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课时素养评价 二十
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.如图所示的简单组合体的组成是 ( )
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
【解析】选B.由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.
2.下列几何体是台体的是 ( )
【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱的延长线没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
3.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图中的几何体的是( )
【解析】选B.由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，故B正确.
4.(多选题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是 ( )
A.圆柱 B.圆台 C.球体 D.棱台
【解析】选ABC.圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中说法正确的序号是________.
【解析】如图所示，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.
故说法①②正确.
答案：①②
6.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________.
【解析】如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC=AB2，所以=AB2，所以AB=2.故圆锥的母线长为2.
答案：2
三、解答题(共26分)
7.(12分)指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的.
【解析】①几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成.
②几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成.
③几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成.
8.(14分)如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
【解析】旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
(15分钟·30分)
1.(4分)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为
( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，设母线长为l，因为4π=πl2，所以l=2，又半圆的弧长为2π，设底面圆的半径为r，圆锥的底面圆的周长为2πr=2π，所以r=1，所以该圆锥的高为h===.
2.(4分)如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为
( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
【解析】选B.圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.
3.(4分)如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么截面图形可能是图①-④中的________.(填序号)
【解析】因为圆柱被垂直于底面的平面所截得到的截面是矩形，圆锥被垂直于底面的平面所截得到的截面是三角形或边界是抛物线状的面.所以此几何体被垂直底面的平面所截得到的截面如题干图①③.
答案：①③
4.(4分)用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为________.
【解析】设底面半径为r，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，如图所示，则2πr=8，所以r=；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr=4，所以r=，
当r=时，其轴截面的面积为×4=，
当r=时，其轴截面的面积为×8=.
答案：
5.(14分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高.
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
【解析】(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得上底面圆半径O1A=2 cm，
下底面圆半径OB=5 cm，
又因为腰长为12 cm，
所以高AM==3(cm).
(2)延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由
△SAO1∽△SBO可得=，解得l=20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
1.如图所示，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列方案中，能够完成任务的为 ( )
A.模块①②⑤ B.模块①③⑤
C.模块②④⑤ D.模块③④⑤
【解析】选A.先将模块⑤放到模块⑥上，如图a所示；再把模块①放到模块⑥上，如图b所示；再把模块②放到模块⑥上，
如图c所示.观察图c可知选择模块①②⑤能够完成任务.
2.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
所以L=2πr=2π.
所以∠ASM=×360°=×360°=90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=(0≤x≤4).
f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，
因为S△SAM=SA·SM=AM·SR，
所以SR==(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，
所以f(x)的最大值为f(4)=32.
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