资源描述
4.3.2等差、等比数列的通项与求和（强化训练）
一、 教学目标
1、掌握等差数列、等比数列定义、通项公式和求和公式
2、掌握等差等比数列的基本量和性质的有关应用
3、利用基本知识求解数列的有关综合问题
二、知识梳理
1.求通项公式的常见类型
(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式an=求通项.
(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.
(3)由递推关系式求数列的通项公式.
①形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.
②形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.
③形如an+1=pan+q,等式两边同时加转化为等比数列求通项.
2.数列求和的常用方法
(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.
(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.
(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.
(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.
(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.
3.数列单调性的常见题型及方法
(1)求最大(小)项时,可利用:①数列的单调性;②函数的单调性;③导数.
(2)求参数范围时,可利用:①作差法;②同号递推法;③先猜后证法.
4.数列不等式问题的解决方法
(1)利用数列(或函数)的单调性.
(2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.
一、课前预习
1已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
2(2019年1月杭州市质量检测)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若S6=60,且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求an和Sn.
(2)设数列{bn}满足bn+1-bn=an,若b1=3,求数列的前n项和Tn(n∈N*).
二、课中例析题
例1(2019年1月浙江周边重点中学联考)已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+…+2an-1+an=n,n∈N*.
(1)求a1,a2及数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=1,=2n,求数列{bn}的通项公式.
命题意图掌握等差、等比数列的求和公式外,并熟练掌握数列求和的几种基本模型,如等差与等比数列对应项乘积构成的数列——错位相减,等差数列连续两项积的倒数构成的数列——裂项相消,等等.
例2 已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).
命题意图等差、等比数列综合问题往往是等差数列中若干项成等比、或等比数列中若干项成等差,只要熟练掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,不难解决问题.
变式题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列{cn}的前n项和.
例3(2019年3月绍兴市模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a5+1,a23+1成等比数列.数列{bn}满足:b1+b2+…+bn=2n+1-2,n∈N*.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}的前n项和为Tn,且cn=若对n∈N*,T2n≥T2k恒成立,求正整数k的值.
命题意图本例对数列{cn}求和时,首先用了分组求和,即分别求奇数项与偶数的和,而奇数项恰是一个等差数列相邻两项积的倒数,故求和时需利用裂项相消法，故对学生的基本功要求相对偏高.
三、课后巩固题
1.已知实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a,b,c.
2.已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,若a1=9,S3=21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a5,a8,Sk成等比数列,求k的值.
3.若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列S1,S2,S4的公比.
(2)若S2=4,求{an}的通项公式.
4.已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k·2k=0的两个根,且a2k-1≤a2k(k=1,2,3,…).
(1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n≥4)(不必证明);
(2)求数列{an}的前2n项和S2n.
5.已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列,求:
(1)p,q的值;
(2)数列{xn}的前n项的和Sn的公式.
6.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
7.(2019年河南省天一大联考理科)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S15=225,a3+a6=16.
(1)证明:是等差数列;
(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
8.(2019年4月嘉丽衢三市联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若an+1=2Sn+1(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an和an+1之间插入n个实数,使得这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列.设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<2.
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