克里格法.pptx

第五章 克里金法提纲1 1克里金法概述克里金法概述2 2线性克里金法性克里金法1.1.简单克里金克里金2.2.普通克里金普通克里金3.3.泛克里金法泛克里金法3 3非非线性克里金法性克里金法1.1.对数正数正态克里金法克里金法2.2.指示克里金法指示克里金法3.3.析取克里金法析取克里金法4 4协同克里金法同克里金法一、克里金法概述一、克里金法概述1、克里金法概念及种、克里金法概念及种类概念：概念：又称又称为空空间局部估局部估计或或空空间局部插局部插值法法,克里金法是建立在克里金法是建立在变异函数理异函数理论及及结构分析基构分析基础上，在有限区域内上，在有限区域内对区域化区域化变量的取量的取值进行行线性无偏最性无偏最优估估计的一种方法。的一种方法。主要主要类型：型：简单克里金法克里金法 普通克里金法普通克里金法 Ordinary Kriging 泛克里金法泛克里金法 Universal Kriging 对数正数正态克里金法克里金法 Logistic Normal Kriging 指示克里金法指示克里金法 Indicator Kriging 概率克里金概率克里金 Probability Kriging 析取克里金法析取克里金法 Disjuctive Kriging 协同克里金法同克里金法 Co-Kriging2、克里金估计量设x为研究区域内任一点研究区域内任一点待估点的估计待估点的估计值值克里金估计量克里金估计量权重系数权重系数待估点待估点影响范围内影响范围内的的有效样本值有效样本值（1）无偏估计）无偏估计（2）最优估计）最优估计显然，估计的好坏显然，估计的好坏取决于权重系数取决于权重系数i3、克里金法估值过程（1）数据检查（2）模型拟合（3）模型诊断（4）模型比较当区域化变量Z(x)的EZ(x)=m已知，则称为简单克里金法若Z(x)的EZ(x)未知，则称为普通克里金法二、线性克里金法1、简单克里金法设区域化区域化变量量Z(x)满足二足二阶平平稳假假设，其数学期望，其数学期望为常数常数m，协方差函数方差函数C(h)和和变异函数异函数(h)存在且平存在且平稳。现要估要估计中心点在中心点在x0 的待估的待估块段段V 的均的均值ZV(x)，ZV(x)表达式表达式为 由于由于 EZ(x)=m已知已知令令 Y(x)=Z(x)-m则 EY(x)=EZ(x)-m=EZ(x)-m=0待估待估块段新待估段新待估值1、简单克里金法设在待估块段V附近有n个样点xi(i=1,2,n),其观测值为Z(xi)(i=1,2,n)，则观测值新变量为：Y(xi)=Z(xi)-mY(V)的估计值Yv*是Y(xi)(i=1,2,n)的线性组合，则目标：找出一组权重系数目标：找出一组权重系数 ，使得，使得Yv*成为成为Y(V)的线性、无偏、最优估计量的线性、无偏、最优估计量则估计Z(V)的问题转化为估计Y(V)的问题1、简单克里金法在满足以下两个条件时，Yv*是Y(V)的线性、无偏、最优估计量。（1）无偏性）无偏性 由于由于 所以所以 则 Yv*不需要任何条件即是不需要任何条件即是Y(V)的无偏估计量。（2）最）最优性性 在在满足无偏条件下，可推足无偏条件下，可推导估估计方差公式方差公式为：1、简单克里金法为使估使估计方差最小，需方差最小，需对上式求上式求i的偏导数并令其为0整理得整理得简单克里金克里金方程方程组：用矩用矩阵表示表示为：将将简单克里金克里金方程方程组表达式表达式带入估入估计方差表达式方差表达式得得简单克里金克里金估估计方差表达式：方差表达式：1、简单克里金法从简单从简单克里金克里金方程组的方程组的n个方程中便可求得个方程中便可求得n个权重系数个权重系数i，则，则YV(x)的简单的简单克里金克里金估计量为：估计量为：简单简单克里金克里金法的估计精度在很大程度上依赖于法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情值的准确度，但是通常情况下很难正确估计况下很难正确估计m值，从而导致简单值，从而导致简单克里金克里金估计精度降低。估计精度降低。