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两条直线的位置关系

两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

选择题：
设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　充分性：当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；
必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1；
所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件

已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
解析　依题意得＝1，解得a＝－1＋或a＝－1－，∵a>0，∴a＝－1＋.
已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为(　　)
A．－7 B．－1 C．－1或－7 D.
解析　l1的斜率为－，在y轴上的截距为，l2的斜率为－，在y轴上的截距为.
又∵l1∥l2，由－＝－得，m2＋8m＋7＝0，得m＝－1或－7.
m＝－1时，＝＝2，l1与l2重合，故不符合题意；m＝－7时，＝≠＝－4，符合题意

已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1 B．2 C．0或－2 D．－1或2
解析　若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或a＝2，选D.

已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0
解析　若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0，若∠B＝，根据垂直关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．

已知过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5)的直线平行，则m的值为(　　)
A．－1 B．－2 C．2 D．1
解析　由题意得：kAB＝＝，kCD＝＝.由于AB∥CD，即kAB＝kCD，
所以＝，所以m＝－2

当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析　解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．

若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点(　　)
A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2)
解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．

从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
解析　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．

填空题：
已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为_____
解析　由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝，即a＝b＝5时取等号)

若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________
解析　由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.

已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.
解析　∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即＝－1，解得a＝－2.

已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________
解析　由方程组解得(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)，∴交点坐标为，
又∵交点位于第一象限，∴解得－＜k＜.

直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为______
解析　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________
解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0

与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________
解析　l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.

已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________
解析　由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，∴a＋b的值为0或

已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为_______
解析　若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan45°＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________
解析　设A′(x，y)，由已知得解得故A′.

解答题：
已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
解　(1)当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时，k1＝－，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－＝－2sinα，即sinα＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.

如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．

解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.

正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程
解　点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.

已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程
解　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则解得∴M′.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)．∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
解　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)，
又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.

求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解　解方程组得P(0，2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0.

已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解　依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得∴C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，∴∴B(－1，－3)，
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.

已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
解　(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∵点A(5,0)到l的距离为3，∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝PA＝＝.

专项能力提升
若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是 (　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
解析　因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.

欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，而表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.

已知直线l：y＝x－1，
(1)求点P(3,4)关于l对称的点Q；
(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程．
解　(1)设Q(x0，y0)，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，有解得
∴Q.
(2)在l上任取一点，如M(0，－1)，则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7)．
∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N且与l平行，
∴所求方程为y－7＝(x－4)，即为x－2y＋10＝0.

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