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课时跟踪检测（八） 增长速度的比较
A级——学考水平达标练
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．4
解析：选B 由已知得，＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.
2．函数f(x)＝x，g(x)＝x2在[0,1]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是( )
A．m1＝m2 B．m1>m2
C．m2>m1 D．m1，m2的大小无法确定
解析：选A m1＝＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，m2＝＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，故m1＝m2.
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
解析：选D 法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
4.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
5.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．
解析：因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，所以5 min前每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
答案：②④
6．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________ ℃/min.
解析：从上午9：20到下午1：30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为＝－0.03(℃/min)．
答案：－0.03
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．
答案：f(x)＞g(x)
8．已知一次函数f(x)在区间[－2,6]上的平均变化率为2，且函数图像过点(0,2)，试求该一次函数的表达式．
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
因为函数f(x)的图像过点(0,2)，
所以b＝2，即f(x)＝kx＋2.
因为＝＝2，
即＝2，解得k＝2，
所以该一次函数的表达式为f(x)＝2x＋2.
9.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，
f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
B级——高考水平高分练
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
解析：选B Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.
2．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数表达式为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是( )
A．前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24 m
B．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m
C．前3 s内球的平均速率为8 m/s
D．在时间[2,3]内球的平均速率为12 m/s
解析：选ABCD 前3 s内，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，此时平均速率为＝＝8(m/s)，故A、C正确；在时间[2,3]内，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，故平均速率为＝12(m/s)，所以B、D正确．综上，A、B、C、D都正确．
3.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
答案：[x3，x4]
4.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过几小时后，学生才能回到教室．
解：(1)由图像可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t>0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，则当t>0.1时，y＝.故y＝
(2)由题意可知，<0.25，得t>0.6.
故至少经过0.6小时后，学生才能回到教室．
5．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图像，并比较x＋5与2x的大小．
解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图像增长差异得：
当x＜3时，x＋5＞2x，
当x＝3时，x＋5＝2x，
当x＞5时，x＋5＜2x.
6．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图像(如图所示)．观察图像可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图像都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图像始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
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