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课时跟踪检测（二十七） 不同函数增长的差异
A级——学考水平达标练
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
解析：选D 法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
解析：选D 由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.
由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，
解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：选C 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．
答案：y＝x2
7.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．
解析：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，所以5 min前每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
答案：②④
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案：(4) (1) (3) (2)
9．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图象，并比较x＋5与2x的大小．
解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图象增长差异得：
当x＜3时，x＋5＞2x，
当x＝3时，x＋5＝2x，
当x＞5时，x＋5＜2x.
10．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值．
解：(1)画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
∴函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为
0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2033年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6，
即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．
B级——高考水平高分练
1．某品牌汽车的月产能y(万辆)与月份x(3＜x≤12且x∈N)满足关系式y＝a·x－3＋b.现已知该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，求该品牌汽车7月的产能为多少万辆．
解：由已知得解得则y＝－x－4＋2，当x＝7时，y＝－3＋2＝1.875.
故该品牌汽车7月的产量为1.875万辆．
2．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
解：将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．
①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，
解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.
所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.
②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，
与实际误差为0.07.
③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.
比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．
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