6月4日数学分班考训练-答案.docx

应用题问题（一） 周期问题
【知识点】
周期问题：事物在运动变化过程中，具有按照某种规律循环出现的性质。这类问题叫做周期问题。
基本定义：连续两次出现所经过的时间叫周期。
【分类】
1．图形中的周期问题；
2．数列中的周期问题；
3．年月日中的周期问题．
【余数法】
利用余数解决周期问题：
1、确定周期；
2、找到总量；
3、总量÷周期=周期的个数……余数；
4、关注余数：把余数算出来之后剩下的问题就变成了细心的数数，周期问题就不会有什么难度！
【易错点分析】
1、有些周期可能不是从第一个数（图片、字母等）就开始的，余数法中总量需要先减去非周期部分再计算余数。
2、算出余数后一定要注意，余数为几就应该是一个周期中的第几个。
3、仔细审题。区别前几项和第几项等等是不同的概念。
4、有难度的周期问题其实就是一句话：不要怕麻烦！一个一个去写出来找规律！
周期问题例题
【例 1】、1111….1111（1111 个 1）÷6 余几？
【解析】：因为 11÷6=1…5，111÷6=18…3，1111÷6=185…1，11111÷6=1851…
5，111111÷6=18518…3，…………所以，其余数的循环周期为 3 个一周期， 又因为有 1111 个 1 ， 所以 1111 ÷ 3=370 … 1 ， 所以共有 370 个周期，
1111….1111（1111 个 1）÷6 余 1
【例 2】、28×28×28×…×28×28（128 个 28）—29×29×…..×29（29 个 29）
的个位数是多少？
【解析】
1 个 28 个位数字是 8；2 个 28 相乘个位是 4；3 个 28 相乘个位是 2；4 个 28 相乘个位是 6；5 个 28 相乘个位是 8；6 个 28 相乘个位又变成 4,；……所以其个位数字的循环周期为 4 个一周期，所以 128 个 28 相乘个位数字是 6.
同样的道理，1 个 29 个位是 9；2 个 29 相乘个位是 1,；3 个 29 相乘个位是
9；4 个 29 相乘个位是 1；……所以其个位数字的循环周期为 2 个一周期，所以
29 个 29 相乘个位数字是 9.
所以个位数字为 6 的数减去个位数字为 9 的数的结果的各位数字为 7
【例 3】、A B C A B C A B C…..
1、这列字母的排列规律是 不断重复出现的，即 个字母为一组，一个周期是（）。
2、根据规律，算出第 20 个字母是 。
【解析】：1、A B C ; 3 ; 3
2、B
周期问题习题
1、 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
●●○●●○●●○„
你知道它们所排列的这些小球中，第 90 个是什么球？第 100 个又是什么球呢？ （10 分）
【解析】：很明显周期为 3。90÷3=30 余 0，所以第 90 个为第三个球，即白色；
100÷3=33 余 1，所以第 100 个球是黑球。
2、小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列． ⑴第 73 颗是什么颜色的？ ⑵第 10 颗黄珠子是从头起第几颗？ ⑶第 8 颗红珠子与第 11 颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
【解析】：（1）73÷5=14 余 3，所以为蓝色。
（2）一个循环中有一个黄球，9 个循环中有 9 个黄球，共 45 颗；再加
上两颗就有 10 颗黄球。所以共 47 颗。
（3）第八个循环中有 4 颗（不包括红球），第九、第十个循环有 10 颗
球。所以共 14 颗。
3、四月份共有 30 天，如果其中有 5 个星期六和星期日，那么四月一号是星期几？
【解析】：首先明确一个概念，一个月中，无论星期几，都只有四个或是五个。四月后 28 天恰好是四个星期，那么只能是前两天是一个星期六一个星期日，即
四月 1 号是星期六。
4、 有一串自然数，已知第一个数是 3，第二个数是 10，从第三个数开始，每个数正好是前两个数的和。问这串数的第 1991 个数被 3 除所得余数。
【解析】：和的余数等于余数的和。前两个余数为 0,1，则可知后面数的余数为1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2…..
周期为 8（1,2,0,2,2,1,0,1）
（1991-2）÷8=248 余 5，所以最后答案余 2 。
5、8888888…..888（888 个 8）÷9 余多少？
【解析】：解法一（别怕麻烦找规律） 8÷9 余 8
88÷9 余 7
888÷9 余 6
8888÷9 余 5
88888÷9 余 4
888888÷9 余 3
8888888÷9 余 2
88888888÷9 余 1
888888888÷9 余 0
……
可知周期为 9（8,7,6,5,4,3,2,1,0）
888÷9=98 余 6，所以答案为 3。
解法二：利用被 9 整除的特性，可知 882 个 8 是可以被 9 整除的，余数应该由
888888÷9 产生，经计算余数应为 3.
6、3×3×3×…..×3×3（2004 个 3）-1 的个位数字是_ _。
【解析】： 此题不一一计算， 孩子应自己寻找。经计算可知周期为 4 （ 3 ，
9,7,1）,2004÷4 余 0，所以 2004 个 3 相乘所得积的个位数应该为 1，再减去 1， 所以个位数字是 0.
7、（41 中）1、在△△□☆★△△□☆★△△□☆★……中，左起第 33 个是图形（）？
A、△ B、□ C、☆ D、★
【解析】：选 B。周期为 5. 33÷5 余 3，所以应该为每个循环中的第三个图形， 即□，所以答案是 B。
8、某年的 10 月里有 5 个星期六，4 个星期日.问：这年的 10 月 1 日是星期几？
【解析】：10 月是大月，有 31 天。31÷7 余 3.要保证有 5 个星期六，这个月的头 3 天里必须有星期六；要保证只有 4 个星期日，这个月的头 3 天里必须没有
星期日，因此只有第 3 天是星期六符合题意。所以第 1 天是星期四，即 10 月 1 日是星期四。
9、有一种舞蹈的舞步的一小节的动作是：左脚向左侧点一下、右侧向右侧点一下、进二步、退三步；左脚向左侧点一下、右脚向右侧点一下、进三步。以后 不断地循环以上的动作。若舞步每点一下、退一步、进一步都是一拍，请问一 位舞者从开始的位置到达前方 50 步的位置为止，至少共需经过多少拍？
【解析】：经分析可得，每一小节后：需要经过 1+1+2+3+1+1+3=12 拍，向前进
2-3+3=2 步；从开始位置到达前方 50 步处，正好完成 25 个小节，可是在第 25 个小节时会首先先进两步，所以共需经过：24×12+（1+1+2）=292（拍），答：至少需要 292 拍。