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时间：2021年x月x日

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
页码：第347页 共347页

点亮师生智慧的心灯

高中数学

愉快高效教与学

孙舜宝　著

中国优生优育协会会长、中共早期著名领导人
秦邦宪（博古）之女题词：

在李政道博士题词前留影

作者简介：
孙舜宝　男　一九五六年十一月出生于南京市江宁县，中共党员，现为江苏省重点高中南京市秦淮中学党总支书记、教学副校长，江苏省考研会会员，南京市高中数学教学带头人，南京市数学会会员，一九九四年被评为中学高级教师。
　该同志幼年丧父，从小随外婆多处漂泊。十五岁时开始独立生活，在生产队边参加集体劳动，挣工分养活自己，边读初、高中。中学毕业后，在农村务农四年。恢复高考制度第一年，考入南京晓庄师范数学专业班，毕业后经书面考试进入省重点中学任教，后又考入江苏教育学院数学本科班，参加南京大学硕士课程班、海南大学文学写作班（函授）学习。
该同志先后在农村中学、市重点中学、省重点中学、国家级重点中学四所学校任教。在市、省、国家级三所重点高中工作期间，均分别担任过校长、教学副校长，对各种基础的高中学生情况有一定研究。从事学校行政管理工作二十年来，一直没有离开高中数学第一线教学的课堂教学，其中一半以上时间，担任高三毕业班的数学教学。
该同志多年担任高中班主任。即使在担任学校行政管理工作的前十年，仍然坚持任两个高中班级的数学教学，同时兼任班主任。与学生感情深厚，擅长对学情调查和分析，调查报告曾获中国科学院管理科学学术成果二等奖。平时注意研究教与学的实际，业余写作、发表学术论文４０余篇。另外，在报刊、杂志发表新闻、特写、思想教育专稿约３０篇，任教以来，教育教学效益，受到师生、家长和社会的广泛好评。

目　　录
第一章　对中学数学教与学的认识和思考
第二章　课堂教学方法实践与探索
一、 新课讲授篇
1、循序渐进法
2、讲练提高法
3、数形结合法
4、温故知新法
5、实验探索法
6、动定分析法
7、猜想验证法
8、讨论归纳法
9、巧用迁移法
10、自学辅导法
二、复习总结篇
1、概念梳理法
2、图表总结法
3、题型凝练法
4、学生自主法
5、类比对应法
6、提纲扩充法
7、查漏补缺法
8、错误矫正法
9、系统构建法
10、信息反馈法
三、评估命题篇
1 、单元评估法
2 、夯实基础法
3 、重点突出法
4 、能力提高法
5 、前后呼应法
6 、错误会诊法
四、练习讲评篇
1、重点突出法
2、难点突破法
3、优生展示法
4、错解选讲法
5、板演点评法
6、一题多解法
7、举一反三法
8、易错多练法
9、优生减负法
10、弱生帮扶法
第三章　愉快高效的学习方法案例与点拨
１、故事一：他为什么经常与同宿舍同学发生矛盾
２、故事二：建立《纠错、典型收集本》，学会经常反思和提高
３、故事三：“做学生，每写一个字符都要负责任！”
４、故事四：高考少做一张试卷，反而取得了好成绩
５、故事五：笔记，不是在漂亮的本子上写了一点潦草的字符
６、故事六：只有减轻学生负担，才能让优秀学生飞翔得更高
７、故事七：培养兴趣，比其它教学活动更重要
８、故事八：学习的时间，一天不一定是２４小时
第四章　教与学反思与创新
一、已公开发表的数学教与学论文选摘
１、由勾股数引出的数学猜想
２、三角函数解题中的几种易发错误
３、巧用“三分法”，解数学难题也轻松
４、一国际数学竞赛侯选题的多种解法及推广
５、一道值得商榷的高考题
６、从一道几何题求（tgx+ctgx）的极植
７、一个常见恒等式的应用
８、线段的巧妙平移和调整
９、用补图法巧解平面几何难题
二、已公开发表的教育论文选摘
１、数学教学中主动性、合作性学习与减负增效的实验和思考
２、“R、V、T方案”——改革教学参考和课堂教学的一点设想
３、胡 杨 根 雕
４、激发和培养学生的优良学习动机，贵在让学生学习中真正“动”起来
５、初中优生高中落伍原因调查与分析
６、“教是为了不教”——构建学生自主学习，创新课堂教学模式的方案
７、“激励”是使教育成功的重要手段
８、善问，良师之长也
９、创设多元发展环境，点亮学生智慧心灯
１０、“困减”一个极易忽视的教育良机
１１、公约化管理新探
１２、有感于同学间的礼品
第五章　新课程管理与探索
１、教师应该是社会上 “大写的人”
２、以课堂教学为中心 向课堂教学要效益
３、立师德 铸师魂 讲规范 提效益
４、教学质量，学校立校之本　提升质量，教师责无旁贷
５、优化课堂教学结构 提高课堂教学效益
６、南京市秦淮中学新课程实施意见（试行）
７、秦淮中学2005—2007学年新课程实施计划及细则
８、南京市秦淮中学新课程实施、发展规划
９、学生素质评估（学分管理）组织机构与职责
１０、秦淮中学关于试行课堂教学视导制的决定
１１、南京市秦淮中学校本研训制度与实施方案
１２、南京市秦淮中学校本教材开发、施用有关规定
１３、南京市秦淮中学师生研究性学习的有关规定
１４、南京市秦淮中学教师继续教育的有关规定
１５、充分发挥党组织的战斗堡垒作用，
为学校四星级创建保驾护航
第六章　附录：课程改革几个主要文件
附件一：国务院关于基础教育改革与发展的决定
附件二：教育部：基础教育课程改革纲要(试行)
附件三：江苏省普通高中课程改革实施方案(试行)
附件四：江苏省普通高中课程设置与管理指导意见（试行）

