householder和givens变换.pptx

HouseholderHouseholder变换变换O+O则则记记即：该变换将向量即：该变换将向量 变成了以变成了以 为法向量为法向量的平面的对称向量的平面的对称向量 。HouseholderHouseholder变变换换又又称称为为反反射射变变换换或或镜镜像像变变换换，有有明明显显的的几几何何意意义义。在在 中中，给给定定一一个个向向量量，令令 表表示示 关关于于平平面面（以以 为为法法向向量量）的的反反射射变变换换所所得得像像，如如图所示，图所示，定义定义 设设 是一个单位向量，令是一个单位向量，令则称则称H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵或矩阵或HouseholderHouseholder变换。变换。性质性质5.1.1 5.1.1 设设H H是一个是一个HouseholderHouseholder矩阵，则矩阵，则（1 1）H H是是HermiteHermite矩阵，矩阵，；（2 2）H H是酉矩阵，是酉矩阵，；（3 3）H H是是对合对合矩阵，矩阵，；（4 4）H H是自逆矩阵是自逆矩阵（5 5）diagdiag(I I,H H)也是一个也是一个HouseholderHouseholder矩阵矩阵;（6 6）det Hdet H=-1=-1。其中其中 为实数。为实数。定理定理 设设 是一个单位向量，则对于任意的是一个单位向量，则对于任意的当当 时，取单位向量时，取单位向量 使使存在存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使得，使得证明证明 当当x=0 x=0时，任取单位向量时，任取单位向量则则则则所以所以 当当 时，取时，取由于由于推论推论1 1 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H，使，使其中其中 为实数。为实数。推论推论2 2 对于任意的对于任意的 ，存在，存在HouseholderHouseholder矩阵矩阵H H上述结论表明，可以利用上述结论表明，可以利用HouseholderHouseholder变换将任意向量变换将任意向量化为与第一自然基向量化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）平行的向量（共线）。，其中，其中使得使得得得例例2 2 用用HouseholderHouseholder变换将向量变换将向量化为与化为与 平行的向量。平行的向量。因此因此解解 由于由于为了使为了使为实数，取为实数，取令令则则也可取也可取 或或说明说明2024/9/25 周三1、Givens矩阵和Givens变换从上图中我们可以看出旋转变换并不改变向量的模，所从上图中我们可以看出旋转变换并不改变向量的模，所以它是正交变换，从而以它是正交变换，从而T是正交矩阵，且是正交矩阵，且