简单克里金法克里金法计算示例：算示例：设某一区域气温数据某一区域气温数据满足二足二阶平平稳假假设，协方差函数和方差函数和变异函数存在，所有采异函数存在，所有采样数据的均数据的均值为16.08度，并将均度，并将均值作作为此区域化此区域化变量的数学期望量的数学期望值，将所有，将所有采采样数据剔除数学期望数据剔除数学期望值后后拟合的合的变异函数模型异函数模型为球状模型，如下所示。球状模型，如下所示。现用简单克里金方法根据五个已知点的气温数据来估算0点处的气温值1、简单克里金法2、普通克里金法设区域化区域化变量量Z(x)满足二足二阶平平稳假假设，其数学期望，其数学期望为m，为未知常数，未知常数，协方差方差函数函数C(h)和和变异函数异函数(h)存在且平存在且平稳。现要估要估计中心点在中心点在x0的待估的待估块段段V的均的均值，即，即设待估待估块段段V附近有附近有n个个样点点xi(i=1,2,n),其其观测值为Z(xi)(i=1,2,n)，待，待估估块段段V的真的真值是估是估计邻域内域内n个信息个信息值的的线性性组合，即合，即现要求出要求出权重系数重系数i(i=1,2,n)，使，使Z*V(x)为ZV(x)的无偏估的无偏估计量，且估量，且估计方方差最小。差最小。2、普通克里金法（1）无偏性条件）无偏性条件 由于由于若要若要满足无偏性条件，需足无偏性条件，需 ，则无偏性条件无偏性条件为：即在即在权系数之和系数之和为1的条件下估的条件下估计量是无偏的。量是无偏的。（2）最）最优性条件性条件 即估即估计方差最小条件，在方差最小条件，在满足无偏性条件下，有如下估足无偏性条件下，有如下估计方差公式方差公式 要求出在要求出在满足无偏性条件足无偏性条件 下使得估下使得估计方差最小的方差最小的权系数系数i(i=1,2,n)，这是个求条件极是个求条件极值问题。2、普通克里金法根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数F。求出函数F对n个权系数i的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立方程组。整理得普通克里金方程组2、普通克里金法将解出的将解出的i(i=1,2,n)带入估入估计量量公式得到普通公式得到普通克里金克里金估估计量：量：从普通从普通克里金克里金方程方程组可得：可得：将此式将此式带入估入估计方差公式得方差公式得普通克里金估计方差，记为：普通克里金方程组和普通克里金估计方差也可用变异函数(h)表示。在在Z(x)满足二足二阶平平稳条件条件时，可采，可采用用协方差或方差或变异函数表达的普通异函数表达的普通克克里金里金方程方程组及及克里金克里金估估计方差方差计算算式式进行求解行求解计算；但在本算；但在本证假假设条条件下，件下，则只可采用只可采用变异函数的表达异函数的表达式式进行求解行求解计算。算。2、普通克里金法为了了书写写简便和便于便和便于计算，普通算，普通克克里金里金方程方程组和普通和普通克里金克里金估估计方差方差均可用矩均可用矩阵形式表示。形式表示。协方差函数表达的普通克里金方程组展开得引入矩阵或普通克里金方程组用矩阵形式表达为：或权重系数或普通克里金估计方差用矩阵表达为：或2、普通克里金法普通克里金普通克里金计算示例：算示例：设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气温数据估算0点处的气温值。3、泛克里金法普通克里金法要求区域化变量Z(x)是二阶平稳或本征的，至少是准二阶平稳或准本征的。在此条件下，至少在估计邻域内有EZ(x)=m（常数）。然而实际中，许多区域化变量Z(x)在估计邻域内是非平稳的，即EZ(x)=m(x)，m(x)称为漂移，这时就不能用普通克里金方法进行估计了，而是要采用泛克里金法进行估计。所谓泛克里金法，就是在漂移的形式EZ(x)=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的协方差函数C(h)或变异函数(h)为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。（1）漂移和涨落漂移漂移：非非平平稳区域化区域化变量量Z(x)的数学的数学期望，在任一点期望，在任一点x上的漂移就是上的漂移就是该点点上区域化上区域化变量量Z(x)的数学期望的数学期望。漂移经常用邻域模型来研究。可表达为：在给定的以点x为中心的邻域内的任一点，其漂移m(x)可用如下函数表示。