第一章　对中学数学教与学的认识和思考
优先发展教育，将我国真正建设成为人力资源强国，是历史赋于我们的神圣使命，是高举中国特色社会主义伟大旗帜，全面建设小康社会、关注民生的重点建设内容。
教育是民族振兴的基石。更新教育观念，深化教育教学内容的改革，深化教育教学手段和方法的改革，减轻中小学生课业负担，提高学生综合素质，建设全民学习、终身学习的学习型社会，是中国特色社会主义赋于当代每一个教育工作者的神圣职责。
进入二十一世纪以来，科学技术迅猛发展，知识经济成倍翻番，国际竞争日益激烈，可持续的科学发展观，已为全世界有识之士所认同。
新世纪科学发展的一个重要特征是：“在几乎所有的科技领域，各门科学都有一种更为数学化的趋势（摘自《世纪科技论坛报告》）”。著名科学家A.N.Rao曾一针见血地指出：“一个国家科学进步的程度，可以用它消耗的数学来度量。”美国前总统里根，首次当选总统时宣布的治国策略中,也将加强中小学数学教育教学，作为治国的大政方针之一，郑重地提了出来……。当今世界上各国政要和绝大多数科学家对数学学科发展和运用的关注，从各个方面证明了数学素养在提高人的素质方面的必要性，进而与加快科技发展、实现国富民强的重要性。著名数学家柯尔莫戈罗夫更是非常自豪地说：“数学可以应用的领域，原则上是无限的。”
中国是一个历史悠久的文明古国，中华民族同时又是在数学探究和运用方面，为人类文明发展史做出过重要贡献、勤劳智慧的伟大民族。在世界上许多地区和民族还没有文字的两千多年前，我们的祖先所提倡的 “礼、乐、射、御、书、数”中，“数、算术”就与“唯此为大”的“礼”并列通称之为“六艺”；《九章算术》、《骨髀算经》、祖冲之父子所提出的关于圆周长与直径之比的“祖率”等（现称π值），虽经千年仍熠熠生辉。
不可否认，在中华民族的文明发展史中，数学的发展也有过一些曲折的历程。在近千年“学而优则仕”的乡试、县试、殿试中，“论语”、“中庸”、“大学”、“三纲五常”等文言软书（个人将毛笔书写的文字，姑且称之为一种软书）的“语言学科”是主要考试和评判的内容，其它一些实用理论和技术，均被归之为不登大雅之堂的“技”、“艺”、“术”，被排斥在进取仕途的考试内容和过程之外！久而久之，有智、有才，试图通过考试达到“学而优则仕”的年轻一代，在家庭和长辈们的干涉下，绝大多数放弃了自己在“技”、“艺”、“术”等方面的爱好、探讨和研究，一个本来具有四大发明的泱泱大国，逐渐落伍成了西方列强和某些小国欺辱的对象！那些运用中华民族四大发明之一、火药发明的侵略者，用洋枪洋炮打开了中华古国的大门，到处烧杀抢掠，以血的教训告诉我们：放弃“技、艺、术的研究，就会落后，落后就要挨打”。
面对装备、技艺领先的外侮，禁烟都督林则徐深有感触，他冒着被圣上杀头的危险，提出了“师夷长技以制夷”的主张，这也许是我们的民族，在血的教训下，第一次喊出“学习外族技艺，以强吾族”的声音，可惜被可怕的自尊和狂妄淹没了。他的重臣闽浙总督和船政大臣更是直接联名向皇帝启奏：“水师之强弱，以炮船为宗；炮船之巧拙，以算学为本。”骁勇的古代战将，在那血与火的拼杀中，竟然领悟到了“以算学为本”，想到了运用今天称之为“数学”学科的理论，是解决海战之要素“炮船”之“本”，实在令我等后人肃然起敬！
实际上，在很长的历史阶段，中华民族在数学的研究上，有着其它任何民族无法攀比的优势，许多近一两百年才被世界上普遍研究的数学问题，我们的祖先早在一两千年以前，就以形象化的实际问题分析，构建了目前还属于中学数学中最主要的数学概念模型。我们伟大的祖先们，以“鸡兔同笼”、“大小和尚吃馒头”等形象化比如，讲述了一元一次方程组、一元二次方程的形式和求解；以“宝塔上的灯盏”构建了数列的基本模型；以“杨辉三角”形象地给出了“二项式展开式的系数”；以“一尺之槌，日取其半，万世不竭”和中国特有的“割圆术”化方为圆，讲述了极限的思想，而极限思想实际上是近代微积分学的基础和近代高等数学的起源支柱。只可惜因为我们的象形化汉字，在没有引入阿拉伯数字和其它字母符号以前，表达这样的数字关系，特别是复杂的数式关系时，是那样的复杂和困难，以致于目前我们可以读到的，我们的祖先所写作的有关数学理论研究的许多著作，看起来是那样的生涩难懂，即使有大学本科以上学历的数学专业师生，也未必能够很顺畅地进行阅读和理解。毋庸置疑，这样书写和描述的数学理论，在其推广和使用上，特别是在古代绝大多数人还是文盲和半文盲的时候，必然落得个“阳春白雪，和者必寡”的窘态。由此看来，即使是世界上最伟大的文字，如果不借鉴全人类的文化精华，在某些方面也会出现一些瑕疵和不足。
教育部最新颁布的《普通高中课程标准》指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的运用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合，在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中，发挥着独特的、不可替代的作用，数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”《普通高中课程标准》的这段文字，明确地指出了数学的定义和价值。
