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第1课时 充分条件、必要条件
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．无法判断
答案 A
解析 这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.
2．设集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 因为集合A＝{x|0≤x<3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”．故选D.
3．已知a，b，c为实数，则a>b的一个必要条件是( )
A．a＋c>b＋c B．ac2>bc2
C．|a|>|b| D.>1
答案 A
解析 因为a>b⇒a＋c>b＋c，所以“a＋c>b＋c”是“a>b”的一个必要条件．故选A.
4．已知实数a，b，则“b<a<0”是“>”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．既是充分条件也是必要条件
答案 A
解析 当b<a<0时，有－＝>0，所以>；反之，若b＝1，a＝－1，则>，即1>－1，但b<a<0不成立，故前者是后者的充分条件，但不是必要条件．故选A.
5．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A．a≤0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
答案 C
解析 因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
所以即解得a<0.
选项中只有a<－1⇒a<0.故选C.
二、填空题
6．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“没好货”是“便宜”的________条件．
答案 必要
解析 因为“便宜”⇒“没好货”，所以“没好货”是“便宜”的必要条件．
7．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的________条件．
答案 必要
解析 因为q⇒p，所以p是q成立的必要条件．
8．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．
答案 充分
解析 x>y>0⇒>1，而由>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足>1，但－5<－4，即x<y<0，不满足x>y>0.
故“x>y>0”是“>1”的充分条件．
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(3)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
解 (1)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，
∴p是q的必要条件．
(2)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件又是q的必要条件．
(3)若方程x2－x－m＝0无实根，
则Δ＝1＋4m<0，即m<－.
∵m<－1⇒m<－，
而m<－推不出m<－1，
∴p是q的充分条件．
10．(1)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；
(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
(2)记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝.由题意得B⊆A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．
B级：“四能”提升训练
1．已知集合A＝，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解 先化简集合A，
由y＝x2－x＋1，配方，得y＝2＋.
因为x∈，所以y∈.
所以A＝.
因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，
命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B.
所以m＋1≤或m－1≥2，
解得m≤－或m≥3.
故实数m的取值范围是∪[3，＋∞)．
2．已知p：(x－3)(x＋1)<0，若－a<x－1<a(a>0)是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．
解 由(x－3)(x＋1)<0，得或
解得－1<x<3.
由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a.
因为－a<x－1<a(a>0)是p的一个必要条件，
所以{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}(a>0)．
所以解得a≥2.
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2.
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