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一次函数的难点分析

初中数学
一次函数的难点分析
编稿老师
仓猛
一校
张小雯
二校
黄楠
审核
郭莹

【考点精讲】
1. 利用一次函数的增减性，解决一次函数的最优问题
一次函数的最优问题，是近几年中考常考的问题，也是新时代、新课标的要求。这类问题常分三步走：

2. 数形结合，解决一次函数的图象信息题
图象信息题，考查从图象中获取信息的能力，以及综合运用一次函数的性质与图象解决实际问题的能力。解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点（如：起点、终点、折线中的折点）所反映出的信息，从而建立正确的函数表达式，这是解题的关键。

【典例精析】
例题1 （日照中考）日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产。沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的种苗总投放量只有50吨。根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表：（单位：千元/吨）
品种
先期投资
养殖期间投资
产值
西施舌
9
3
30
对虾
4
10
20
养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元，设西施舌种苗的投放量为x吨：
（1）求x的取值范围；
（2）设这两个品种产出后的总产值为y（千元），试写出y与x之间的函数表达式，并求出当x等于多少时，y有最大值？最大值是多少？
思路导航：本题考查学生对一次函数、不等式组的综合运用。由不等式组确定一次函数自变量的取值范围，根据一次函数的增减性确定y的最大值。
答案：（1）设西施舌的投放量为x吨，则对虾的投放量为（50－x）吨，
根据题意，得：

解之，得：
∴30x32。
（2）y＝30x＋20（50－x）＝10x＋1000。
∵10＞0，
y随x的增大而增大。
30x32，
当x＝32时，y＝1032＋1000＝1320。
所以当x＝32时，y有最大值，且最大值是1320。
点评：确定自变量的取值范围是关键，是中考中常靠的类型题，也是难点。注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。今后我们会进一步学习不等式的知识，此处作为了解。

例题2 （扬州中考）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示_____槽中的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 。
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）。

思路导航：（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是水位上升速度变缓；（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间；（3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积。
答案：（1）乙；甲；乙槽内的圆柱形铁块的高是14厘米。
（2）设线段AB、DE的表达式分别为：y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，
∵AB经过点（0，2，）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）
∴，，解得，
∴表达式为y1＝3x＋2和y2＝－2x＋12，
令3x＋2＝－2x＋12，
解得x＝2，
∴当2分钟时两个水槽水面一样高。
（3）由图象知：当水面没有没过铁块时4分钟上升了12cm，即1分钟上升3cm；
当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm。
设铁块的底面积为xcm，则3×（36－x）＝2.5×36，解得x＝6，
∴铁块的体积为：6×14＝84cm3。
（4）（48×19－112－2×40）÷12＝60cm2。
点评：利用一次函数求最值的关键，是应用一次函数的性质，即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值。

【总结提升】
解读中考热点题型
在平面直角坐标系中，将一次函数的图象与面积综合在一起的问题是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数形结合思想，整体思想和转化思想。解决这类问题的基本程序是：
（1）确定交点坐标（可用参数表示）；
（2）求出有关线段的长度；
（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解。

例题1 已知直线经过点（－1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线经过点（2，－4）和（0，－3），它和x轴、y轴的交点分别是D和C。
（1）求直线和的表达式；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）设直线与交于点P，求△PBC的面积。

思路导航：（1）用待定系数法确定一次函数的表达式；（2）、（3）中面积不好直接求，可以根据图形特点，进行转化。
答案：（1）由（－1，6）、（1，2）得
由（2，－4）、（0，－3）得
（2）由（1），得A（0，4），B（2，0），C（0，－3），D（－6，0）

（3）由得

点评：注意线段的长度为正值，而点在坐标系内可能对应着负数；不规则图形的面积可分割成几块可求图形面积的和或差。

例题2 如图，已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点；直线l经过原点，与线段AB交于C点，且把△ABO的面积分为1：2两部分，求直线l的表达式。

思路导航：直线把△ABO的面积分为1：2两部分，不清楚谁大谁小，则要分类讨论。
答案：在中，令y＝0，得x＝－3；令x＝0，得y＝3

设直线l的表达式为y＝kx
由 得

由题意，知
（1）若，则
，解得
（2）若
则
，解得
故所求直线l的解析式为或。
点评：本题也可先设C点坐标为C（m，n），利用面积关系求出n，再代入直线AB的表达式求出m。

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