现实确实是这样，让我们仔细看看当今五彩缤纷、日新月异的世界：物理学、化工学、生物学、天文学、经济学和统计学等传统学科中，数学的运用越来越深入，越来越广泛，是人们认为随着时代的发展理所当然的事。而过去一度认为几乎与数学联系不多的人口学、考古学、气象学、规划学、建筑学、医药学，甚至是人们日常生活中的社会学，数学的运用也到了几乎无所不在的地步。考古研究中碳14的测定，是古生物年代确定的主要依据，用的是典型的指数对数计算；气象学中天气变化及未来气象的描述，运用了概率统计和模糊数学；规划学中的数理统计、建筑学中的数学曲线运用（如北京０８年奥运会的主建筑之一“鸟巢”的设计）和模型建构、生物学中的数学优选，传染病学研究中指数计算和偏微分方程的科学精确描述等等，可以说数学为各门科学的数据计算、模型建构、趋势探索、逻辑推理、外延拓展、综合运用、快速发展，提供了其它学科难以替代的强有力支撑，为各门学科的迅猛发展提供了工具，增添了腾飞的翅膀。
二十世纪医学检查、诊断学中，出现过一例非常有趣的发明，国外研究放射学科的医生，在辅导自己孩子的小学数学时突发灵感：运用数学中最最简单的加减法原理，辅以计算机的程序控制和操作，在摄片中将短时间内不变的人体皮肉、骨格、毛发等影像“做减法”减去，将不断流动的血液影像“做加法”增加强化，拍摄出了世界上第一张清晰的血流图像，发明了一系列医学检测机械。让以前根本看不见摸不着的病人各种血管中的血流情况，血管破裂后机体组织中瘀血情况等，如空中网络般地、直观形象地展示在医生和病人面前（比过去手术探查更简捷明快），找到了医学诊断中自古以来医生们只能凭经验和想象、估计和猜测，但是无法确定、无法看得见、无法准确描述的、梦寐以求的清晰诊断参考图片。医学中这一运用数学最基本原理的发明，为快速地进行医学诊断，及时地抢救心脑血管病变患者等，提供了直观、清晰、有力的参考，为挽救许多心脑血管患者的生命，甚至可以说为全人类的健康做出了巨大的贡献。目前在很多规模较大医院普遍使用的脑血流图成像，就是数学加减法这一最基本原理的一项典型的运用；近年来，解析几何中椭圆曲线的两个焦点所具有的光学和力学性质，在军事目标测定，医学的体外碎石、体外手术中也发挥了奇妙的作用；数学原理、数学知识在各个领域的应用实在是举不胜举……。这再一次证明了伟大的导师马克思很久以前的预言： “一门学科只有当达到了能够灵活运用数学时，才算是真正地发展了。”“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”（摘自拉法格在《马克思回忆录》）的正确与先见之明。
数学理论、数学逻辑、数学模型、数学建构、数学计算等，在当今世界各个领域的广泛运用，已是不争的事实。数学几乎无处不在，数学的应用还将向更广泛、更深入的方向发展，这是人类早已形成的共识。随着世界的科学进步和发展，令人目不暇接的数字化时代必将迅速地到来，数学教育与数学研究的发展和要求，必将随着社会的需求，不断地提高，越来越普及。
快速发展的现代社会，需要人们有更多的数学素养和数学知识，需要更多的具有一定数学思维，能够运用数学知识、数学方法和数学技能的人才，这就给数学教育，特别是数学的基础教育提出了更高的要求。
《普通高中课程标准》前言中指出：“数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面，在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。”
“在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思路有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思想方式解决问题、认识世界。” 《普通高中课程标准》的这两段前言，实际上指出了中学数学教育的地位、作用和重要性。
中小学的数学教育，在普及义务教育的当代，乃至在今后很长的时间，必然是中小学课程中最最主要的学科之一（对照江苏省０８年新高考方案，数学在高考中的地位和作用，其重要性更是不言而喻），也是培养和提高人们素养的最重要的基础学科工程。我们可以预言，随着时代的进步，科技的发展、社会的需求，对从事中小学数学教育的老师们，必将提出越来越高的要求。
随着国家经济实力的增长，高中教育必将越来越普及，高中的数学教育更是渴望、并且必然得到进一步的发展。与此同时，我们相信，人类的进步和发展也必将为从事数学教育，特别是从事中小学数学普及教育的工作者们，提供更多的施展才华的广阔天地。
