2018高三数学各地优质文科二模试题分项汇编3：导数与应用.doc

2018高三数学各地优质文科二模试题分项汇编3：导数与应用

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】
专题三 导数与应用
一、选择题
1．【2018全国统一考试高三二调】已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D

点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
2．【2018东莞高三二模】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相切于点，因为，所以该切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象，得.故选C.

3．【2018贵州高三适应性考试】设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D

直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1﹣a﹣a，g（﹣2）=
解得： ≤a＜
故选：D．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
4．【2018北京师范大学附中高三二模】设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D

5．【2018陕西咸阳高三二模】已知定义在上的函数的导函数为，且，设， ，则， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】令，则.
即在上为增函数.
所以，即，整理得： ，即.
故选A.
点睛：本题主要考查构造函数，常用的有： ，构造xf(x)；
2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；
，构造;
，构造；
，构造.等等.
6．【2018河南商丘高三二模】定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式 (其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

点睛：构造函数，再研究函数的性质，再利用函数的性质解题，是函数里的一个常用技巧.本题就利用了这个技巧，先构造函数g(x)=,再分析函数g(x)的单调性和特殊点，最后利用函数的性质解答.
7．【2018重庆高三二诊】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
∴，
∴，
∴曲线在点处的切线方程为．
令，得；令得．
∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．选B．
8．【2018东北三省四市高三一模】已知过曲线上一点作曲线的切线，若切线在轴上的截距小于0时，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

9．【2018广东茂名高三二模】若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得对任意的恒成立，
设 则
当时在上恒成立， 在上单调递增，又
在上 不合题意；
当时，可知在单调递减，在单调递增，要使
在在上恒成立，只要 ，令 可知在上单调递增，，在在上单调递减，又
故选A.
10．【2018安徽马鞍山高三质监二】已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题；构造函数，利用导数证得在上单调递增，且为奇函数，原不等式等价于，由此解得的范围.
11．【2018云南昆明高三二模】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数，可得， 有唯一极值点有唯一根， 无根，即与无交点，可得，由得， 在上递增，由得， 在上递减， ，即实数的取值范围是，故选A.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
12．【2018陕西榆林高三二模】
设函数，若，使得直线的斜率为0，则的最小值为（ ）
A. -8 B. C. -6 D. 2
【答案】C

当x∈（﹣∞，﹣2）和（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）是递增函数．
当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0，则g（x）是递减函数．
∵x∈[﹣1，2]
∴g（1）min=﹣7﹣m
g（﹣1）=13﹣m，g（2）=4﹣m．
∴g（x）值域N：﹣7﹣m≤N≤13﹣m．
由题意，M⊆N
则，
解得：2≥m≥﹣6．
∴m的最小值为﹣6．
故选：C．
点睛：考查曲线的斜率为0的理解和值域的关系．利用导函数研究最值的问题和二次函数的最值的求法．
13．【2018新疆乌鲁木齐质监二】已知函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D

二、填空题
14．【2018湖南衡阳高三二模】函数的图象与二次函数的图象恰有两个不同的交点，则实数的值是__________．
【答案】
【解析】当x≤0时，函数的图像与二次函数的图象恰有一个交点，
设当x>0时， 的图像与相切于点，
因为

故填.
点睛:解答与曲线切线有关的问题,如果不知道切点，一般都要设切点,再求切线的方程. 再利用其它条件转化求解.本题就是按照这种技巧解答的.
三、解答题
15．【2018湖南益阳高三4月调研】已知函数（，为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.

试题解析：（1）由题知，函数的定义域是.
，
当时，对任意恒成立，
所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，令，得；
令，得；
所以函数的单调递增区间是，
单调递减区间是.
（2）当时，恒成立，
即为恒成立，
即为恒成立.
设，
则.
显然在区间上单调递增，且，
所以当时，；当时，；
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以，
解得.
即实数的最小值是.
点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调区间.
16．【2018广东东莞高三二模】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)设，若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).

试题解析：(Ⅰ)由题易知,
,
在处的切线方程为.
(Ⅱ)由题易知.
当时，在上单调递增，不符合题意.
当时，令，得，在上，，在上,
在上单调递减，在上单调递增，
.
有两个零点，,即,
∵,解得,
∴实数的取值范围为.
17．【2018江西新余高三二模】已知函数， .
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) .

解析：
（Ⅰ）.
（i）若，则当时， ；当时， ；
故函数在单调递减，在单调递增．
（ii）当时，由，解得： 或.
①若，即，则， ，
故在单调递增．
②若，即，则当时， ；当时， ；故函数在， 单调递增，在单调递减．
③若，即，则当时， ；当时， ；故函数在， 单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．
∵，
取实数满足且，则
，
所以有两个零点．
（ii）若，则，故只有一个零点．
（iii）若，由（I）知，
当，则在单调递增，又当时， ，故不存在两个零点； 当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时， ，故不存在两个零点．
综上所述， 的取值范围是．
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
18．【2018广东惠州高三4月模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2) .
即可求得，从而可得实数的取值范围；法二：要使恒成立，只需，对进行和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求出，即可实数的取值范围.
试题解析：（1）由题知： ,
当时, 在时恒成立
∴在上是增函数.
当时, ,
令，得 ；令,得 .
∴在上为增函数，在上为减函数.
（2）法一：由题知： 在上恒成立， 即在上恒成立.
令，所以
令得；令得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴ ,
∴.
法二：要使恒成立，只需,
当时， 在上单调递增.
∴,即，这与矛盾，此时不成立.
当时,
（i）若即时， 在上单调递增，
∴，即，这与矛盾，此时不成立.
（ii）若即时， 在上单调递增，在上单调递减 .
∴即，解得.
又∵
∴ ,
（iii） 即时， 在 递减，则,
∴
又∵
∴；
综上所述可得： .
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.
19．【2018北京师大附中高三二模】已知函数，其中，为自然对数底数．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．

