频率分布直方图(以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率)：．
(1 ) 根据频率分布直方图 ,估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值 x (同一组数据用该组数据区
间的中点值表示)；
m,s
( 2) 若认为小白 鼠的该项医学指标值 X 服从正态分 布N(
),且首次注射疫苗的小白鼠该项
2
医学指标值不低于 14. 77 时,则认定其体内已经产生抗体 ；进一步研究还发现,对第一次注射疫苗
的 200 只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗, 约有16只小白鼠又产生了
抗体．这里µ 近似为小白鼠医学指标平均值x ,s 近似为样本方差 s .经计算得s = 6.92,假设两次注
2
2
2
射疫苗相互独立,求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p ( 精确到 0. 01) .
附:参考数据与公式
m,s
6.92 2. 63. 若 X~ N(
),则
≈
2
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)=0.6827.
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)=0.9545.
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)=0.9973.
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20. (本题满分 12 分)
1 1
1
AA =3, D, E分别为CC , CB的中点,设平面A DE与AB 交于F点．
1
1
1
(1) 求平面A DE与底面A BC 所成二面角的余弦值；
1
1
1
21. (本题满分 12 分)
p
2
已知抛物线 C: y =2px (p >0) 的焦点 F , 若平面上一点 A( 2, 3)到焦点 F与到准线 l: x =- 的距离
2
之和等于 7.
(1) 求抛物线C 的方程；
｀'
4
3
(2)又已知点 P为抛物线C上任一点,直线 PA交抛物线C于另一点M, 过M 作斜率为 k= 的直线MN
交抛物线C于另一点 N ,连接 PN.问直线 PN 否过定点 ,如果经过定点 ,则求出该定点,否则说明
理由．
22.(本题满分 12 分)
x -1
(1) 求函数 f (x )=
的单调区间;
ln x
1
2
x -1
ln x
3
(2) 证明：在x> 且x¹1时,不等式
< x2 + 恒成立.
4
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2
2
MN 所围成的阴影部分的面积
．
1
e
16. 若 xÎ(0, )时 ,关于x不等式ax e + 2ln x≤0 恒成立,则实数a 的
3
ax
最大值是
.
四、解答题：本 题共 6 小题,共70 分。解 答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
17. (本题满分10 分)
9
4
在△ABC中 ,角 A , B , C 的对边分别 为a, b, c, 且B=2A,c= a,
.
在①a=2, ②b = 13,③△ABC的面积为9 39．这三个条件中任选一个,补 在上面条件中,若问题
16
中三角形存在 ,求△ABC 的周长；若问题中三角形不存在,说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
18. ( 本题满分 12 分)
设数列{a }的前 n 项和为S , 且S = 3a -2, ( nÎ N*)
n
n
n
n
(1) 求数列{a }的通项公式；
n
(2) 不等式S >31 , ( nÎ N*) ,求 n 的最小值.
n
19. ( 本题满分 12 分)
为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠,并将该疫苗首
次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制
成如下的频率分布直方图(以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率)：．
(1 ) 根据频率分布直方图 ,估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值 x (同一组数据用该组数据区
间的中点值表示)；
m,s
( 2) 若认为小白 鼠的该项医学指标值 X 服从正态分 布N(
),且首次注射疫苗的小白鼠该项
2
医学指标值不低于 14. 77 时,则认定其体内已经产生抗体 ；进一步研究还发现,对第一次注射疫苗
的 200 只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗, 约有16只小白鼠又产生了
抗体．这里µ 近似为小白鼠医学指标平均值x ,s 近似为样本方差 s .经计算得s = 6.92,假设两次注
2
2
2
射疫苗相互独立,求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p ( 精确到 0. 01) .
附:参考数据与公式
m,s
6.92 2. 63. 若 X~ N(
),则
≈
2
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)=0.6827.
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)=0.9545.
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)=0.9973.
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20. (本题满分 12 分)
1 1
1
AA =3, D, E分别为CC , CB的中点,设平面A DE与AB 交于F点．
1
1
1
(1) 求平面A DE与底面A BC 所成二面角的余弦值；
1
1
1
21. (本题满分 12 分)
p
2
已知抛物线 C: y =2px (p >0) 的焦点 F , 若平面上一点 A( 2, 3)到焦点 F与到准线 l: x =- 的距离
2
之和等于 7.
(1) 求抛物线C 的方程；
｀'
4
3
(2)又已知点 P为抛物线C上任一点,直线 PA交抛物线C于另一点M, 过M 作斜率为 k= 的直线MN
交抛物线C于另一点 N ,连接 PN.问直线 PN 否过定点 ,如果经过定点 ,则求出该定点,否则说明
理由．
22.(本题满分 12 分)
x -1
(1) 求函数 f (x )=
的单调区间;
ln x
1
2
x -1
ln x
3
(2) 证明：在x> 且x¹1时,不等式
< x2 + 恒成立.
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