我国中小学数学教育的研究，中小学数学教育的教材教法研究，教学模式、教学方法、教学过程的研究，一直是中小学数学教师特别关注的内容，也是各种教育教学杂志和期刊的热门研究话题。许多中小学教师和从事教育教学研究的学者和专家，通过调查、实践、研究、分析、总结等，在教学方法方面，提出过许许多多有影响、有价值的方法，如近年在教学实践中运用比较广泛的目标教学法、几段式教学法、结构定向教学法、精讲多练教学法、自学辅导教学法、四步、五步教学法、情景感染式教学法、单元阶段式教学法、讨论研究式教学法等等，对传统的数学教学模式进行了不断地改革和创新，同时也取得了一大批丰硕的成果。
在新一轮的课程改革中，教学模式和教学过程的改革更是一项十分重要的内容，中小学数学教育的教材教法研究，教学模式、教学方法、教学过程的研究，必将出现更加喜人的局面。
一般地说，教学过程是对教与学活动的严格组织、协调和控制的过程。不管是信息技术广泛运用于教与学的现在，还是在有新的科学技术手段运用于教学的将来，课堂教学在很长一段时间内，仍然是学校教育教学过程的中心环节；是全面贯彻党和国家的教育方针，全面推进素质教育，全面提升教育教学质量，全方位培养高素质人才的主渠道；是教师传授知识，让学生学会学习，掌握知识体系，灵活运用所学知识解决各种问题的主阵地；是每一位从事教育教学的教育工作者，必须经历和思考研究的课题；是提高教育教学效益、提高师生素质的重要实践途径。
教育科学研究认为：课堂教学是一个由多种因素组成的复杂系统。教学系统要素的构成可分为两个方面：构成要素：教师、学生、教材和教学条件；过程要素：教学目标、内容、方法、组织形式和教学结果等。前者是教学活动的主体、媒介和教学过程可以运用的前提条件，是决定教学质量最基本的实体因素；后者是教学系统运行过程中的逻辑程序，是教师个人在教学实践中选择的教学方案（一般是教师个人认为最佳的教学方案），是有效地组织教学过程，提高教育教学质量，理应遵循的逻辑程序。
课堂教学同时又是一项极其复杂的科学劳动。教师要在有限的时间内，尽可能多地教给学生应该掌握的知识和技能，要求学生理解、掌握和灵活运用所学知识解决所遇到的各种问题（近阶段有形的评价是各种形式的考试，是学生解决考试中各种问题的能力评估）。教师要在课堂教学过程中大力开发学生的智力、激发学生的兴趣、提高他们的能力、磨练他们的意志、影响他们的人格和品德、陶冶他们的情操等。这一系列的任务要想较好地实现和完成，决不是一件轻而易举的事。课堂教学的复杂性、针对性、灵活性、实效性，决定了教师课堂教学的独创性、实践性、科学性、实用性。由于中小学教师每天面对的是感情丰富、灵活多变、千差万别、朝气蓬勃的青少年学生，任何教师很难完全应用现有的，哪怕是正式出版的名人名师教案、集体备课教案，去直接地、刻板地在课堂上进行教学。即使是自己准备好的教案，完全用它去解决课堂教学中随时可能出现的问题，实践中也是件很困难的事（有经验的老师可能准备的适用些、充分些）。所以说，教学方案的设计、教学内容的编排和处理、教学方法和途径的选择、教学手段和辅助器材的选用，上课过程中教学策略的随时调整，教学情感随着学生的变化而变化地进行交流，教学过程的灵活组织和实施等等，都需要教师在教学过程中、在课堂教学的具体实践中，发挥自己的主观能动性，进而体现教师课堂教学的实践性和独创性。
在课堂教学的具体运作中，由于各种要素排列的不同，教师实际操作的顺序、过程的不同，教师与学生情感交流沟通的情况不同等等，同样的教学内容，同样的备课预案，可能产生不同的组合效应，形成不同的教学效果。只有各种教学因素，以学生为教学主体，以最佳的形式排列组合，互相协调运行、相得益彰，教师以饱满的精神状态全身心地投入，才能达到课堂教学整体功能的优化，实现课堂教学的优质高效。
本人在中学工作三十余年，先后担任过近二十届高三毕业班的数学教学和初中奥赛班的数学教学，在国家级重点、省重点、市重点、乡村“五、七”中学等四所中学，均担任过校长、分管教学副校长等教学管理工作，一直坚持在教学第一线讲授中学数学课程。校内、校外听课近千节，在省内外多次上过公开课、研讨课、观摩课、电视实况直播课。在各级各类报刊、杂志上发表过数十篇教育教学文章，参编过几册教学参考书。当面聆听过徐利治、常庚哲、周伯熏、苏淳、单土尊等大师的教诲，并得到过他们的多次个别指点和书信指导，深深感到学无定法，教学更无定法，教学研究和探索永无止境。一个老师自己有一定的水平是必备的，但仅仅是教师有水平并不能代表他就能教好学生，教学工作是一个复杂的系统工程。科学的教学理论，必须贯彻落实到每一节实实在在的课堂教学细节之中去，现有的各种教学理论、教学模式、教学方法，必须由一节节课堂教学去组织、去实施、去实践、去探索。
基于上述认识，本人力图在高中数学课堂教学的具体方法、高中学生的学习方法，特别是数学学习的方法等方面，借鉴专家、学者的理论，结合自己的所见所闻和教与学实践，包括一些学生学习的个案分析，作一些粗浅的探索，供从事中小学数学教学的同仁们参考，为初任中小学数学教师的年轻同志们铺路，为正在进行中小学学习的同学们，开设一个学习数学方法的一个窗口，同时希望得到专家、学者和同仁们的指点。

