1、4.3.2等差、等比数列的通项与求和（强化训练）一、 教学目标1、掌握等差数列、等比数列定义、通项公式和求和公式2、掌握等差等比数列的基本量和性质的有关应用3、利用基本知识求解数列的有关综合问题二、知识梳理1.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式an=求通项.(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.形如an+1=pan+q,等式两边同时加转化为等比数列求通项.2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等
2、比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:数列的单调性;函数的单调性;导数.(2)求参数范围时,可利用:作差法;同号递推法;先猜后证法.4.数列不等式问题的解决方法(
3、1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:先求和后放缩;先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.一、课前预习1已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nN*.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.2(2019年1月杭州市质量检测)设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn.若S6=60,且a6为a1和a21的等比中项.(1)求an和Sn.(2)设数列bn满足bn+1-bn=an,若b1=3,求数列的前n项和Tn(nN*).二、课中例析题例1(2019年1月浙江周边重点中学联考)已
4、知数列an满足2n-1a1+2n-2a2+2an-1+an=n,nN*.(1)求a1,a2及数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1=1,=2n,求数列bn的通项公式.命题意图掌握等差、等比数列的求和公式外,并熟练掌握数列求和的几种基本模型,如等差与等比数列对应项乘积构成的数列错位相减,等差数列连续两项积的倒数构成的数列裂项相消,等等.例2 已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).命题意图等差、等比数列综合问题
5、往往是等差数列中若干项成等比、或等比数列中若干项成等差,只要熟练掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式,不难解决问题.变式题：已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列bn的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列cn的前n项和.例3(2019年3月绍兴市模拟)已知数列an是公差为2的等差数列,且a1,a5+1,a23+1成等比数列.数列bn满足:b1+b2+bn=2n+1-2,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列cn的前n项和为Tn,且cn=若对nN*,T2nT2k恒
6、成立,求正整数k的值.命题意图本例对数列cn求和时,首先用了分组求和,即分别求奇数项与偶数的和,而奇数项恰是一个等差数列相邻两项积的倒数,故求和时需利用裂项相消法，故对学生的基本功要求相对偏高.三、课后巩固题1.已知实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a,b,c.2.已知数列an是等差数列,前n项和为Sn,若a1=9,S3=21.(1)求数列an的通项公式;(2)若a5,a8,Sk成等比数列,求k的值.3.若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列S1,S2,S4的公比.(2)若S2=4,求an的通项公式
7、.4.已知数列an中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k2k=0的两个根,且a2k-1a2k(k=1,2,3,).(1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n4)(不必证明);(2)求数列an的前2n项和S2n.5.已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(nN*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列,求:(1)p,q的值;(2)数列xn的前n项的和Sn的公式.6.在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.7.(2019年河南省天一大联考理科)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S15=225,a3+a6=16.(1)证明:是等差数列;(2)设bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.8.(2019年4月嘉丽衢三市联考)设等比数列an的前n项和为Sn,若an+1=2Sn+1(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)在an和an+1之间插入n个实数,使得这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列.设数列的前n项和为Tn,求证:Tn2.
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