式中，fl(x)为一已知函数；al为未知系数m(x)通常采用多项式形式，在二维条件下，漂移可看成坐标x,y的函数。涨落：落：对于有漂移的区域化于有漂移的区域化变量量Z(x)，假，假设可分解可分解为漂移和漂移和涨落两落两部分，部分，式中，m(x)=EZ(x)为点x处的漂移，R(x)称为涨落。（2 2）非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数1）基本假设假设Z(x)的增量Z(x)Z(y)具有非平稳的数学期望m(x)m(y)和非平稳的方差函数，即假设下式存在：2）协方差函数和变异函数当Z(x)=m(x)+R(x)时，Z(x)的协方差函数C(x,y)为：Z(x)的变异函数(x,y)为：（3）Z(x)的泛克里金法估计设Z(x)为一非平稳区域化变量，其数学期望为m(x)，协方差函数为C(x,y)且已知，则设Z(x)的漂移m(x)可表示为如下k+1个单项式fl(x)(l=0,1,2,k)的线性组合。已知n个样品点xi(i=1,2,n)，其观测值为Z(xi)(i=1,2,n)，现要用这些样品点估计邻域内任一点x的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估计量为：为使Z*(x)为Z(x)的无偏最优估计量，需在以下两个条件下求解权重系数i(i=1,2,n)。（3）Z(x)的泛克里金法估计1）无偏性条件）无偏性条件若要满足无偏性条件，需则即对任一组系数a0，a1,ak等式均成立，需成立。这k+1个子式称为无偏性条件。（3）Z(x)的泛克里金法估计2）最）最优性条件性条件在满足无偏性条件下，用Z*(x)估计Z(x)的泛克里金估计方差为：将无偏性条件带入得要求出在满足无偏性的条件下使得估计方差最小的权系数i(i=1,2,n)，需根据拉格朗日乘数法原理，建立拉格朗日函数F。（3）Z(x)的泛克里金法估计求出函数F对n个权系数i的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立如下方程组。整理得估计Z(x)的泛克里金方程组：泛克里金方程组可用矩阵表示为：其中（3）Z(x)的泛克里金法估计从泛克里金方程组可得以下两等式：将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为：用变异函数(h)表示如下：（4）泛克里金法计算示例设某一区域气温是非平某一区域气温是非平稳的区域化的区域化变量，在南北方向（空量，在南北方向（空间坐坐标的的y方向）上方向）上存在存在线性漂移，即性漂移，即。若已知其。若已知其涨落落满足二足二阶平平稳假假设，并且，并且拟合的合的协方差函数方差函数模型模型为球状模型，如下所示。球状模型，如下所示。现用表用表5 1所示数据，利用泛所示数据，利用泛克里金克里金法根据已知五个点的气温数据来估算法根据已知五个点的气温数据来估算0点点处的气温的气温值。三、非线性克里金法1、对数正数正态克里金克里金法法如果区域化如果区域化变量量经对数数变换后是正后是正态分布或近正分布或近正态分布，分布，则对区域化区域化变量量进行精确估行精确估计的地的地统计学方法称学方法称为对数正数正态克立格法。克立格法。设区域化区域化变量量Z(x)服从服从对数正数正态分布，在待估点周分布，在待估点周围有有n个个样点点xi(i=1,2,n),其其观测值为Z(xi)(i=1,2,n)，区域化，区域化变量量经对数数变换后新后新变量量为：Y(x)=lnZ(x)，Y(x)为正正态分布。假定分布。假定Y(x)满足二足二阶平平稳假假设，数学期望，数学期望为m，协方方差函数差函数C(h)和和变异函数异函数(h)存在且平存在且平稳。基于基于对数数变换后的采后的采样点数据点数据Y(xi)(i=1,2,n)，计算算实验变异函数并异函数并进行行变异函数模型的异函数模型的拟合和合和选择，然后利用，然后利用简单克立格或普通克立格估克立格或普通克立格估计待估点待估点x处的的值Y*(x)。由于估由于估计值Y(x)是是对数数变换后的数后的数值，因此，因此对估估计所得所得Y*(x)需需进行反行反变换。