第二篇　课堂教学方法实践与探索
一、 新课讲授篇
万事开头难，良好的开端，等于成功了一半。数学教学无论是知识体系，还是学生的认知结构，新课讲授都是数学教学中十分重要的一环。高中数学教与学，与初中、小学的数学教与学一个明显不同的特点就是，特别注重数学概念的教与学。绝大部分高中数学的解题过程，就是依据高中数学的基本概念，加上基本的数学思想和多种方法的综合运用。在数学新课讲授时，如果您一走上讲台，就能牢牢地吸引住学生的注意力，教学中能激发学生的兴趣，启迪学生的思维，充分调动学生的积极性，教学过程中又能很好地实现师生间的互动，那么，这节数学课就有了很大的成功希望。
根据数学教材不同的章节和内容特点，采取不同的教学方法和措施，经常让学生有新鲜感，对教师是高要求，对学生是喜闻乐见。在个人的三十年高中数学教学中，除大家所熟知的常见基本方法外，我尝试了一些下列方法：

1 、循序渐进法
数学课堂教学不但要帮助学生获得新知识，更要提高学生数学学习的兴趣和包括自主学习在内的各种能力。在一次到另外的农村学校借班上公开课的比赛时，我抽签上课的内容是初中的“一元一次方程的解法”，经过半小时准备，我走进了一个完全不熟悉的教室。课堂上我简单地讲清了一元一次方程解法的基本概念以后，作了如下的课堂教学设计（每次先写出一个方程，简单讨论后感到学生已经理解了，再紧接着写出下面一个稍微改动的方程，题后括号内容不向学生展示，仅是个人备课时的基本设想）：
解下列方程：
1. X-7=5(小学基础)
2. 2X-7=5（X的系数改为2）
3. 2X-7=5X（右边添字母X）
4. 2/3X-7=5X（左边系数改为分数）
5. 2/3（X-7）=5X（左边加括号）
6. 2/3（X-7）=5X-3（右边增加常数项）
7. 2/3（X-7）=5X-3/2（右边系数改为分数）
8. 0.2/3（X-7）=0.5X-3/2（部分系数改为小数）
9. 0.2/3（X-7）=0.5X-3/2+1（右边增“+1”项）
10.－ X- 0.2/3（X-7）=0.5X-3/2+1（左边增X项并添负号）
一个小题板书后简单地讨论一下，紧接着写出了下一个小题，一连串简单的小题，每次仅作一点点变化，学生感到既熟悉又生疏，还有一点点神奇！结果，那些可爱的农村孩子，一改过去的沉默和羞涩，一个个跃跃欲试，甚至站起来拼命伸长着自己的小手要求发言，没等我去布置、要求，举起的一只只小手犹如一艘艘前进着舢舨的小帆，迫不及待地要求回答和上黑板板演。上黑板的同学之中，绝大多数同学都给出了正确的答案，让在后面听课的原任课老师，既高兴又感到不可思议？“没有想到平时见到生人就害怕的农村孩子，在数学课堂上也能如此活跃！没有想到高中教师到乡下教一节初中数学课，也能得到农村孩子的如此欢迎！”下乡开设示范课取得了非常满意的结果。
在平常的高中教学中，我也常以此法试探着设计一些可用此法讲授的课堂教学，经过一段时间的培养，学生积极主动地去解决新问题的能力，明显有了提高。课堂如此设计，虽常有与课本例题形似而不相同的“不足”，但设计巧妙同样能覆盖课本中知识。经过实践证明，数学教材中的例题，教师没有在课堂上照搬照抄，学生在课堂上常常有新鲜感，反而能激发学生阅读教材的积极性，解决学生那种“数学书没有看头，老师都讲了”，其实老师讲了学生不一定都会的矛盾。
由易而难、循序渐进的课堂设计，向学生展示了复杂问题的产生过程，揭示了数学复杂问题的来由和本质，同时也给学生以战胜困难的决心和信心，（这是数学教学中常常容易忽视但却是十分重要的东西，许多高中学生，初中数学成绩还比较好，进入高中以后，数学学习遇到了一定的困难，他们中绝大多数人会自觉地进行一段时间的努力。但努力一段时间后，考试成绩不一定有明显地提高。此时，许多孩子可能会在数学学习的信心上有些动摇。此时，老师必须给予及时的帮助，特别是学习信心上、心理上的帮助。否则，这些学生的数学很快就会与班级的整体水平落下一定的距离，形成数学成绩明显的两极分化）同时又培养了学生在解决问题时，化繁为简、化难为易的能力，无形中提高了学生的素质。

