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专题03-函数的定义域-《从课本到高考》之集合与函数

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专题3 函数的定义域
【典例解析】
1. （必修1第17页例1）已知函数.
（1）求函数的定义域; （2）求，的值；
（3）当时，求，的值.
【解析】（1）使根式有意义的实数的集合是，使分式有意义的实数的集合是.所以，这个函数的定义域就是=.
（2）；.
（3）因为，所以，有意义.;
.
【反思回顾】（1）知识反思；函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合；
（2）解题反思；由解析式，则y＝f(x)由需考虑两点：一是：，另：
两个条件在同一个解析式中，要同时满足，取交集得定义域。
提示：解决函数问题始终要坚持定义域优先的原则；
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见的基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为.
【知识背囊】
1.函数与映射的概念

函数
映射
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
【变式训练】
变式1. 函数的定义域为(　　)
A.(－∞，1] B.
C.[1，2)∪(2，＋∞) D.∪
【答案】B
【解析】由题意，得，故选B
变式2.函数的定义域为（ ）
A．（0, 1） B．（-1,0） C． D．
【答案】A
【解析】由，得,所以函数的定义域为，故选A.
变式3.函数的定义域为（ ）
A．{x|x＜0} B．{x|x≤﹣1}∪{0} C．{x|x≤﹣1} D．{x|x≥﹣1}
【答案】C
【解析】由函数，得：，所以函数的定义域为，故选C.
变式4.函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，选B.
变式5.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
变式6. 若函数的定义域是，则函数的定义域是
【答案】
【解析】由题函数定义域是，则函数的定义域为；
变式7.用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式 （写出定义域）

【答案】，定义域为
【解析】如图，设，则= ,于是
因此；即
再由题得；解之得
所以函数解析式是，函数的定义域是 .
反思：（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；
（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即，
不能遗漏.
【高考链接】
1.【2013年高考广东卷】函数的定义域（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使原式有意义需要满足，解得
2.【2014江西高考理第2题】函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：x2－x > 0，接的x > 1，或x < 0，所以选C．
3.【2014山东理3】 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由已知得即或，解得或，故选.
4.【2013年高考山东卷（文）】函数的定义域为（　　）
A．(-3,0] B．(-3,1] C． D．
【答案】A
【解析】要使原式有意义需要满足，解得，故选A.
5.【2015湖北高考】函数f(x)＝＋lg的定义域为(　　)
A.(2，3) B.(2，4]
C.(2，3)∪(3，4] D.(－1，3)∪(3，6]
【答案】
【解析】要使函数f(x)有意义，应满足
∴则2<x≤4，且x≠3，所以f(x)的定义域为(2，3)∪(3，4].
6.【2013高考大纲卷】已知函数（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】有意义,则,即，故选B.
7.【2016全国高考课标2】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A.y＝x B.y＝lg x C.y＝2x D.y＝
【答案】D
【解析】函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；
y＝lg x的值域为R，排除B，故选D.
7.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故填：
8.【2018年江苏卷】函数的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
9.【2013年高考安徽】函数的定义域为_____________.
【答案】

11. 【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【答案】

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