2、指示克里金法实际研究中常常会需要研究中常常会需要获取研究区内研究取研究区内研究对象大于某一象大于某一给定定阈值的概率分布，的概率分布，即要即要获知研究区内任一点知研究区内任一点x处随机随机变量量Z(x)的概率分布。的概率分布。还会碰到采会碰到采样数据中存在特异数据中存在特异值的的问题。（特异特异值是指那些比全部数是指那些比全部数值的均的均值或中位数高的多的数或中位数高的多的数值，其既非分析，其既非分析误差所致，也非采差所致，也非采样方法等人方法等人为误差引起，差引起，而是而是实际存在于所研究的存在于所研究的总体之中体之中）。指示克立格法就是指示克立格法就是为解决上述解决上述问题而而发展起来的一种非参数地展起来的一种非参数地统计学方法。学方法。指示克立格法不必去掉重要而指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高存在的高值数据的条件下数据的条件下处理各种不同理各种不同现象，象，并能并能够给出某点出某点x处随机随机变量量Z(x)的概率分布。的概率分布。2、指示克里金法设一区域化变量Z(x)，对于任意给定的阈值z，引入指示函数I(x,z)，表达式如下：指示克立格法步骤如下：（1）确定一阈值，根据指示函数将原数据转换为0或1；（2）利用转换的数据计算指示变异函数，并进行拟合；（3）建立指示克立格方程组，计算待估点值。若把指示函数看做一普通区域化变量，也可直接由简单或普通克立格方法来计算待估点的值。若选择多个阈值则需重复以上步骤。3、析取克里金法析取克立格析取克立格法法：假设假设已知任意区域化变量（已知任意区域化变量（Z,Z）及（）及（Z0,Z）二维概）二维概率分布条件下，对待估点的值或待估点值超过给定阈值的概率进行估计率分布条件下，对待估点的值或待估点值超过给定阈值的概率进行估计的一种非线性地统计方法的一种非线性地统计方法。估估值步步骤：设区域化区域化变量量Z(x)在待估点在待估点x0周周围有有n个个样点点xi(i=1,2,n),其其观测 值为Z(xi)(i=1,2,n)，将原始数据将原始数据转换为标准正准正态数据数据对每个新每个新变量量Y(xi)(i=1,2,n)计算埃算埃尔米特多米特多项式的式的值。计算埃算埃尔米特多米特多项式系数，用埃式系数，用埃尔米特多米特多项式来式来拟合正合正态变形函数形函数。计算待估点析取克立格算待估点析取克立格值四、协同克里金法1、协同区域化同区域化变量理量理论协同克立格法同克立格法：是多元地是多元地统计学研学研究的基本方法，建立在究的基本方法，建立在协同区域化同区域化变量理量理论基基础之上，利用多个区域之上，利用多个区域化化变量之量之间的互相关性，通的互相关性，通过建立建立交叉交叉协方差函数和交叉方差函数和交叉变异函数模异函数模型型，用易于用易于观测和控制的和控制的变量量对不不易易观测的的变量量进行局部估行局部估计。协同区域化：同区域化：在在统计意意义及空及空间位置上均具有某种程度相关性，并位置上均具有某种程度相关性，并且定且定义于同一空于同一空间域中的区域化域中的区域化变量。量。协同区域化变量可用一组K个相关的区域化变量表示。观测前它是K维区域化变量的向量，即一个随机场，观测后，协同区域化变量是一个空间点函数，可以把看成是上述K维向量的一个实现。1、协同区域化变量理论满足二足二阶平平稳假假设的的协同区域化同区域化变量量应满足：足：（1）每一个协同区域化变量的数学期望存在且平稳：（2）交叉协方差函数存在，且平稳：满足内足内蕴假假设的的协同区域化同区域化变量量应满足：足：（1）每一个协同区域化变量增量的数学期望为0：（2）对于协同区域化变量，交叉变异函数存在且平稳。即2、交叉协方差函数和交叉变异函数（1）交叉交叉协方差函数和交叉方差函数和交叉变异函数性异函数性质1)当当k=k 时，交叉，交叉协方差函数方差函数转化化为协方差函数，交叉方差函数，交叉变异函数异函数转化化为变异函异函数。数。即即2)交叉交叉变异函数异函数性性质交叉交叉变异函数关于异函数关于k和和k 对称，称，即即交叉交叉变异函数关于异函数关于h和和-h对称，即称，即在普通克立格法中在普通克立格法中变异函数异函数总是大于等于是大于等于0，但交叉，但交叉变异函数可以有异函数可以有负值。3)交叉交叉协方差方差函数函数性性质交叉交叉协方差函数方差函数关于关于h和和-h不不对称称，即即 ，但，但 当当h0 时，k和和k 顺序序不能随意不能随意颠倒，倒，即即当当h=0 时，交叉，交叉协方差方差转化化为直接直接协方差方差。