2 、讲练提高法
数学教与学与文言学科教与学的一个最明显的区别是；有些文科知识，学生听懂就能掌握，看懂就能参加考试。但数学的教与学，仅仅教会学生记忆、读懂公式，不做相应的练习和训练，一般情况下，学生感到好象是掌握了，模仿课本的例题，依照教师的讲解，似乎也能做一些作业，但实际上学生的掌握和理解还仅仅是很浮浅的。题目的条件和结论略做改变，公式的应用略作变形，这些学生往往就会感到不能适应。
在讲授函数的奇偶性这一节课时，我在两个平行班做了两种不同的教学方法比较（同样用两节课堂教学的时间），一个班在很简短地讲解了函数奇偶性的定义和图象的性质以后；为了让学生准确掌握函数奇偶性的定义和图象的性质，能判断一些简单函数的奇偶性；我安排了如下讨论和训练题：
1．给出4个函数：
（1）；（2）；（3）；
（4）。其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数，也不是偶函数。
2．函数的奇偶性是________．
3．已知是定义在R上的奇函数，且当时，， 则= .
4．是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．已知是奇函数，且当时，=，那么当时，等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
紧接着我又安排了如下师生一起讨论和探索：
例1 判断下列函数的奇偶性
（1） ；（2）
（3）；（4）；
(5)
例2 设为实数，函数，。
（Ⅰ）讨论的奇偶性；
（Ⅱ）求的最小值。
例3 已知是奇函数，，且，求。
例4 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，，则的值为
（A） （B） （C） （D）
例5 已知函数，对任意的非零实数，恒有
，试判断函数的奇偶性。
两节课堂教学结束前，我安排了如下反馈练习来检测教学效果：
1．函数的图象 　　　　　　　　　　　（ ）