【试题解析】
（1）因为，因为，由得，
所以当时，，单调递减；
当时，单调递增．
综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，由函数对任意都成立，得，
因为，所以．
所以，
设，
所以，
由，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即的最大值为，此时，．
【点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.
20．【2018陕西咸阳高三二模】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2） 若函数有最小值，记为，关于的方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时， 在上递减，当时， 在上递减，在上递增；（2）.

试题解析：
（1）， ，
当时， ，知在上是递减的；
当时， ，知在上是递减的，在上递增的.
（2）由（1）知， ， ，即，
方程，即，
令，则，
知在和是递增的， 是递减的，
， ，
依题意得.
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
21．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数（）.若是的极值点.
（I）求,并求在上的最小值；
（II）若不等式对任意都成立，其中为整数， 为的导函数，求的最大值.
【答案】（I），最下值2；(II）2.

试题解析：
（I），由是的极值点，得，∴.
易知在上单调递减，在上单调递增，
所有当时， 在上取得最小值2.
（II）由（I）知，此时，
∴
∵，∴，∴
令（），∴
（）
令， ，∴在单调递增，
且， ，∴在时，
∴，
由，∴
又∵，且，所以的最大值为2.
点睛：本题的难点在求出（）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果不方便解出，一般要考虑二次求导.
22．【2018江西高三质监】已知函数.
（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程， 有实数解，求整数的最大值.
【答案】(1) ;(2)0.

试题解析：
(1) ,则,
得方程有两个不等的正实数根,
即,
(2)方程,即,记函数,， ,
令 ,,
单调递减, ,
存在,使得,即,
当,, 递增, , 递减,
,即,,
故,整数的最大值为
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
23．【2018安徽宣城高三二调】已知函数 (， 为自然对数的底数).
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）见解析（2）的最大值为1.

试题解析：（Ⅰ） ，
①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.
②当时，令，得， .
， ； ， .
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上，当时，函数无极小值；
当， 在处取得极小值，无极大值.
（Ⅱ）当时， .
直线与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：
在上没有实数解.
①当时，方程可化为，在上没有实数解.
②当时，方程化为.
令，则有
令，得，
当变化时， 的变化情况如下表：

-1

-
0
+

↘

↗
当时， ，同时当趋于时， 趋于，
从而的取值范围为.
所以当时，方程无实数解，
解得的取值范围是.
综上，得的最大值为1.
24．【2018河南商丘高三二模】已知函数，其中为常数且.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增，在上单调递减；（3）.

试题解析：
(1)当时，，

=
切线的斜率，又，
故切线的方程为，
即.
（2）且,
()当时,,
当时,;当时,.
故在区间上单调递减,在区间上单调递增；
()当，有两个实数根，
且,故时,；
时，
时,.
故在区间上均为单调增函数,
在区间上为减函数.
综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在、上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，由（2）知，
又
，
在上为增函数.
.
依题意有

故的取值范围为.
点睛：存在，使成立，即,因为不等式两边的自变量不同.如果是存在x使得f(x)<g(x)恒成立，就不能等价于，因为不等式两边的自变量都是x，这种情况一般移项转化成[f(x)-g(x)]的最小值小于零.
这两种命题要学会区分.
25．【2018重庆高三4月二诊】已知函数（，）．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程的解的个数．
【答案】（1）；（2）只有一个解.

试题解析：
（1）∵，
∴，
由题意得在恒成立，
即在恒成立，
设，
则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴．
∴实数的取值范围为．
（2）由题意得，
∴，
令，
则，
令，
则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
又，，
∴存在，使得 时， 单调递减；
当 时，，单调递增，
又，→时，→，
∴当，时，方程有一个解，
∴当时，方程只有一个解．
点睛：利用导数研究方程根的方法
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，这样可以使得问题的求解有一个直观的整体展现．
26．【2018河南衡阳高三二模】已知函数
(1)若,函数的极大值为,求实数的值；
(2)若对任意的在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）

试题解析：
（1）∵，
∴
①当时， ，
令，得； ，得，
所以在上单调递增， 上单调递减．
所以的极大值为，不合题意．
②当时， ，
令，得； ，得或，
所以在上单调递增， 和上单调递减.
所以的极大值为，解得．符合题意．
综上可得．
（2）令，
当时， ， 在上是增函数
则对恒成立等价于，
即对恒成立.
即对恒成立
令

在上单调递减。

所以实数的取值范围为.
点睛：本题的难点在于要反复地转化，令，转化成证明g(a)的最大值小于等于在上恒成立，再分离参数对恒成立，再利用导数求右边函数的最大值得解.转化的思想是高中数学最常用的数学思想，大家遇到复杂的问题，都要理解掌握和灵活运用.
27．【2018吉林长春高三质监三】已知函数，（）．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：．
【答案】（1）（2）见解析

试题解析：
（1）令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则即.
（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则，
要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，，
即证
令，，
有在上单调递增，，所以.