一次函数和几何综合题.doc

一次函数和几何综合题

一次函数和几何结合综合体
1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2013春•屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．

6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

7．（2012•桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；
（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

8．（2012秋•海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

9．（2012秋•成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2012秋•綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）
1．（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
解答：
解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF==，
∴点B的坐标是（，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．
解得．
∴直线AB的解析式是y=x+4；

（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=．
如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=×=．
DG=BD•sin60°=×=．
∴OH=EG=，DH=
∴点D的坐标为（，）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，
∴△ABE∽△BDG，
∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，
则有，解得BG=，DG=；
∴OH=，DH=；
∴点D的坐标为（，）．

（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，
∴DH=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，（舍去）
∴点P1的坐标为（，0）．
②∵当D在y轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，
∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，
∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，，
∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．
③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，
∴DH=﹣t﹣2．
∵△OPD的面积等于，
∴（﹣t）[﹣（2+t）]=，
解得（舍去），
∴点P4的坐标为（，0），
综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、
P4（，0）．

点评：
本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等，难度较大．

2．（2013•济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；
（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．
解答：
解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，
∴==，
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴==，
∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；

（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，
∴8﹣3t=t，
解得：t=2；
如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8﹣2t，
∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴t=3t﹣8，
解得：t=4；

（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，
∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，
当t=﹣=时，
S矩形PEFQ的最大值为：=，
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴2t＞8﹣t，
∴t，
∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴S矩形PEFQ=QP•QF=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴＜t≤4，
当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，
综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．

点评：
此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．

3．（2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
解答：
解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy=﹣x+6上，
∴设P（a，﹣a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，
解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；
③当PB=BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2=64，
解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．

点评：
本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．

4．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；
（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．
解答：
解：（1）x2﹣（+1）x+=0，
（x﹣）（x﹣1）=0，
解得x1=，x2=1，
∵OA＜OB，
∴OA=1，OB=，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB=2，
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4，
∴C（﹣3，0）；

（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
即∠ABC=90°，
由题意得：CM=t，CB=2．
①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；
②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；

（3）存在．
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），
在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），
在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），
②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，
设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，
所以Q4（1，）．
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q4（1，）．

点评：
考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．

5．（2013春•屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．

考点：
一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；
（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；
（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．
解答：
（1）解：∵A（﹣3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO==5，
答：OA的长是5．

（2）解：∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
5﹣3=2，
∴B（2，4），C（5，0），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5），
答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．

（3）①解：过M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=，
S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+，
∴，
当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣，
∴，
答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．

②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，
∴S的最大值是，
答：S的最大值是．

点评：
本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

考点：
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专题：
压轴题．
分析：
（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；
（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；
（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式．
解答：
（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，
∵，
∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG=OG，DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG2，
∴OG=，则G点坐标为：（，0），
CG=3﹣，在Rt△PCG中，
PG=2CG=2（3﹣），PC==3﹣3，则P点坐标为：（3，3﹣3），
设直线PE的解析式为y=kx+b，
则，解得，
所以，直线PE的解析式为y=x﹣3．

点评：
本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据正方形的性质证明三角形全等，根据三角形全等的性质求角、边的关系，利用特殊角解直角三角形，求P、G两点坐标，确定直线解析式．

7．（2012•桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；
（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题；探究型．
分析：
（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB=，t=AB﹣BC=﹣1；
（2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可；
（3）根据题意可直接得出b=1﹣t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1﹣），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意．
解答：
解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，
又AB=，
所以t=AB﹣BC=﹣1；

（2）OC=CP．
证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB为等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x轴，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC•cos45°=t，
∴BH=OT=OA﹣AT=1﹣t，
∴BP=BH﹣PH=1﹣t，
∴；（0＜t＜）
②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，则﹣t=|1﹣t|，
解得t=1或t=﹣1（舍去），
∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，
即P点坐标为：P（1，1﹣）．

点评：
主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数的性质和点的意义表示出相应的线段的长度，再结合三角形全等和等腰三角形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

8．（2012秋•海陵区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
综合题；数形结合．
分析：
（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．
②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．
（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．
解答：
解：（1）①由题意，（2分）
解得所以C（4，4）（3分）
②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）
所以．（6分）

（2）存在；
由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，
∵OQ平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面积为6，所以AM=12÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）

点评：
本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．

9．（2012秋•成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
一次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
开放型．
分析：
（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．
（3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D1，D2，D3的坐标．
解答：
解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=﹣m．
∴点A（﹣m，0）．
在直线y=﹣3x+n中，令y=0，得．
∴点B（，0）．
由，
得，
∴点P（，）．
在直线y=x+m中，令x=0，得y=m，
∴|﹣m|=|m|，即有AO=QO．
又∵∠AOQ=90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB=45°．

（2）∵CQ：AO=1：2，
∴（n﹣m）：m=1：2，
整理得3m=2n，
∴n=m，
∴==m，
而S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ=（+m）×（m）﹣×m×m=m2=，
解得m=±4，
∵m＞0，
∴m=4，
∴n=m=6，
∴P（）．
∴PA的函数表达式为y=x+4，
PB的函数表达式为y=﹣3x+6．

（3）存在．
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3．
①∵PD1∥AB且BD1∥AP，
∴PABD1是平行四边形．此时PD1=AB，易得；
②∵PD2∥AB且AD2∥BP，
∴PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得；
③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形．
∵BD3∥AP且B（2，O），
∴yBD3=x﹣2．同理可得yAD3=﹣3x﹣12
，
得，
∴．

点评：
本题的综合性强，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定以及面积的灵活计算．难度较大．

10．（2012秋•綦江县校级期末）如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
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专题：
综合题．
分析：
（1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积；
（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；
（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．
解答：
解：
（1）∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB=2，
设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x2﹣x2=4，
解得x=，S△ABC==；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，
S△APB=S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD==，
﹣=，解得m=；

（3）∵AB==2，
∴当AQ=AB时，点Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）；
当AB=BQ时，点Q4（0，+2），Q2（0，﹣2），Q2（﹣1，0）；
当AQ=BQ时，点Q6（0，），Q2（﹣1，0），
综上可得：（0，），（0，），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，）

点评：
此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．

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