（A）与的图象关于y轴对称. （B）与的图象关于坐标原点对称.　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
（C）与的图象关于Ｘ轴对称. （D）与的图象关于坐标原点对称
2．函数是 （ ）
(A)周期为的偶函数 (B)周期为的奇函数
(C)周期为的偶函数 (D)周期为的奇函数

3．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段，则在区间[1，2]上= 。
4．若是偶函数，试讨论函数的图象 的对称性。
5．已知是奇函数，且，求函数的解析式。
在另一个对比班，我以传统的方法，以教师讲授为主，因为按我过去的认识，新授概念课好象教师讲授更好些。结果，后一个班的教学比第一个班级在同样时间内，反而少讲了两道题，容量较前一个班少不说，用同样的课堂教学后反馈练习检测，效果也比第一个班级掌握的差一些。看来，有些数学新授课，讲练结合的效果，可能明显好于以教师讲授为主的课堂教学模式。后来，我在多次教师会上，都要求教师在教学中，特别是理科教学中，应注意讲练结合，原因就来自这次的对比试验对我的启发。

3 、数形结合法
“数学是研究空间形式和数量关系的科学”。数学的教与学过程中，必须注意提高学生的空间想象能力，运算能力，数学模型建构等能力。数学语言十分丰富，不但有文字叙述语言，而且有数式语言、几何语言和图象直观显示语言等等。实际上，数学知识进入高中阶段以后，集合有维恩图，函数有图象曲线；三角函数有三角函数曲线，数列有点列（直线或曲线上的离散点），复数有复平面上的表示与变换，至于立体几何、解析几何、空间向量等，本身就是几何图形的研究，更是离不开对图象的分析。所以说，高中数学的内容本身就决定了数学的教与学有条件，甚至离不开对图象的分析。这就为数学的教与学采用“数形结合法”创造了独辟蹊径的条件。
例如，在讲授了指数、对数函数的定义和图象性质以后，我安排了以下师生共同研究性学习的问题：
１、设函数y=f(x)的定义域为实数集，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)＝－1，请按从小到大的顺序排列f(1/3), f( 2/3 ), f( 3/2 )。
分析：方法一，本例可以根据题目的条件信息，先求出
时的具体函数y=f(x)，然后分别代入三个自变量，分别求出三个函数值，进而比较大小，但求出函数容易出错，而且不如方法二形象直观。

┣
┣
┣
┣
2
1
111

(2, 8)
(1, 2)
2
4
6
8
O
┻
方法二，利用对称性，画出y=f (x)的图象（见上图），由对称性可知：f( 3/2 )＝f( 1/2 ).三个数的大小显而易见：
f(1/3)＞f( 3/2 )＞f( 2/3 )。　
2、设a、b、c均为正数，且2a= ，()b=， ()c =请按从小到大的顺序排列a、b、c
分析，本例中三个方程，左边是指数，右边是对数，属于超越方程，根据中学现有数学知识，学生很难求出具体的字母数值，但分别画出每一组指数、对数函数图象，我们可以直观地看到，三组函数图象的交点分别在不同的范围内（以横坐标分析，依次为左、中、右三点）所以我们可以直观地得出a、b、c三个数的大小：
┻
┻
┻
┻
┣
┣
┣
┣
┻
┣

4
3
2
1
c
a
b
-1
-1
O
1
2
3
4

()

()
.
.
(2, 1)
(2, -1)

与此同时，也要提醒同学，由于作图的不规范，特别是立体几何的图形由于观察的角度不同，可能会给我们一些错觉，明明是两条异面直线，可能会给人一种似乎平行或相交的感觉。解析几何或两个函数图象中，明明不相交，看起来却可能是两条相交直线等等，这就要我们通过以数式分析，或逻辑推理来认定。平时利用数形结合分析时，特别是运用函数图象分析时，要尽可能将图象画得准确一些，关键点更是不能出错。