2、交叉协方差函数和交叉变异函数4）交叉协方差函数和交叉变异函数具有以下关系：5）同一点两个变量点对点协同区域化变量的相关系数为：2、交叉协方差函数和交叉变异函数（2）交叉交叉协方差函数和交叉方差函数和交叉变异函数异函数计算公式算公式设在点x和x+h处，分别测得两个区域化变量的观测值Zk(x)、Zk(x)、Zk(x+h)、Zk(x+h)，则交叉协方差函数计算公式为:交叉变异函数计算公式为：2、交叉协方差函数和交叉变异函数（3）交叉交叉协方差函数和交叉方差函数和交叉变异函数异函数计算算示例示例采用表51、图51所示的气温和海拔高度数据，以h=0,h1,4为例，交叉协方差和交叉变异计算过程如下：3、协同克立金法估值（1）协同克立同克立金金估估计量量（2）协同克立同克立金法方程金法方程组（2）协同克立同克立金法方程金法方程组1)无偏性条件2)最优性条件（2）协同克立同克立金法方程金法方程组对F求偏求偏导数并令其数并令其为零，得零，得协同克立格同克立格线性方程性方程组：（2）协同克立同克立金法方程金法方程组根据根据协同克立格方程同克立格方程组，协同克立格方差同克立格方差为：若有多个若有多个变量，量，则求解求解 的的协同克立格方程同克立格方程组为：协同克立格方差同克立格方差为：（2）协同克立同克立金法方程金法方程组要使要使协同克立格方程同克立格方程组具有唯一解的条件是：具有唯一解的条件是：（3）协同克里金法使用条件同克里金法使用条件（4）协同克里金同克里金法法计算示例算示例设某一区域有两个某一区域有两个协同区域化同区域化变量：气温量：气温u、海拔高程、海拔高程v，均，均满足二足二阶平平稳假假设和内和内蕴假假设，其中气温是所要估，其中气温是所要估计的主的主变量。量。现在估在估计邻域内共有域内共有5个信息个信息样品，如品，如图5 1所示。假定所示。假定1、2、3号点上有气温号点上有气温值，而，而5个点上均有次要个点上均有次要变量量海拔高程海拔高程值，数据如表，数据如表5 6所示。所示。现拟利用利用协同克立格法估同克立格法估计0号点的气温号点的气温值。（4）协同克里金法同克里金法计算示例算示例估估值过程中，气温程中，气温协方差方差C(ui,uj)根据根据简单克立克立金金法法计算示例的球状模型算示例的球状模型计算，海拔高程算，海拔高程协方差方差C(vi,vj)根据式根据式(5.74)计算，气温海拔交叉算，气温海拔交叉协方差方差C(ui,vj)根据式根据式(5.75)计算，海拔气温交叉算，海拔气温交叉协方差方差C(vi,uj)根据式根据式(5.76)计算。算。简单克立克立金金法法计算示例的球状模型算示例的球状模型：复习思考题1.请简述克立格法的概念及其种述克立格法的概念及其种类。2.请简述克立格估述克立格估值的的过程。程。3.请比比较反距离加反距离加权法和普通克立格法的异同。法和普通克立格法的异同。4.将将简单克立格方程克立格方程组用用变异函数异函数进行表达，并写出相行表达，并写出相应的矩的矩阵表达式，然后利用表达式，然后利用变异函数表达的矩异函数表达的矩阵来来计算算简单克立格法的克立格法的计算示例。算示例。5.用用协方差函数表达的矩方差函数表达的矩阵来来计算普通克立格法的算普通克立格法的计算示例。算示例。6.若一区域化若一区域化变量的量的拟合模型合模型为纯块金效金效应模型，模型，请推推导说明用普通克立格法明用普通克立格法进行行估估值时，参与插，参与插值的采的采样点的点的权重特点。重特点。7.若普通克立格法的若普通克立格法的计算示例中，算示例中，1号点的坐号点的坐标为(1099904.96,-337837.61)，即与，即与0号点的位置重合，号点的位置重合，请计算算这时0号点的估号点的估计值，并，并说明克立格插明克立格插值法的特点。法的特点。复习思考题8、利用普通克立格法和如下球状模型利用普通克立格法和如下球状模型对下表下表0号点号点进行估行估计。9、根据用根据用变异函数表达的泛克立格方程异函数表达的泛克立格方程组写出写出对应的矩的矩阵表达式，并表达式，并计算泛克算泛克立格法示例。立格法示例。10、在在ArcGIS软件中件中实现协同克立格法插同克立格法插值，并，并对结果果进行行验证。