数值分析课程试题(开卷)A.doc

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电子科技大学二00七至二00八学年 第 二 学期 （A卷）
数值分析课程试题(开卷)（90分钟） 考试日期 2008年 月 日
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
评卷教师

一、填空题 （30分，每题3分）
1. 设近似值有n位有效数字，则其相对误差限 _________ 。 （）。
2. 在高斯列主元消元法中，每次消元之前，要确定主元，其中=_________。 （(k=1,2,3,n-1)）
3. 设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式
X(k+1)＝B(k)X+f
收敛的充分必要条件是：_______________。（谱半径小于1）
4. 数值分析中的病态问题是指___________________。（输入的微小变化会引起输出的很大变化）
5. 已知函数y=f(x), 过点(2,5),(5,9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为 。
（）
6. 用欧拉公式求解常微分方程，

误差是：____________。(（h2/2!）y”(xk)+(h3/3!)y”’(xk+θh).）
7. 条件数可以用来判断线性方程组解的___________________。（病态性）
8. Lagrange插值中随着节点和插值多项式阶数的增加，插值误差也会增加，这种现象被称为_______________________。（Runge现象）
9. 由积分节点 确定的Gauss 求积公式的代数精度是___________。（2n+1）
10. 可用Choleshy分解矩阵A的条件是 。（对称正定）

二、判断题 （10分，每题2分）
1. 数值计算的误差是由舍入误差带来的。 （ ）×
2. Gauss 消元法的主元选择方式可能会影响计算结果。 （ ）√
3. 样条插值法不能保证分段插值多项式的二阶导数连续。 （ ）×
4. 在数值计算中，应尽量避免两个绝对值相差太大的数相加。 （ ）√
5. 常微分方程初值问题求解的Euler方法是收敛的。 （ ）√

三、 叙述题 （8分）
叙述曲线拟合最小二乘方法的求解过程和最优准则。
解:
l 根据节点和插值函数形式，计算矩阵P和向量b;
l 解方程主Pa=b,得到函数系数a；
l 由系数a确定拟合函数j(x) 。 （6分）
最优准则：
用j(x)拟合数据(xk,yk) (k=1,2,…,n)，使得误差的平方和 为最小。 （8分）
四、计算题 （20分，每题10分）
已知函数y=f(x)的观察数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造拉格朗日多项式P3 (x)，并计算P(－1)。
解 先构造基函数

（4分）
所求三次多项式为
P3(x)=
＝＋－＋
＝ （8分）
P3(－1)＝ （10分）
2.对N=2，用复化Simpson公式计算下面定积分，并误差估计。

解：把[0.5,1]4等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1

（5分）
½RN[f]½，

（10分）
五、 算法设计题 （12分）
给出Gauss_Seidel 迭代法的计算过程，并用MATLAB编程实现该算法。
（4分）
编程实现： （8分）

（参考程序）
function y=gauss_seidel (A,b,e,N)
% 用Gauss_Seidel 方法解线性方程组

x0=zeros(1,length(b));
x1=x0;
for n=1:N;
for nn=1:length(x);
xx=b(nn);
for ii=1:length(x);
xx=xx-A(nn,ii).*x0(ii);
end
x0(1,nn)=xx;
end
if norm(x0-x1)<e
y=x0;
break;
end
x1=x0;
end
display(‘方程近似解未达到指定精度！’)
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