4、 温故知新法
高中数学的教与学，根据学科特点和知识结构，前后内容具有很强的联系性，教授新的数学内容时，注意恰当地联系、复习前面所学的内容和知识，有利于认识新旧知识的结构、联系和发展，巩固已学知识，加深对已有知识的进一步理解和掌握。
现有高中数学内容，除极个别专题性的章节内容外，均可采用温故知新的方法进行教学。运用此法进行教学，可能一开始教学进度慢一点，但及时巩固已学内容，让知识承上启下，有利于学生系统地掌握数学知识。
例如，教学“不等式的解法”时，可以联系、对比相应“方程的求解”这一章节内容，既讲清了方程根是确定值，又可讲清不等式的解通常是一个范围，而不等式解的范围边界，又与类似方程的根有着紧密的对应关系和联系。
讲解“双曲线”时，可以联系、对比“椭圆”的定义、性质、方程及其讨论，对比分析，温故而知新。特别是椭圆和双曲线的方程、焦点坐标、准线方程，在字母信息a、b、c中似乎有许多相同点，但实际计算，因为a、b、c的内在关系不同，又有本质的不同。为什么双曲线有渐近线，而椭圆没有渐近线？三个字母的运算关系相同点和不同点是什么原因造成的等等。
复数这一章节的内容，可以说对前面所学高中数学知识，除立体几何知识以外，几乎都可以进行重新整理和覆盖。
复数的代数形式a+bi中，如将字母i可以看作一个特别的、具有周期性性质的符号进行计算，可以覆盖几乎所有的代数问题；复数的三角函数表达式z=cosa+isina，结合棣莫佛公式，分别进行二项式代数形式展开和利用棣莫佛公式展开，加上角的赋值方法运用，几乎可以推导所有的三角函数公式，不但有效地复习了三角函数公式和概念，而且给出了一种三角函数公式、特别是课本内容中没有提及的二倍角以上倍角公式的推导方法，实践证明，还有助于长时间的记忆并帮助学生探讨、研究三倍角、四倍角等多倍角三角函数公式的推导；利用复数模的几何意义就是两点间的距离概念，可以根据平面解析几何中的轨迹定义，对平面解析几何的所有问题，进行重新讨论，对圆锥曲线的概念、公式、基本计算等，从另一个观察角度给出了一种别开生面的解释，有很好的促进、加深、巩固作用。对于新接触复数这块内容的学生，同时又让其感受到了学习复数知识的作用和意义，激发兴趣、调动积极性。
高中数学的许多新授课程和内容，采用此法进行教学，能够让数学知识串成线、铺成面，前后呼应、相辅相成，及时加强巩固已学知识，引领新学知识，实践证明效果较好。

5 、实验探索法
高中的物理、化学、生物学科，有实验的要求，有些内容，必须通过实验教学，才能帮助学生正确理解有关内容和知识点，这是大家所共知的。数学有没有可以实验的内容呢？巧妙设计的数学实验，不但能激发学生学习数学的兴趣，而且能优化数学的课堂教学。
因为数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础。新兴的科学手段如计算机、多媒体等进入课堂教学，为数学的部分内容实验，提供了可行性条件。
例如，进入高二年级以后，学生的计算机基础知识已经具备，函数的各种图象、直线与曲线的交点、方程根的存在性、个数的讨论，圆锥曲线的方程与图象画法、立体几何图形的翻转等等，教师或学生自主设计有关程序以后，在计算机上进行实验，能够起到简明扼要、直观清晰的效果。如我在讲完椭圆一节计算机作图内容以后，提出，将椭圆方程中“加号”作图程序改写成“减号”作图程序以后，看看图象会不会还是椭圆？会是什么图象？双曲线是不是两支抛物线对称构成的几何曲线等等。抛物线与双曲线的一支，有没有区别，为什么双曲线有渐近线，而抛物线没有渐近线？通过实验和逻辑证明的同时映证，可以帮学生加深理解数学的具体内容。
附：在南京市某国家级重点中学公开课讲学案一份：幂函数（1）讲学案
班级_______ 姓名____________（2006、11、5）
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握幂函数的概念，会正确画出常见幂函数图象，了解常见幂函数性质，能正确利用幂函数的图象和性质，解答相关问题。
2、过程与方法：通过观察、实验、归纳、探究幂函数性质。利用解题比赛，培养自主、合作学习的能力，及时反馈教与学效果。
3、情感态度与价值观：利用幂函数的指数变化，探究幂函数的性质，调动学生学习积极性